第15讲 二次函数的解析式与应用- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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知识一、一般式y = ax2 + bx + c ( a≠0 )
一般式（）
（1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式；
（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．
题型探究
【例1】已知二次函数的图像经过点A（，）、B（0，）和C（1，1）．
求这个二次函数的解析式．
【答案】．
【解析】设二次函数为，把A、B、C代入二次函数解析式，可得：
，解得．所以这个二次函数的解析式：．
【例2】已知二次函数图像经过点（0，3）、（3，0）、（，）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的最值．
【答案】（1）；（2）函数有最大值，最大值为．
【解析】（1）把（0，3）、（3，0）、（，）代入二次函数解析式，可得：
，解得，所以这个二次函数的解析式：；
，则当时，函数有最大值，最大值为．
知识二、顶点式y=a(x+m)2+k
( a≠0 )
顶点式：（）
（1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标；
（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；
（3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式．
题型探究
【例3】已知抛物线的顶点坐标为（4，），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式．
【答案】．
【解析】设抛物线解析式为，因为顶点坐标为（4，），所以，
所以，再把（0，3）代入，即得．
所以抛物线的解析式为：．
【例4】已知二次函数的图像过点（1，5），且当x = 2时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式．
【答案】．
【解析】∵当x = 2时，函数有最小值3，∴设二次函数解析式为，
把（1，5）代入函数解析式可得．
∴二次函数的解析式为：．
知识三、交点式y = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( a≠0 ) ( a≠0 )
交点式（两点式）（）
（1）交点式：（），其中x1 ，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标；
（2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；
（3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为；
（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为；
（5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、；
（6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．
题型探究
【例5】已知二次函数的图像经过点（，0）、（1，0），且与y轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．
【答案】．
【解析】∵二次函数的图像经过点（，0）、（1，0），
∴设二次函数解析式为，把（0，3）代入，可得．
∴这个二次函数的解析式为：．
【例6】已知二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0）、P（1，）三点，求这个二次函数的解析式．
【答案】．
【解析】∵二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0），
∴设二次函数解析式为，把P（1，）代入，可得．
∴这个二次函数的解析式为：．
举一反三
1.抛物线的顶点坐标是（1，），则b = ______，c = ______．
【答案】-4；0．
【解析】设抛物线解析式为，因为顶点坐标为（1，），所以，
所以．故b = -4，c = 0．
2.如果，，，，那么抛物线经过第________象限．
【答案】一二三．
【解析】根据，可得开口向上；根据，可得对称轴在y轴左侧，根据，可得与y轴交于正半轴，由，可得与x轴有两个交点，所以大致图像如下：

3.已知抛物线经过点A（2，3）、B（0，3）、C（4，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当x为何值时，？
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）把A（2，3）、B（0，3）、C（4，）代入二次函数解析式，可得：
，解得．所以抛物线的解析式为：；
方法二：也可以利用AB关于直线对称，设二次函数解析式为求解．
（2）利用图像性质可得，当抛物线与直线交于点，故时，．
4.已知抛物线过点（3，2）、（0，5）两点，且以直线x = 2为对称轴，求此抛物线的解析式．
【答案】．
【解析】∵函数以直线x = 2为对称轴，
∴设二次函数解析式为，把点（3，2）、（0，5）代入，
可得，
∴．
5.已知二次函数的图像经过点（0，3）、（，0）、（2，），且与x轴交于A、B两点．
（1）试确定该二次函数的解析式；
（2）判定点P（，3）是否在这个图像上，并说明理由；
（3）求的面积．
【答案】（1）；（2）在；（3）6．
【解析】（1）设二次函数为，把（0，3）、（，0）、（2，）代入二次函数解析式，可得：，解得．
所以二次函数的解析式为：；
（2）把代入解析式，可得：，所以点P（，3）在函数图像上．
（3），可得．
6.已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0），且函数有最小值，求二次函数的解析式．
【答案】．
【解析】∵二次函数的图形与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0），
∴设二次函数解析式为，
∵（1，0），（3，0）关于直线对称，
∴函数顶点为，∴把代入，可得．
方法二：也可以使用顶点公式，把（1，0），（3，0）代入．
知识四、二次函数的应用
题型一、二次函数与利润最大化
【例7】某商品进价为90元/个，按100一个出售，能售出500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，单价应定为__________．
【答案】120元
【解析】可设商品价格在100元基础上涨元，其总利润为元，
总利润=单个利润×销量，，
化为顶点式即为，可知时有最大利润，此时商品单价
为元．
【例8】某商店以120元每件的成本购进一批新产品，在试销阶段，每件产品的销售价x（元）
与产品的日销售量y（台）之间的关系如下表所示：
（1）若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数；
（2）每件产品的销售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）；（2）1600元
【解析】（1）依题意可设，
则有，解得，即这个一次函数解析式为；
（2）总利润=单个利润×销量，则其总利润为
，
可知时商品有最大日销售利润1600元．

题型二、二次函数与面积问题
【例9】小智用总长为8厘米的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）平方厘米
A．4B．8C．16D．32
【答案】A
【解析】设矩形一边长为，由此可得矩形面积，可知
时矩形面积有最大值，此时矩形恰为正方形．
【例10】如图所示，矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
A
B
C
D
【答案】（1）；
（2）时有最大值．
【解析】（1）边长为，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32，由此可得边长为，根据矩形面积公式面积=长×宽， ；
函数化为顶点式，即得，
可知时，有最大值．
题型三、二次函数与拱桥问题
【例11】（2021·广东九年级专题练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）m．
A．3B．6C．8D．9
【答案】B
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）．
故选：B．
【例12】如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？
【答案】（1）；（2）能安全通过
【解析】
（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），
设抛物线解析式为：，
将点B（0，4）代入，得：，
解得：，
故该抛物线解析式为；
（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y16+106，
∴这辆货车能安全通过．
题型四、二次函数与运动轨迹
【例13】（1）（2020·上海市回民中学九年级月考）如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1m).
【答案】，16.5
【解析】
分析：设出函数解析式的顶点式，把点A代入求得解析式，进一步求出与x轴交点坐标，即可解答．
解答：解：如图，顶点B的坐标为（8，9），图象经过点A（0，1），
设抛物线的解析式为y=a（x-8）2+9，
把点A代入解析式得a=-，
因此这个二次函数的表达式为 y=-（x-8）2+9．
当y=0时，-x2+2x+1=0，
解得x1≈16.5，x2=-0.5（不合题意，舍去）；
因此小孩将球抛出了约16.5米．
故填y=-（x-8）2+9、16.5．
（2）（2020·广西中考真题）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
【答案】10．
【解析】
解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知，点，点，代入，得：
，
解得．
∴，
当时，，
解得，（不符合题意，舍去）．
∴该学生推铅球的成绩为10m．
故答案为：10．
（3）（2021·湖北中考真题）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______．

【答案】3
【解析】
解：∵，
∴当x=1时，，
故答案是：3．
【例14】（2021·河北九年级三模）如图所示，一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，已知球出手时离地面米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．
（1）请根据图中所给的平面直角坐标系，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；
（2）问此篮球能否投中？
（3）此时，若对方队员乙上前盖帽，已知乙最大摸高3.19米，他如何做才有可能获得成功？（说明在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）
【答案】（1）；（2）一定能投中，见解析；（3）只能距甲身前1.3米以内盖帽才能成功
【解析】
解：（1）在平面直角坐标系中，球出手点、最高点和篮圈坐标分别为：、、，
设函数式为，
代入A点坐标得：，解得：，
∴二次函数解析式为：；
（2）把代入得，
即点在抛物线上，所以一定能投中；
（3）将，
代入，解得或（舍），
，所以只能距甲身前1.3米以内盖帽才能成功．
举一反三
1．（2020·珠海市九洲中学九年级月考）如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为，当水面宽度为20m时，此时水面与桥拱顶的高度是（ ）
A．2mB．4mC．10mD．16m
【答案】B
【解析】解：根据题意得B的横坐标为10，
把x=10代入，
得y=-4，
∴OD=4m，
故选：B．
2．（2021·湖南九年级期末）国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
解：根据题意：平均每次降价的百分比为，该药品的原价为33元，降价后的价格为元，
可得与之间的函数关系为：．
故选：C．
3．（上海闵行区·九年级一模）一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ）
A．1米B．2米C．4米D．5米
【答案】C
【解析】
试题分析：令y=3.05得：﹣（x﹣2.5）2+3.5=3.05，解得：x=4或x=1.5（舍去）．
所以运行的水平距离为4米．故选C．
4．（2021·山西九年级二模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米B．8米C．10米D．2米
【答案】B
【解析】
解：当y＝0时，即＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
5.（2021·上海九年级专题练习）如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
【答案】（1）；（2），当x＝4时，S有最大值20
【解析】
（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，
∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴AK：AH＝GF：BC，
∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，
∴(8﹣y)：8＝y：10，
解得：y＝；
（2）设EF＝x，则KH＝x．
∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，
由（1）可知：，
解得：GF＝10﹣x，
∴s＝GF•EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，
∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20．
课堂总结
知识清单：
一般式y=ax2+bx+c求函数解析式；
顶点式y=a（x+m）2+k求函数解析式；
二次函数y=a（x-x1）（x-x2）求函数解析式；
二次函数图像的对称性；
二次函数的实际应用问题.
2.总结：求最值时，容易忽略自变量的取值范围.
课后作业
1．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3sB．4sC．5sD．6s
【答案】D
【解析】
解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴t＝﹣ ＝- ＝6（s），
故答案为：D．
2．（2021·山西晋中市·九年级期中）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：，
∴函数表达式为：，
∵a＜0，故函数有最大值，
∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
故选：D．
3．（2021·山东九年级期末）今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（ ）
A．y＝5000（1+x）B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2）D．y＝5000（1+2x）
【答案】B
【解析】
解：月平均增长率为x，
二月份销售量＝5000+5000x=5000(1+x),
三月份销售量5000(1+x)+ 5000(1+x)x=5000（1+x）2，
该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2．
故选择：B．
4．（2021·安徽九年级二模）如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒．
【答案】46
【解析】
解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，
∴MN的对称轴为直线x==23，
∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）．
故答案为：46．
5．（2021·山东九年级期末）如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为，拱桥的最高点B到水面OA的距离为．则抛物线的解析式为________．
【答案】
【解析】
根据题意可知：顶点B的坐标为(6，6)，
∴设抛物线解析式为y=a（x-6）2+6，将点O（0,0）代入，
36a+6=0，
解得a=，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：．
6．（2021·吉林九年级一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为__米．
【答案】3.4
【解析】
解：∵跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．
∴抛物线的对称轴为x＝2.5，
∴x＝﹣＝2.5，解得：b＝3，
∴抛物线为y＝，
∵人梯到起跳点A的水平距离是4，
∴点B的横坐标为4，
则yB＝﹣×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．
故答案为：3.4．
7.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】先将抛物线配成顶点式：，作x轴作轴对称变换可得：，再关于y轴作轴对称变换可得：，
展开即得．故选B．
8.二次函数的图像经过（1，）、（，0）、（，5），求二次函数的解析式．
【答案】．
【解析】设二次函数为，把（1，）、（，0）、（，5）代入二次函数解析式，可得：，解得．所以二次函数的解析式为：．
9.已知抛物线的顶点为（，3），且过点（，5），求抛物线的解析式．
【答案】．
【解析】设抛物线解析式为，因为顶点坐标为（，3），所以，
所以，再把（，5）代入，即得．
10.已知二次函数的图像与x轴交于点（，0）和（4，0），且过点（1，），求二次函数的解析式．
【答案】．
【解析】∵二次函数的图形与x轴的交点坐标是（，0）和（4，0），
∴设二次函数解析式为，把点（1，）代入解析式，可得．
∴二次函数的解析式为：．
11.把抛物线沿轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q（3，0），求平移后的抛物线的解析式．
【答案】．
【解析】设抛物线沿轴向上或向下平移距离为，则抛物线为，∵图像经过点Q，∴．
12.已知二次函数与二次函数形状相同，开口方向相反，且其图像的对称轴为直线x = 1，且经过点（2，），求此二次函数的解析式．
【答案】．
【解析】∵次函数与二次函数形状相同，∴，
∵开口方向相反，∴，又∵且其图像的对称轴为直线x = 1，∴，可得，再把点（2，）代入，得．
13．（2021·四川南充市·九年级期末）用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长xm，宽ym完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．
（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣0.75x+1.35，1≤x≤1.3；（2）这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2，见解析．
【解析】
解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，
整理，得3x+4y＝5.4，
∴y＝﹣0.75x+1.35，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，
由题意，得，
解得1≤x≤1.3，
即x的取值范围是1≤x≤1.3；
（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，
由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，
配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，
∵a＝﹣1.5＜0，对称轴为x＝0.9，
∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，
∵1≤x≤1.3，
∴当x＝1时，S有最大值，
S最大＝1.2，
答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．
14．（2021·江苏）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道最高点距离地面，以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴．
（1）求该抛物线的关系式；
（2）现有一辆货运卡车高，宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【答案】（1）抛物线关系式为；（2）这辆货运卡车能通过该隧道，计算见解析
【解析】
（1）由题意可知抛物线顶点，，
设抛物线关系式为，
将代入，得16a+6=2．
解得．
∴抛物线关系式为．
（2）货运卡车从隧道正中间走，由抛物线的对称性，得2.4÷2=1.2，
因此，当时，．
所以，这辆货运卡车能通过该隧道．
15．（2021·广西九年级期末）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．

【答案】（1）；（2）该货车能够通行的最大高度为．
【解析】
（1）由图②可知， B（4，0），抛物线顶点坐标（0,4） ，
设抛物线的解析式为：，
依题意得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2），
当x＝2.2时，，
当时，．
答：该货车能够通行的最大高度为．
16．（2020·山东青岛市·九年级期末）某商场销售一种小商品，进货价为5元/件．当售价为6元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨0.5元，每天的销售量就减少5件．设销售单价为x元/件（x≥6），每天销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）要使每天销售利润不低于280元，求销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过60%，则每件文具的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）w＝﹣10x2+210x﹣800；（2）销售单价所在的范围为6≤x≤18；（3）每件文具售价为8元时，最大利润为240元
【解析】
解：（1）由题意得w＝（x﹣5）[100﹣（x﹣6）÷0.5×5]＝﹣10x2+210x﹣800，
∴w与x的函数关系式为：w＝﹣10x2+210x﹣800=﹣10（x﹣10.5）2+302.5；
（2）由题意得：w＝﹣10x2+210x﹣800=280，
解得x1=9，x2=12
∵二次函数的对称轴为x=10.5
∴9≤x≤10.5，y随着x的增大而增大，10.5≤x≤12，y随着x的增大而减小，
∴使每天销售利润不低于280元，销售单价所在的范围为9≤x≤12，
而x≥6，
故销售单价所在的范围为9≤x≤12；
（3）∵每件文具利润不超过60%，
∴x﹣5≤0.6×5，得x≤8，
∴文具的销售单价为6≤x≤8，
由（1）得w＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5，
∵对称轴为x＝10.5，
∴6≤x≤8在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，
∴当x＝8时，取得最大值，此时w＝﹣10（8﹣10.5）2+302.5＝240，
即每件文具售价为8元时，最大利润为240元．
17．（2021·苏州高新区第五初级中学校九年级月考）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利60元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利3000元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，服装部每天盈利最大，最大利润是多少？
【答案】（1）30元；（2）降价20元时，利润最大，为3200元
【解析】
解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：
（60-x）（40+2x）=3000，
解得：x1=10，x2=30，
因为尽量减少库存，x1=10舍去．
答：每件衬衫应降价30元．
（2）设每天盈利为W元，则
W=（60-x）（40+2x）=-2（x-20）2+3200，
当x=20时，W最大为3200．
答：每件衬衫降价20元时，商场服装部每天盈利最多．
18．（2020·四川泸县五中九年级一模）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【答案】（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是；（2）在飞行过程中，在时小球飞行高度最大，最大高度是
【解析】
解：（1）∵，
∴令，得，
解得，，
∵，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是．
（2）
，
∴当时，取得最大值，最大值为20.
∴在飞行过程中，在时小球飞行高度最大，最大高度是．

x
130
150
165
y
70
50
35