第22章+二次函数（解答题基础、中档）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川）

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第22章 二次函数（解答题基础、中档）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川）
一．抛物线与x轴的交点（共2小题）
1．（2021•乐山）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

2．（2020•攀枝花）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．

二．二次函数的应用（共10小题）
3．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
4．（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
5．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
6．（2020•甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
7．（2020•广元）某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元；
（3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元，如何确定该款电子产品的销售单价？

8．（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
9．（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
10．（2020•南充）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）

11．（2021•阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

12．（2021•南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．
（1）求苹果的进价；
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣x+12．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出）
三．二次函数综合题（共7小题）
13．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．

14．（2020•广元）如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．

15．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．

16．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

17．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

18．（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．

19．（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．


第22章 二次函数（解答题基础、中档）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川）
参考答案与试题解析
一．抛物线与x轴的交点（共2小题）
1．（2021•乐山）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣，
∴m的取值范围为m＞﹣；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．
2．（2020•攀枝花）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．

【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），
设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），
将C代入得：4＝﹣2a，
解得：a＝﹣2，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），
可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，
∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB
＝×1×4+×4m+×2×（﹣2m2+2m+4）
＝﹣2m2+4m+6
＝﹣2（m﹣1）2+8，
当m＝1时，S最大，最大值为8．

二．二次函数的应用（共10小题）
3．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（12，90），（15，75）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）．
（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500．
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
4．（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
【解答】解：（1）由题意得：
W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；
（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，W最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝3，x2＝5，
∵让利于民，
∴x1＝3不合题意，舍去，
∴定价应为48﹣5＝43（元），
答：定价应为43元．
5．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，
由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，
解得：x1＝2或x2＝18，
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，应舍去．
∴T恤的销售单价应提高2元，
答：T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），
＝﹣10x2+200x+3000，
＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∴当x＝10时，M最大值 ＝4000元，
∴销售单价：40+10＝50（元），
答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．
6．（2020•甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
【解答】解：（1）由题意可得：，
∴，
答：k＝﹣1，b＝80；
（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400，
∴当x＝60时，w有最大值为400元，
答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．
7．（2020•广元）某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元；
（3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元，如何确定该款电子产品的销售单价？

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（20，100），（25，50）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300；
（2）设该款电子产品每天的销售利润为w元，
由题意得w＝（x﹣10）•y
＝（x﹣10）（﹣10x+300）
＝﹣10x2+400x﹣3000
＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝20时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电子产品销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元；
（3）设捐款后每天剩余利润z元，
由题意可得z＝﹣10x2+400x﹣3000﹣300＝﹣10x2+400x﹣3300，
令z＝450，即﹣10x2+400x﹣3300＝450，
x2﹣40x+375＝0，
解得x1＝15，x2＝25，
∵﹣10＜0，
∴当该款电子产品的销售单价每件不低于15元，且不高于25元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于450元．
8．（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b，
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400（12≤x＜24）；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，
则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
9．（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【解答】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；

（2）设购买B花苗a盆，则购买A花苗为（12﹣a）盆，设总费用为w元，
由题意得：w＝20（12﹣a）+（30﹣a）a＝﹣a2+10a+240（0＜a＜12，且a取整数），
∵﹣1＜0．故w有最大值，当a＝5时，w的最大值为265，当a＝11时，w的最小值为229，
故本次购买至少准备229元，最多准备265元．
10．（2020•南充）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）

【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则
解得：
∴z＝﹣x+19，
∴z关于x的函数解析式为z＝
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（﹣x+19﹣10）（5x+40）
＝﹣x2+35x+360
＝﹣（x﹣14）2+605，
因为﹣＜0，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
11．（2021•阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），
将（60，600），（80，400）代入，得：

解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；
（2）由题意得：
w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）
＝﹣10x2+1700x﹣60000
＝﹣10（x﹣85）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x≤85时，w随x的增大而增大，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，
∴x≤50×（1+30%），即x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值：最大值＝﹣10×（65﹣85）2+12250＝8250．
∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．
12．（2021•南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．
（1）求苹果的进价；
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣x+12．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出）
【解答】（1）解：设苹果的进价为x元/千克，
根据题意得：，
解得：x＝10，
经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，
答：苹果的进价为10元/千克．
（2）解：当0≤x≤100时，y＝10x；
当x＞100时，y＝10×100+（x﹣100）（10﹣2）＝8x+200；
∴y＝．
（3）解：当0≤x≤100时，
w＝（z﹣10）x
＝（）x
＝，
∴当x＝100时，w有最大值为100；
当100＜x≤300时，
w＝（z﹣10）×100+（z﹣8）（x﹣100）
＝（）×100+（）（x﹣100）
＝
＝，
∴当x＝200时，w有最大值为200；
∵200＞100，
∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元．
答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大．
三．二次函数综合题（共7小题）
13．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，
故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a＝，
故二次函数表达式为：y＝x2；

（2）将y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），
则MN＝4，
∵△PMN是等边三角形，
∴点P在y轴上且PM＝4，
∴PF＝2；
∵点F（0，1），
∴点P的坐标为（0，1+2）或（0，1﹣2）；

（3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，
设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），
故点E在FN的中垂线上．
∴点E是FN的中垂线与y＝x2图象的交点，
∴y＝×12＝，则点E（1，），
EN＝＝，
同理EF＝＝，
点E到直线y＝﹣1的距离为|﹣（﹣1）|＝，
故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．
14．（2020•广元）如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．

【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+10中，
令x＝0，则y＝10，令y＝0，则x＝5，
∴A（5，0），B（0，10），
∵点C是OB中点，
∴C（0，5），将A和C代入抛物线y＝x2+bx+c中，，解得：，
∴抛物线表达式为：y＝x2﹣6x+5；
（2）联立：，
解得：或，
∴直线AB与抛物线交于点（﹣1，12）和（5，0），
∵点D是直线AB下方抛物线上的一点，设D（m，m2﹣6m+5），
∴﹣1＜m＜5，
过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E，
∴E（m，﹣2m+10），
∴DE＝﹣2m+10﹣m2+6m﹣5＝﹣m2+4m+5，
∴S△ABD＝＝＝，
解得：m＝2，
∴点D的坐标为（2，﹣3）；

（3）抛物线表达式为：y＝x2﹣6x+5，
∵△APB是以AB为直角边的直角三角形，
设点P（n，n2﹣6n+5），∵A（5，0），B（0，10），
∴AP2＝（n﹣5）2+（n2﹣6n+5）2，BP2＝n2+（n2﹣6n+5﹣10）2，AB2＝125，
当点A为直角顶点时，
BP2＝AB2+AP2，
解得：n＝或5（舍），

当点B为直角顶点时，
AP2＝AB2+BP2，
解得：n＝或，

而抛物线对称轴为直线x＝3，
则3﹣＝，﹣3＝，3﹣＝，
综上：点P到抛物线对称轴的距离为：或或．
15．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x；
（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，
∵BO⊥AD，
则∠BOA+∠BOC＝90°，∠BOC+∠OCA＝90°，
∴∠OCA＝∠BOA＝30°，
则CD与x轴负半轴的夹角为60°，
故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，），
将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝，
故直线CD的表达式为：y＝﹣x+；

（3）设点P（x，x2﹣x），则点Q（x，﹣x+），

则PQ＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，
∵＜0，
∴当x＝﹣时，PQ有最大值，
此时点P的坐标为（﹣，）．
16．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），
∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，
∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，
∴BE2＝BC2+CE2，
∴∠BCE＝90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：
如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，
则BF的长即为所求．理由如下：
连结CP，∵CP为半径，
∴＝＝，
又∵∠FCP＝∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴＝＝，即FP＝EP，
∴BF＝BP+EP，
由“两点之间，线段最短”可得：
BF的长即BP+EP为最小值．
∵CF＝CE，E（2，8），
∴由比例性质，易得F（，），
∴BF＝＝．


17．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），
则 ，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图，

∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0），
又Q（﹣1+t，0），
∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ
＝
＝
＝（t﹣2）2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝，AB＝4，
∴0≤t≤3，
∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；
（3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，
∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，
∴∠PMF＝∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，
∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，
又OE＝3﹣t，
∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．

18．（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝4，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4①；

（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，
故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；
如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，
即点H的坐标为（2，0），
则CH和抛物线的交点即为点P，

由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣8）；

（3）在OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE，
∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，
过点E作EF⊥BC于点F，

在Rt△BOC中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，
则EF＝EB＝（4﹣2）＝＝BF，
由点B、C的坐标知，BC＝4，
则CF＝BC﹣BF＝4＝3，
则tan∠ECB＝＝＝＝tan∠AMO，
则tan∠AMO＝＝＝，
则OM＝6，
故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，
则t＝2或10．
19．（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①；

（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，
故点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
此时点Q的坐标为（2，﹣2）；
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；

（3）∵D是OC的中点，则点D（0，2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，

故设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点E的坐标为（5，4），
设点F的坐标为（0，m），
由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝；
故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．