第3-4章（概率、图形的相似）-【北师大版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川成都）

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第3-4章（概率、图形的相似）-【北师大版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川成都）
一．比例的性质（共1小题）
1．（2018•成都）已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为 　 　．
二．平行线分线段成比例（共2小题）
2．（2020•成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．
3．（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
三．相似多边形的性质（共1小题）
4．（2015•成都）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为　 　．

四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．
（1）求证：AC＝AD+CE；
（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）

五．位似变换（共2小题）
6．（2017•成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）

A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
7．（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是 　 　．

六．列表法与树状图法（共6小题）
8．（2021•成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 　 　．

9．（2022•成都）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20

C
4≤t＜6

36%
D
t≥6

16%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 　 　，表中x的值为 　 　；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

10．（2020•成都）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有　 　人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为　 　；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
11．（2017•成都）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．

（1）本次调查的学生共有　 　人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是　 　人；
（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
12．（2016•成都）在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张．

（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；
（2）我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
13．（2015•成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．


第3-4章（概率、图形的相似）-【北师大版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川成都）
参考答案与试题解析
一．比例的性质（共1小题）
1．（2018•成都）已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为 　12　．
【解答】解：∵＝＝，
∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，
∵a+b﹣2c＝6，
∴6x+5x﹣8x＝6，
解得：x＝2，
故a＝12．
故答案为：12．
二．平行线分线段成比例（共2小题）
2．（2020•成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴＝，
∴DE＝，
故选：D．
3．（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
即，
解得：EC＝2，
故选：B．
三．相似多边形的性质（共1小题）
4．（2015•成都）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为　（3n﹣1，0）　．

【解答】解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，
∴OA1＝A1B1•sin30°＝2×＝1，OB1＝A1B1•cos30°＝2×＝，
∴A1（1，0）．
∵菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，
∴OA2＝＝＝3，
∴A2（3，0）．
同理可得A3（9，0）…
∴An（3n﹣1，0）．
故答案为：（3n﹣1，0）．
四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．
（1）求证：AC＝AD+CE；
（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）

【解答】（1）证明：∵BD⊥BE，
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠E＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1＝∠E，
∵在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB＝CE，
∴AC＝AB+BC＝AD+CE；

（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，
则△BFQ∽△BCE，
∴＝，
即＝，
∴QF＝BF，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠FPQ＝180°﹣90°＝90°，
∵∠APD+∠ADP＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ADP＝∠FPQ，
又∵∠A＝∠PFQ＝90°，
∴△ADP∽△FPQ，
∴＝，
即＝，
∴5AP﹣AP2+AP•BF＝3•BF，
整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）＝0，
∵点P与A，B两点不重合，
∴AP≠5，
∴AP＝BF，
由△ADP∽△FPQ得，＝，
∴＝；

（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．
由（2）（i）可知，QF＝AP．
当点P运动至AC中点时，AP＝4，∴QF＝．
∴BF＝QF×＝4．
在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ＝＝＝．
∴MN＝BQ＝．
∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为．


五．位似变换（共2小题）
6．（2017•成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）

A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2＝，
故选：A．
7．（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是 　2：5　．

【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD＝2：3，
∴OA：OD＝2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故答案为：2：5．
六．列表法与树状图法（共6小题）
8．（2021•成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 　　．

【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2k+3y）﹣（3x+2y+4k）＝x+y﹣2k，
画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数为9，
所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率＝＝．
故答案为．
9．（2022•成都）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20

C
4≤t＜6

36%
D
t≥6

16%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 　50　，表中x的值为 　8%　；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人），
所以x＝＝8%；
故答案为：50；8%；
（2）500×＝200（人），
所以估计等级为B的学生人数为200人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
10．（2020•成都）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有　180　人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为　126°　；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：
54÷30%＝180（人），
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；

（2）根据题意得：
360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，
故答案为：126°；

（3）列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）＝＝．
11．（2017•成都）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．

（1）本次调查的学生共有　50　人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是　360　人；
（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）4÷8%＝50（人），
1200×（1﹣40%﹣22%﹣8%）＝360（人）；
故答案为：50，360；
（2）画树状图，共有12种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，
∴P（恰好抽到一男一女的）＝＝．

12．（2016•成都）在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张．

（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；
（2）我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．
【解答】解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数；
（2）抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6，
所以抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率＝＝．
13．（2015•成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．

【解答】解：（1）∵三等奖所在扇形的圆心角为90°，
∴三等奖所占的百分比为25%，
∵三等奖为50人，
∴总人数为50÷25%＝200人，
∴一等奖的学生人数为200×（1﹣20%﹣25%﹣40%）＝30人；

（2）列表：

A
B
C
D
A

AB
AC
AD
B
BA

BC
BD
C
CA
CB

CD
D
DA
DB
DC

∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
∴P（选中A、B）＝＝．