2023咸阳武功县普集高级中学高三上学期第一次月考数学（理）（宏志班）试题含答案

普集高中2022-2023学年度第一学期高三年级第一次月考

数学（理科）宏志班试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则=（       ）

A． B． C． D．

2．定义在上的函数满足对任意的（）恒有，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

3．下列判断错误的是（       ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“，”的否定是“，”

C．若均为假命题，则为假命题

D．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”

4．已知，则f(x)等于（）

A．x2-x+1，x≠0 B．，x≠0

C．x2-x+1，x≠1 D．1+，x≠1

5．，，，则（       ）

A． B． C． D．

6．函数的最大值为M，最小值为N，则（       ）

A．3 B．4 C．6 D．与m值有关

7．函数的图象大致为（       ）

A．B．

C．D．

8．已知是定义为R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（       ）

A． B． C．D．

9．解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数 以下结论错误的是（       ）

A．B．函数不是周期函数

C．D．函数在上不是单调函数

10．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（       ）

A． B．为奇函数

C．在上是减函数 D．方程仅有6个实数解

11．定义在上的函数满足，则函数的零点个数为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

12．定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（       ）

A．B．C．D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.

14．已知函数是奇函数，则实数a的值为__________．

15．设的定义域为，且满足，若，则___________.

16．已知，函数，若存在最小值，则的取值范围是__________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题12分）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.

(1)求f（0）；

(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；

(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.

18．（本题10分）已知集合，或，，其中．

(1)求；

(2)若，求实数m的取值范围．

19．（本题12分）已知命题.

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

（2）设命题，若“”为真命题且“”为假命题，求实数的取值范围.

20．（本题12分）已知，集合，集合.

(1)求集合；

(2)若，求的取值范围.

21．（本题12分）已知二次函数，且满足，.

(1)求函数的解析式；

(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．

22．（本题12分）已知函数为偶函数.

(1)求实数的值;

(2)解关于的不等式;

(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.

普集高中2022-2023学年度第一学期高三年级第一次月考

数学（理科）宏志班试题参考答案

1．D【分析】集合B表示函数定义域，求解得集合B，再与集合A求交集即可.

【详解】解：，

=.

故选：D.

2．B【分析】根据已知，利用函数单调性的定义判断函数的单调性，再利用单调性比较大小.

【详解】因为，所以，即，

因为定义在上的函数对任意的（）都满足，

所以在上单调递增，因为，，，

所以，即.故A，C，D错误.

故选：B.

3．D【分析】根据命题的充分不必要条件，全称命题的否定，复合命题的真假关系，以及逆否命题的形式，逐项判断.

【详解】对于A，由知，

不等式两边同乘以得，，

反之，若，则取时，不能得到，

故是的充分不必要条件，故A正确；

对于B，因为“”是全称命题，

故其否定是特称命题，为“”，故B正确；

对于C，若p，q均为假命题，则为假命题，故C正确；

对于D，若，则或的逆否命题为，

若且，则，D错.

故选:D.

【点睛】本题考查了四种命题的关系，命题的否定形式，充要条件的应用，属于基础题.

4．C【分析】设=t，利用换元法可求得结果

【详解】设=t,则x=,t≠1,

则f(t)=+t-1=t2-t+1,t≠1.

所以f(x)=x2-x+1,x≠1.

故选：C.

【点睛】本题考查了利用换元法求函数的解析式，属于基础题.

5．B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出，，的大小关系．

【详解】，

，，

．

故选：．

6．C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.

【详解】由题意可知，，

设，则的定义域为，

所以，

所以为奇函数，

所以，

所以,

故选：C.

7．B【分析】判断函数为奇函数，排除CD；根据特殊值的大小，排除A选项.

【详解】定义域为，

又，故为奇函数，排除CD；

又，，显然，故A错误，B正确.

故选：B

8．D【分析】由是定义为R上的奇函数可知函数关于点对称；再结合，即可得出.再结合f(x)在上单调递增，在上单调递减，可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.再分类讨论即可你求出答案.

【详解】因为是定义为R上的奇函数,

所以;函数关于点对称.

当时：；

当时：;

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

所以当时，解得;

当时，解得;

当时，解得;

综上所述：不等式的解集

故选：D.

9．B【分析】根据狄利克雷函数的定义逐个分析判断即可

【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，

对于B，对于任意非零有理数，若为任意有理数，则也为有理数，所以，若为任意无理数，则也为无理数，所以，所以任意非零有理数，为实数，都有，所以有理数为函数的周期，所以B错误，

对于C，当为有理数时，，当为无理数时，，所以，所以C正确，

对于D，对于任意，且，若都为有理数或都为无理数，则，若为有理数，为无理数，则，若为无理数，为有理数，则，所以函数在上不是单调函数，所以D正确，

故选：B

10．C【分析】由题设可得关于、对称且周期为8，利用对称性和周期性求、判断奇偶性及在上的单调性，由与交点情况，数形结合判断根的个数.

【详解】由题设，则关于对称，即，

，则关于对称，即，

所以，则，故，

所以，即，故，

所以的周期为8，

，A正确；

由周期性知：，故为奇函数，B正确；

由题意，在与上单调性相同，而上递增，

关于对称知：上递增，故上递增，

所以在上是增函数，C错误；

的根等价于与交点横坐标，

根据、对数函数性质得：，，

所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.

故选：C

11．B【分析】根据已知可求得，从而可求得函数的解析式，令，可得，即，构造函数并画出函数图象，结合图象即可得解.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

所以，

由，

得，即，

即，

如图，画出函数和的图象，

当时，，

由图可知函数和的图象右4个交点，

即函数有4个零点.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了利用数形结合思想求函数的零点的个数，考查了数形结合思想和转化思想，有一定的难度.

12．B【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.

【详解】因为当时，，所以，

又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，

由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误.

故选：B.

13．【分析】假命题的否定为真命题，转化为恒成立问题，再利用分离参数法处理.

【详解】由题意可知命题“，”是真命题，即，.因为，所以，则.

故答案为：.

14．1【分析】根据奇函数的定义即可求解；

【详解】因为函数是奇函数，所以，

即，化简整理，得，即，

所以，解得.

所以实数a的值为.

故答案为：.

15．2024【分析】根据所给函数的性质，可推出函数是以4为周期的周期函数，再由函数性质可得，据此即可求解.

【详解】因为，所以，

由，得，有，

可得，有，

又由，可得，可知函数的周期为4，

可得，

有，

因为，所以

由得，

所以，

即，

所以

所以.

故.

故答案为：2024

16．【分析】利用分段函数的单调性及最值求解即可.

【详解】解：当，即时，在上单调递增，故无最小值，不符合题意；

当时，在上单调递减，所以，又在上的最小值为，要使存在最小值，还需，

解得，

故；

当时，要使存在最小值，

还需：，因为，所以无解

综上的取值范围为.

故答案为：.

17．(1)f（0）=0

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用赋值法求解；

（2）利用函数奇偶性定义证明；

（3）利用函数单调性定义证明.

（1）

解：因为对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），

所以令a=b=0，得f（0）=0.

（2）

由f（a+b）=f（a）+f（b），

得f（x-x）=f（x）+f（-x）.

即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，

∴f（-x）=-f（x），

即函数y=f（x）是奇函数.

（3）

设x1>x2，则x1-x2>0，f（x1-x2）<0

而f（a+b）=f（a）+f（b），

∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）<f（x2），

∴函数y=f（x）是R上的减函数.

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据交集的定义计算；

（2）求出，由得，根据集合的包含关系可得结论．

（1）

因为，或，

所以．

（2）

由题意，得或．

因为，所以．

因为，所以，所以，解得，

所以实数m的取值范围是．

19．（1）；（2）.【解析】（1）解不等式，即可得解；

（2）解不等式，由题意可知、中一真一假，分真假和假两种情况讨论，综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）若为真命题，则，即，解得.

所以，当为真命题，求实数的取值范围是；

（2）解不等式，可得，即.

由于“”为真命题且“”为假命题，则、中一真一假.

①若真假，则，此时；

②若假真，则，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查利用简单命题和复合命题的真假求参数，对于利用复合命题的真假求参数，一般要对确定各简单命题的真假，必要时要对各简单命题的真假进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据对数函数的单调解不等式即可；

（2）先求，再分类讨论并满足可得答案.

(1)

解得，故

(2)

由（1）

当时，，满足题意；

当时，，只需；

当时，，满足题意.

综上所述，.

21．(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，且，化简可求出，从而可求出的解析式，

（2）求出抛物线的对称轴，然后分，和三种情况求解函数的最小值

（1）

因为二次函数，且满足，，

所以，且，

由，得，

所以，得，

所以.

（2）

因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，

当时，在上单调递增，

则；

当，即时，

在上单调递减，

则；

当，即时，，

综上

22．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；

（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；

（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.

（1）

函数的定义或为，

函数为偶函数.

，即 ，

，

；

（2）

，

当时，，单调递增，

在上单调递增，

又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；

，

，

解得或，

所以所求不等式的解集为 ；

（3）

函数与图象有个公共点，

，

即，，

设，则，即，

又在上单调递增，

所以方程有两个不等的正根；

，

解得，即的取值范围为.