2022年湖南省学业水平考试高二数学试题含解析

2022年湖南省学业水平考试高二数学试题

一、单选题

1．设全集，，（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用补集的定义直接求解.

【详解】因为全集，，

所以.

故选：C

2．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解.

【详解】解：设，因为，所以，

所以.

故选：D.

3．已知，为虚数单位，，若为实数，则取值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的分类即可求解，为实数，则虚部为0.

【详解】为实数，则

故选：B

4．甲地下雨的概率为，乙地下雨的概率为，两地是否下雨相互独立，则两地同时下雨的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据独立事件的概率公式即可求解.

【详解】解：记“甲地下雨”为事件，则，

记“乙地下雨”为事件，则，

两地同时下雨的概率为.

故选：A.

5．下列函数中，在为减函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导函数的正负来判断原函数的单调性即可求解.

【详解】对于,,所以在为减函数,对于,,所以在单调递增,,,,,故在单调递增.

故选：A

6．在中，，为（       ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【分析】根据向量数量积为0可得，即可得出结论.

【详解】解：因为，所以，则在中，，，

所以为直角三角形.

故选：A.

7．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数诱导公式求解即可.

【详解】解：因为，则.

故选：D.

8．已知，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由均值不等式求解即可.

【详解】，

，当且仅当时等号成立，

故选：B

9．将的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，则得到的新的解析式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数图象的变换关系进行求解即可.

【详解】解：的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，

得到的新的解析式为，整理得.

故选：D.

10．的否定是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用全称命题的否定可得结论.

【详解】解：命题“”为全称命题，该命题的否定为“”.

故选：B.

11．是空间中两条不同的直线，“是异面直线”是“没有公共点”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据空间直线与直线的位置关系及充分不必要条件的定义即可求解.

【详解】解：若是空间中两条不同的直线，且是异面直线，则没有公共点；

若是空间中两条不同的直线，且没有公共点，则是异面直线或，

故“是异面直线”是“没有公共点”的充分不必要条件.

故选：A.

12．的第百分位数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据百分位数的计算 ，找从小到大排的第三个数即可.

【详解】将从小到大排列为：1，1，2，2，3，第百分位数是第三个数据2，

故选：C

13．函数曲线恒过定点（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由对数函数的性质可求解.

【详解】因为对数函数恒过点，

所以函数曲线恒过点.

故选：C

14．的解集为（       ）

A． B．或 C． D．

【答案】B

【分析】直接求解一元二次不等式即可.

【详解】解：因为时，解得或，

所以的解集为或.

故选：B.

15．函数的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据辅助角公式化简即可求解.

【详解】，故最大值为2

故选：B

16．函数的零点所在的一个区间是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可.

【详解】因为为增函数,且,

根据零点存在性定理知的零点在区间内.

故选B

【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.

17．大西洋的鲑鱼每年会逆流而上，回原地产卵.鲑鱼研究者发现鲑鱼的速度为，其中表示氧气的消耗量.已知鲑鱼的速度，则氧气消耗量为（       ）

A．个单位 B．个单位 C．个单位 D．个单位

【答案】B

【分析】根据所给函数关系式，代入求解即可.

【详解】根据所给函数关系，

当时，，即，

解得，

故选：B

18．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数图象，判断函数的奇偶性、周期性、对称性等性质，逐项判断即可.

【详解】解：由函数的图象可得，函数为偶函数，函数关于对称，且最小正周期为2，最大值为1，最小值为0，

A项中，，故A项正确；

B项中，，故B项正确；

C项中，因为，则函数的周期为1，而函数的最小正周期为2，故C项错误.

D项中，，则函数关于对称，故D项正确.

故选：C.

二、填空题

19．___________.

【答案】2

【分析】根据指数幂的运算，直接计算求值即可.

【详解】解：.

故答案为：2.

20．一支游泳队有男运动员人，女运动员人，按性别分层，用分层随机抽样从全体运动员抽取一个容量为的样本，那么抽取的女运动员人数为___________.

【答案】3

【分析】根据抽样比例,即可求解.

【详解】抽取的女运动员人数为

故答案为:3

21．半径为的球的表面积为___________.

【答案】

【分析】利用球的表面积公式即可求解.

【详解】解：球的半径为，所以球的表面积为.

故答案为：.

22．在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为____．

【答案】

【详解】由正弦定理： 可得： ，

由 可得 ，则： .

三、解答题

23．某人通过计步仪器，记录了自己100天每天走的步数（单位：千步）得到频率分布表，如图所示

(1)求频率分布表中的值，并补全频率分布直方图；

(2)估计此人每天步数不少于1万步的概率.

【答案】(1)；频率分布直方图见解析.

(2)

【分析】（1）根据频率分布表可直接计算的值，根据的值补全频率分布直方图即可.

（2）根据频率分布表可得此人每天步数不少于1万步的天数，利用古典概型概率公式即可求解.

【详解】(1)解：由频率分布表可得，，，

则频率分布直方图为：

(2)解：根据频率分布表可得，每天步数不少于1万步的天数为天，

故此人每天步数不少于1万步的概率为.

24．在直三棱柱中，，为中点.

(1)求证：平面；

(2)若，求四棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由，根据线面垂直的判定定理得证；

（2）根据（1）可知棱锥高，利用体积公式求解可.

【详解】(1)，为中点，

,

在直三棱锥中，平面, 平面.

，又,

平面

(2)，为中点，

，

由（1）知，四棱锥的高即为，

又，所以，

.

25．已知函数.

(1)写出的定义域并判断的奇偶性；

(2)证明：在是单调递减；

(3)讨论的实数根的情况.

【答案】(1)，偶函数

(2)证明见解析

(3)有2个实数根

【分析】（1）根据题意可得分母不能为0，即，求解函数的定义域即可，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；

（2）利用定义法证明函数在是单调递减即可.

（3）构造函数，求解函数与函数在区间上的单调性，利用极限的思想可得函数与函数在区间上有一个交点，利用偶函数的性质可得函数与函数共有2个交点，即为方程的根.

【详解】(1)解：由题可知，所以函数的定义域为，

因为，所以函数为偶函数.

(2)解：当时，，

设为区间上的任意的两个值，且，

则，

因为，所以，

故，即，

所以函数在区间上单调递减.

(3)解：由（2）得，当时，函数在区间上单调递减，且，当时，，

当时，，

设为区间上的任意的两个值，且，

则，

因为，所以，

故，即，

所以函数在区间上单调递减.

且当时，，当时，，

设，则为偶函数，且恒成立，

当时，函数在区间单调递增，且，当时，.

所以函数与函数在区间必有一个交点，

又因为函数与函数均为偶函数，所以函数与函数在区间必有一个交点，

所以函数与函数有2个交点，即方程有2个实数根.