第03讲 三角形一边的平行线- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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第3讲   三角形一边的平行线1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，直线DE // BC，那么．     2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点、分别在的边、上，DE // BC，那么． 3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．     6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么．     7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．题型一、利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等【例1】如图，在中，，，，，求．【例2】如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交DC的延长线于点F，AB=2,BE=3EC,那么DF的长为               .【例3】如图,在中，平分，，厘米，， 求的长．【例4】如图，在△ABC中，点G是△ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF=4，那么BE=                  . 【例5】如图，已知在中，，，，，， 求四边形的周长．  【例6】如图，在中，，于点，点是中点，过点作的垂线交于点，，则        ．【例7】如图，在等腰中，AB=AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE=6，FD=3,则的面积              ． 题型二、利用平行线判定证明线段平行【例8】如图，中，点在边上，点在边上，下列命题中不正确的是（  ） （A）若//，则  （B）若，则// （C）若//，则 （D）若，则// 【例9】如图，点、在的边上，点在边上，且//，． 求证：//．【例10】点、分别在的边、上，且//，以为一边作平行四边 形，延长、交于点，连接，求证：//．  题型三、利用平行线分线段成比例求线段长【例11】如图，////，，，， 求、的长． 【例12】如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、， 且////．已知，，，求、的长． 题型四、构造“A”与“8”字型【例13】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4.若EF∥BC，且EF=7，求AE和DF的长.（用两种方法解决）   【例14】如图，是线段上一点，且，交于点，，求的值．       举一反三1.中，直线交于点，交于点，以下能推出//的条件是（    ）A．，    B．，C．，    D．，2.（2021•醴陵市模拟）如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是　　A．2 B． C．1 D．3.（2021•松北区模拟）如图，中，，，下列式子错误的是　　A． B． C． D．  4.（2021•温岭市模拟）如图，，与相交于点，且，，，则　　A． B． C． D．5.在中，点、分别在边和上，，，，要 使//，则       ． 6.如图，中，//，，求证：//．       7.如图，已知////，它们依次交直线、于点、、和点、、．（1）如果，，，求的长；（2）如果，，求、的长．  8.如图，在平行四边形中，点在边上，若，则       ．9.如图，中，在BC上取一点P，CA上取一点Q，使得BP : PC = 2 : 5，CQ : QA = 3 : 4，AP与BQ交于点R，则AR : RP =______．     10.如图，在梯形中，，，，、是两腰上的点， ，，求的长． 课后作业1.（2020年•黄浦区一模）如图1，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（    ）．（A）；             （B）；  （C）；         （D）． 2.如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是(   )A.               B.                C.                D.                3.（2020年•浦东新区一模）]如图,已知直线分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且，若AB=4，AC=，,DF=9，则DE的长为 (　 　)A.5  B.6  C.7  D.84.（2020年•徐汇区一模）如图，，，，，那么下列结论正确的是（     ）（A）；                  （B）；（C）；                   （D）．  5.(2021•洪泽区二模）如图，，交、、分别于、、，且，，交、、分别于、、，则　　．6.（2020年•吉林中考）如图，AB∥CD∥EF．若，BD＝5，则DF＝　    　．7.（2020年•虹口区一模）如图4，在梯形AEFB中，AB∥EF，AB=6，EF=10，点C、D分别在边AE、BF上且CD∥AB，如果AC=3CE，那么CD长为       ．8.（2020年•静安区一模）在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD=6，那么AG=     ．    9.如图,在△ABC中,若BD∶DC=CE∶EA=2∶1,AD与BE交于F,则AF∶FD=        .  10.（2019年•长宁区月考）如图，平行四边形ABCD中，点E在CD上，点F在CD的延长线上，AF交BD于点O，交BC于点G，且DF:CD=DE:EC,求:OE∥BC       11.（2020秋•浦东新区期中）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．（1）如果，，，求的长；（2）如果，，，求的长． 12．（2019秋•黄浦区期中）如图，已知在中，，，，．（1）求的长；（2）当时，求证：．   13.（2019年•上海课时练习）梯形中，点在上，点在上，且，．（1）如图（a），如果点、分别为、的中点，求证：//且；（2）如图（b），如果，判断和是否平行，并证明你的结论，并用、、、的代数式表示．