第26章-二次函数【华东师大版-中考真题】-九年级数学上学期期末复习培优练（四川遂宁）

这是一份第26章-二次函数【华东师大版-中考真题】-九年级数学上学期期末复习培优练（四川遂宁），共35页。试卷主要包含了的图象如图所示，有下列5个结论等内容，欢迎下载使用。
第26章-二次函数【华东师大版-中考真题】-九年级数学上学期期末复习培优练（四川遂宁）
一．选择题（共6小题）
1．（2021•遂宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2020•遂宁）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）

A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
3．（2019•遂宁）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（　　）

A．a＝4
B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）
C．当x＝﹣1时，b＞﹣5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
4．（2018•遂宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（　　）

A．B．
C．D．
5．（2017•遂宁）函数y＝x2+bx+c与函数y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c＝0；③b＜0；④方程组的解为，；⑤当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的是（　　）

A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③⑤
6．（2016•遂宁）已知y＝bx﹣c与抛物线y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．
C．D．
二．填空题（共1小题）
7．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 　 　．

三．解答题（共10小题）
8．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．

9．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
10．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．

11．（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
12．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
14．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：∠BNM＝∠ONM．

15．（2018•遂宁）如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．

16．（2017•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标；
（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．

17．（2016•遂宁）已知，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）点B（5，8）
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，连接AB，在x轴上确定一点C，使得∠ABC＝90°，求出点C的坐标；
（3）将抛物线y＝x2+bx+c向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线y＝ax2+mx+n，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线y＝ax2+mx+n交于点E（x1，y1），F（x2，y2）（x1＜x2），连接OE，OF，若S△EOF＝3，在图2中画出平面直角坐标系并求k．


第26章-二次函数【华东师大版-中考真题】-九年级数学上学期期末复习培优练（四川遂宁）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2021•遂宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：①二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．
∴abc＜0．
①错．
②二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
②错．
③∵，
∴b＝﹣2a．
又当x＝﹣1时，y＜0．
即a﹣b+c＜0．
∴2a﹣2b+2c＜0．
∴﹣3b+2c＜0．
2c＜3b．
∴③正确．
④∵x＝1时函数有最大值，
∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，
∴④正确．
⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可．
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．故⑤错．
综上：③④正确，故选：A．
2．（2020•遂宁）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）

A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
【解答】解：由图象可得：a＞0，c＞0，Δ＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，
∴abc＞0，故B选项不合题意，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，
故选：C．
3．（2019•遂宁）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（　　）

A．a＝4
B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）
C．当x＝﹣1时，b＞﹣5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b
∴对称轴为直线x＝＝2
∴a＝4，故A选项正确；
当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8
∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；
当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0
即1+4+b＜0
∴b＜﹣5，故C选项不正确；
∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；
故选：C．
4．（2018•遂宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（　　）

A．B．
C．D．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在直线x＝1的右侧，
∴x＝﹣＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故选：C．
5．（2017•遂宁）函数y＝x2+bx+c与函数y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c＝0；③b＜0；④方程组的解为，；⑤当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的是（　　）

A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③⑤
【解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；

当x＝1时，y＝1+b+c＝1，则b+c＝0，
故②正确；

对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＜0，
故③正确；

根据抛物线与直线y＝x的交点知：方程组的解为，．
故④正确；

∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故⑤错误．
故选：B．

6．（2016•遂宁）已知y＝bx﹣c与抛物线y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴与负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交原点，
∴a＜0，b＞0，c＝0，
∴一次函数图象应该过第一、三象限，B错误；
C、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，交y轴与负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，C正确；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，D错误．
故选：C．
二．填空题（共1小题）
7．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 　﹣4＜m＜0　．

【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴m＝a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）+（﹣2）＝2a﹣4，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
故答案为：﹣4＜m＜0．
三．解答题（共10小题）
8．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．

由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，
∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（0，﹣2），
∴D2（1，﹣3），
∵D，D1关于x轴对称，
∴D1（0，2），
∴D1D2＝＝＝，
∴△DEF的周长的最小值为．

（3）∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM．
∴S△ABM＝2d，
又∵S△AMN＝2d，
∴S△ABM＝S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
则有，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线AM的解析式为y＝x+n，
∵A（﹣1，0），
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
由，解得或，
∴M（4，5），
∵点N在射线CB上，
∴设N（t，t﹣3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．

∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），
∴AM＝5，AN＝，MN＝，
∵△AMN是等腰三角形，
当AM＝AN时，5＝，
解得t＝1±，
当AM＝MN时，5＝，
解得t＝6±，
当AN＝MN时，＝，
解得t＝，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为，1+，6+，
∴点N的坐标为（，）或（1+，﹣2+）或（6+，3+）．
9．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，
由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，
解得：x1＝2或x2＝18，
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，应舍去．
∴T恤的销售单价应提高2元，
答：T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），
＝﹣10x2+200x+3000，
＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∴当x＝10时，M最大值 ＝4000元，
∴销售单价：40+10＝50（元），
答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．
10．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为A，B（﹣3，0），
∴A（1，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，﹣3）代入得到，a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵直线y＝﹣2x+m经过点A（1，0），
∴0＝﹣2+m，
∴m＝2．

（2）如图1中，

∵直线AF的解析式为y＝﹣2x+2，直线交y轴于D，与抛物线交于点E，
∴D（0，2），
由，解得即点A，或，
∴E（﹣5，12），
过点E作EP⊥y轴于P．
∵∠EPD＝∠AOD＝90°，∠EDP＝∠ODA，
∴△EDP∽△ADO，
∴P（0，12）．
过点E作EP′⊥DE交y轴于P′，
同法可证，△P′DE∽△ADO，
∴∠P′＝∠DAO，
∴tan∠P′＝tan∠DAO，
∴＝，
∴＝，
∴PP′＝2.5，
∴P′（0，14.5），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）．

（3）∵E，F为定点，
∴线段EF的长为定值，
∴当EM+FN的和最小时，四边形MEFN的周长最小，
如图2中，画出直线y＝1，将点F向左平移2个单位得到F′，
作点E关于直线y＝1的对称点E′，连接E′F′与直线y＝1交于点M，过点F作FN∥E′F′交直线y＝1于点N，

由作图可知，EM＝E′M，FN＝F′M，
∵E′，M，F′三点共线，
∴EM+FN＝E′M+F′M＝E′F′，此时EM+FN的值最小，
∵点F为直线y＝﹣2x+2与x＝﹣1的交点，
∴F（﹣1，4），
∴F′（﹣3，4），
∵E（﹣5，12），
∴E′（﹣5，﹣10），
如图，延长FF′交线段EE′于W，
∵FF′∥直线y＝1，
∴FW⊥EE′，
在Rt△WEF中，EF＝＝＝4，
在Rt△E′F′W中，E′F′＝＝＝10，
∴四边形MEFN的周长的最小值＝ME+FN+EF+MN＝E′F′+EF+MN＝10+4+2．
11．（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【解答】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；

（2）设购买B花苗a盆，则购买A花苗为（12﹣a）盆，设总费用为w元，
由题意得：w＝20（12﹣a）+（30﹣a）a＝﹣a2+10a+240（0＜a＜12，且a取整数），
∵﹣1＜0．故w有最大值，当a＝5时，w的最大值为265，当a＝11时，w的最小值为229，
故本次购买至少准备229元，最多准备265元．
12．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N（2，2），
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点D（4，6），
∴S△ABD＝×2×6＝6，
设点E（m，2m﹣2），
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，
∴×2×（2m﹣2）＝2或×2×（2m﹣2）＝4，
∴m＝2或3，
∴点E（2，2）或（3，4）；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴，
∴xP＝3，
∴点P坐标为（3，0），
综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
13．（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴，
解得：，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
14．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：∠BNM＝∠ONM．

【解答】解：（1）∵二次函数顶点为P（3，3）
∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3
∵二次函数图象过点A（6，0）
∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣
∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x

（2）设B（b，﹣b2+2b）（b＞3）
∴直线OB解析式为：y＝（﹣b+2）x
∵OB交对称轴l于点M
∴当xM＝3时，yM＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6
∴M（3，﹣b+6）
∵点M、N关于点P对称
∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，
∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）
①∵OP＝MN
∴OP＝MP
∴＝b﹣3
解得：b＝3+3
∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3）2+2×（3+3）＝﹣3
∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3）
∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，ON2＝32+（3+3）2＝36+18，BN2＝（3+3﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3）2＝72+36
∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2
∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，﹣3）．
②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D
∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b）
设直线BN解析式为y＝kx+d
∴ 解得：
∴直线BN：y＝﹣bx+2b
当y＝0时，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6
∴D（6，0）
∵C（3，0），NC⊥x轴
∴NC垂直平分OD
∴ND＝NO
∴∠BNM＝∠ONM

15．（2018•遂宁）如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4）（0＜x＜8），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．
∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．
∵﹣1＜0，
∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．
∵0＜x＜8，
∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．
（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），
∴MN＝|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|＝|﹣m2+2m|．
又∵MN＝3，
∴|﹣m2+2m|＝3．
当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3＝0，
解得：m1＝2，m2＝6，
∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3＝0，
解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，
∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．
综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．

16．（2017•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标；
（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；

（2）方法一：∵N是抛物线上第四象限的点，
∴设N（t，﹣t2+2t+3）（t＞0），
又点C（0，3），
设直线NC的解析式为y＝k1x+b1，
则，
解得：，
∴直线NC的解析式为y＝（﹣t+2）x+3，
设直线CN与x轴交于点D，

当y＝0时，x＝，
∴D（，0），BD＝3﹣，
∵S△NBC＝S△ABC，
∴S△CDB+S△BDN＝AB•OC，即BD•|yC﹣yN|＝[3﹣（﹣1）]×3，
即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]＝6，
整理，得：t2﹣3t﹣4＝0，
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去），
当t＝4时，﹣t2+2t+3＝﹣5，
∴N（4，﹣5）；
方法二：设直线BC解析式y＝mx+n，
将点B（3，0）、C（0，3）代入，得：，
解得：，
则直线BC解析式为y＝﹣x+3，
过点A作AN∥BC交抛物线于点N，
则直线AN的解析式为y＝﹣x+p，
将点A（﹣1，0）代入，得：1+p＝0，
解得：p＝﹣1，
∴直线AN解析式为y＝﹣x﹣1，
由可得或，
∴点N坐标为（4，﹣5）；

（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，

则MM′＝3，
∵P（m，3）、Q（m，0），
∴PQ⊥x轴，且PQ＝OC＝3，
∴PQ∥MM′，且PQ＝MM′，
∴四边形MM′QP是平行四边形，
∴PM＝QM′，
由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN＝M′Q+PQ+QN取最小值，
设直线M′N的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0），
将点M′（1，1）、N（4，﹣5）代入，得：，
解得：，
∴直线M′N的解析式为y＝﹣2x+3，
当y＝0时，x＝，
∴Q（，0），即m＝，
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，
在Rt△M′EN中，∵M′E＝1﹣（﹣5）＝6，NE＝4﹣1＝3，
∴M′N＝＝3，
∴M′Q+QN＝3，
∴当m＝时，PM+PQ+QN的最小值为3+3．
17．（2016•遂宁）已知，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）点B（5，8）
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，连接AB，在x轴上确定一点C，使得∠ABC＝90°，求出点C的坐标；
（3）将抛物线y＝x2+bx+c向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线y＝ax2+mx+n，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线y＝ax2+mx+n交于点E（x1，y1），F（x2，y2）（x1＜x2），连接OE，OF，若S△EOF＝3，在图2中画出平面直角坐标系并求k．

【解答】解：（1）把点A（0，3）点B（5，8）的坐标代入y＝x2+bx+c中，得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．

（2）∵A（0，3）点B（5，8），设直线AB的解析式为y＝mx+n，则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
∵∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，设直线BC的解析式为y＝﹣x+b′，把（5，8）代入得到b′＝13，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+13，令y＝0，得x＝13，
∴C（13，0）．
（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3的顶点坐标（2，﹣1），
∴将抛物线y＝x2+bx+c向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
得到的新的抛物线的解析式为y＝x2，（如图所示），设EF与y轴交于点C，则OC＝2，

由，消去y得到x2﹣kx﹣2＝0，
∴x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，
∴x2﹣x1＝＝，
∵S△EOF＝•OC•（x2﹣x1），
∴3＝•2•，
∴k2＝1，
∵k＞0，
∴k＝1．