第21-23章（二次根式、一元二次方程、图形的相似）-【华东师大版-中考真题】九年级数学上学期培优练习（四川遂宁））

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第21-23章（二次根式、一元二次方程、图形的相似）-【华东师大版-中考真题】九年级数学上学期培优练习（四川遂宁））
一．二次根式的性质与化简（共1小题）
1．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝　 　．

二．最简二次根式（共1小题）
2．（2016•遂宁）下列选项中，正确的是（　　）
A．有意义的条件是x＞1B．是最简二次根式
C．D．
三．二次根式的加减法（共1小题）
3．（2019•遂宁）下列等式成立的是（　　）
A．2+＝2B．（a2b3）2＝a4b6
C．（2a2+a）÷a＝2aD．5x2y﹣2x2y＝3
四．一元二次方程的解（共2小题）
4．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（　　）
A．﹣2022B．0C．2022D．4044
5．（2019•遂宁）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　）
A．0B．±1C．1D．﹣1
五．根的判别式（共2小题）
6．（2017•遂宁）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围为（　　）
A．a≤2B．a＜2C．a≤2且a≠1D．a＜2且a≠1
7．（2019•遂宁）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　 　．
六．根与系数的关系（共2小题）
8．（2017•遂宁）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则＝　 　．
9．（2018•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．
七．一元二次方程的应用（共1小题）
10．（2016•遂宁）红旗连锁超市花2000购进一批糖果，按80%的利润定价无人购买，决定降价出售，但仍无人购买．结果又一次降价后才售完，但仍盈利45.8%，两次降价的百分率相同，问每次降价的百分率是多少？
八．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题）
11．（2017•遂宁）点A（a，b）关于x轴对称的点A′的坐标为（　　）
A．（a，﹣b）B．（﹣a，b）C．（﹣a，﹣b）D．（b，a）
12．（2016•遂宁）将点A（2，3）向左平移2个单位长度得到点A'，点A'关于x轴的对称点是A''，则点A''的坐标为（　　）
A．（0，﹣3）B．（4，﹣3）C．（4，3）D．（0，3）
九．相似三角形的判定与性质（共7小题）
13．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（　　）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；

A．①③B．①②③C．②③D．①②④
14．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（　　）

A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2
15．（2020•遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）

A．B．C．D．
16．（2020•遂宁）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE＝AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（　　）

A．5个B．4个C．3个D．2个
17．（2019•遂宁）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：
①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．
其中正确的有（　　）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
18．（2021•遂宁）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：
①∠ABF＝∠DBE；
②△ABF∽△DBE；
③AF⊥BD；
④2BG2＝BH•BD；
⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16．
你认为其中正确的是 　 　．（填写序号）

19．（2016•遂宁）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的BC边上，点D在边AB上，点G在边AC上，△ADG的面积是40，△ABC的面积是90，AM⊥BC于M交DG于N，则AN：AM＝　 　．

一十．位似变换（共1小题）
20．（2017•遂宁）如图，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为　 　．


第21-23章（二次根式、一元二次方程、图形的相似）-【华东师大版-中考真题】九年级数学上学期培优练习（四川遂宁））
参考答案与试题解析
一．二次根式的性质与化简（共1小题）
1．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝　2　．

【解答】解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|﹣+
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2，
故答案为：2．
二．最简二次根式（共1小题）
2．（2016•遂宁）下列选项中，正确的是（　　）
A．有意义的条件是x＞1B．是最简二次根式
C．D．
【解答】解：A、有意义的条件是x≥1，错误；
B、不是最简二次根式，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选：D．
三．二次根式的加减法（共1小题）
3．（2019•遂宁）下列等式成立的是（　　）
A．2+＝2B．（a2b3）2＝a4b6
C．（2a2+a）÷a＝2aD．5x2y﹣2x2y＝3
【解答】解：A、2+，无法计算，故此选项错误；
B、（a2b3）2＝a4b6，正确；
C、（2a2+a）÷a＝2a+1，故此选项错误；
D、故5x2y﹣2x2y＝3x2y，此选项错误；
故选：B．
四．一元二次方程的解（共2小题）
4．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（　　）
A．﹣2022B．0C．2022D．4044
【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022
＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022
＝2022m﹣2022﹣2022m+2022
＝0．
故选：B．
5．（2019•遂宁）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　）
A．0B．±1C．1D．﹣1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，
∴a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，
则a的值为：a＝﹣1．
故选：D．
五．根的判别式（共2小题）
6．（2017•遂宁）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围为（　　）
A．a≤2B．a＜2C．a≤2且a≠1D．a＜2且a≠1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有两个实数根，
∴，
解得：a≤2且a≠1．
故选：C．
7．（2019•遂宁）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　k＜1　．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即4﹣4k＞0，
k＜1．
故答案为：k＜1．
六．根与系数的关系（共2小题）
8．（2017•遂宁）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则＝　﹣3　．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，
∴+＝＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
9．（2018•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．
【解答】解：∵该一元二次方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a≥0，
解得：a≤1，
由韦达定理可得x1x2＝a，x1+x2＝2，
∵x1x2+x1+x2＞0，
∴a+2＞0，
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a≤1．
七．一元二次方程的应用（共1小题）
10．（2016•遂宁）红旗连锁超市花2000购进一批糖果，按80%的利润定价无人购买，决定降价出售，但仍无人购买．结果又一次降价后才售完，但仍盈利45.8%，两次降价的百分率相同，问每次降价的百分率是多少？
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：2000×（1+80%）（1﹣x）2＝2000×（1+45.8%），
解得x＝0.1＝10%，或x＝1.9（舍去）．
答：每次降价的百分率是10%．
八．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题）
11．（2017•遂宁）点A（a，b）关于x轴对称的点A′的坐标为（　　）
A．（a，﹣b）B．（﹣a，b）C．（﹣a，﹣b）D．（b，a）
【解答】解：点A（a，b）关于x轴对称的点A′的坐标为（a，﹣b）．
故选：A．
12．（2016•遂宁）将点A（2，3）向左平移2个单位长度得到点A'，点A'关于x轴的对称点是A''，则点A''的坐标为（　　）
A．（0，﹣3）B．（4，﹣3）C．（4，3）D．（0，3）
【解答】解：∵点A（2，3）沿向左平移2个单位长度得到点A′，
∴A′（0，3），
∴点A′关于x轴对称的点的坐标是：（0，﹣3）．
故选：A．
九．相似三角形的判定与性质（共7小题）
13．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（　　）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；

A．①③B．①②③C．②③D．①②④
【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：

在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④，
故选：D．
14．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（　　）

A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2
【解答】解：如图，
在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，
∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，
∵△ADE的面积是3cm2，
∴四边形BDEC的面积是9cm2，
故选：B．
15．（2020•遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）

A．B．C．D．
【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴＝＝＝，
故选：C．
16．（2020•遂宁）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE＝AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（　　）

A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】解：如图，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠BOC＝90°，
∵BE＝EC，
∴∠EOB＝∠EOC＝45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，
连接AF．
∵PF⊥AE，
∴∠APF＝∠ABF＝90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故②正确，
设BE＝EC＝a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，
∴＝＝，即AE＝AO，故③正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ＝S四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，
∴CD＝2OE，OE∥CD，
∴＝＝，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，
∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故④错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴＝，
∵EQ＝PE，
∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确，
故选：B．

17．（2019•遂宁）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：
①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．
其中正确的有（　　）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【解答】解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
则∠BPD＝∠BPC+∠CPD＝135°，故①正确；
∵∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠DBH＝∠DPB＝135°，
又∵∠PDB＝∠BDH，
∴△BDP∽△HDB，故②正确；
如图，过点Q作QE⊥CD于E，

设QE＝DE＝x，则QD＝x，CQ＝2QE＝2x，
∴CE＝x，
由CE+DE＝CD知x+x＝1，
解得x＝，
∴QD＝x＝，
∵BD＝，
∴BQ＝BD﹣DQ＝﹣＝，
则DQ：BQ＝：≠1：2，故③错误；
∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°，
∴∠PDQ＝30°，
又∵∠CPD＝75°，
∴∠DPQ＝∠DQP＝75°，
∴DP＝DQ＝，
∴S△BDP＝BD•PDsin∠BDP＝×××＝，故④正确；
故选：D．
18．（2021•遂宁）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：
①∠ABF＝∠DBE；
②△ABF∽△DBE；
③AF⊥BD；
④2BG2＝BH•BD；
⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16．
你认为其中正确的是 　①②③④　．（填写序号）

【解答】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，
∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
∴∠ABF＝∠DBE；
∴①正确，符合题意；
②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴，
又∵∠ABF＝∠DBE，
∴△ABF∽△DBE，
∴②正确，符合题意；
③∵△ABF∽△DBE，
∴∠FAB＝∠EDB＝45°，
∴AF⊥BD；
∴③正确，符合题意；
④∵∠BEH＝∠EDB＝45°，
∠EBH＝∠DBE，
∴△BEH∽△BDE，
∴，
∴BE2＝BD×BH，
∵BE＝BG，
∴2BG2＝BD×BH，
∴④正确，符合题意；
⑤∵CE：DE＝1：3，
∴设CE＝x，DE＝3x，
∴BC＝4x，
在Rt△BCE中，
由勾股定理知：BE＝，
∵BE2＝BD×BH，
∴17x2＝×BH，
∴x，
∴DH＝x，
∴BH：DH＝17：15，
∴⑤错误，不符合题意；
故答案为：①②③④．
19．（2016•遂宁）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的BC边上，点D在边AB上，点G在边AC上，△ADG的面积是40，△ABC的面积是90，AM⊥BC于M交DG于N，则AN：AM＝　2：3　．

【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥BC，
∵AM⊥BC，
∴AN⊥DG，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴AN：AM＝2：3，
故答案为：2：3．
一十．位似变换（共1小题）
20．（2017•遂宁）如图，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为　（3，2）或（﹣9，﹣2）　．

【解答】解：∵y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，
令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣3，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
∴＝＝，
∴O′B′＝2，AO′＝6，
∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）；
当点B'在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）．
∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）．
故答案为：（﹣9，﹣2）或（3，2）．