2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试题与答案

 2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.

1.已知集合，，若，则的值为(    )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

2.设，则的值为(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. -1

3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是(    )

A. 圆柱 B. 三棱柱

C. 球 D. 四棱柱

4.函数的最小值是（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

5.已知，，且，则实数值为（    ）

A  B. 2 C. 8 D.

6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生实行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为(    )

A.  B.

C.  D.

7.某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.已知点在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则的最大值是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

9.已知两点，则以线段为直径圆的方程是（    ）

A  B.

C.  D.

10.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为（  ）

1.  B.  C.  D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.

11.计算：=    

12.已知1，x，9成等比数列，则实数x=      ．

13.经过点A（0，3），且与直线y=﹣x+2垂直的直线方程是     ．

14.某程序框图如图所示，若输入的的值为，则输出的值为_________ .

15. 已知向量与的夹角为，若，且，则_______.

三、解答题：本大题共5小题，满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知.

（1）求的值；（2）求的值.

17.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清.

（1）试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；

（2） 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用多于8元？

18.如图，在三棱锥中，平面，，，，直线与平面所成的角为，点分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

19.已知数列满足：，.

（1）求，及通项；

（2）设是数列的前n项和，则数列，，，…中哪一项最小？并求出这个最小值.

20.已知函数.

（1）当时，求函数的零点；

（2）若函数为偶函数，求实数的值；

（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.

1.已知集合，，若，则的值为(    )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】A

根据并集的概念求解．

【详解】∵，，，∴．

故选：A．

【点睛】本题考查并集的概念，属于简单题．

2.设，则的值为(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. -1

【答案】A

选取解析式代入可得结论．

【详解】由题意．

故选：B．

【点睛】本题考查分段函数，分段函数求值关键是要判断自变量的范围，根据不同范围选取不同的表达式计算．

3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是(    )

A. 圆柱 B. 三棱柱

C. 球 D. 四棱柱

【答案】A

由三视图可直接得出答案.

【详解】由三视图可知该几何体是圆柱

故选：A

【点睛】本题考查的是三视图，较简单.

4.函数的最小值是（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

根据余弦函数的性质，得到，即可求得函数的最小值，得到答案.

【详解】由题意，根据余弦函数的性质，可得，

当时，函数取得最小值，最小值为.

故选：A

【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记余弦函数的值域是解答的关键，着重考查了计算能力.

5.已知，，且，则实数的值为（    ）

A.  B. 2 C. 8 D.

【答案】B

直接利用向量的平行的坐标运算，求出的值即可.

【详解】解：已知，，且，

则，所以.
故选：B.

【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，考查计算能力.

6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生实行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

算出高一、高二、高三年级的学生人数的所占比例即可.

【详解】因为高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，

所以高一、高二、高三年级学生人数的所占比例分别为，，

所以从这三个年级中抽取45名学生实行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为

故选：D

【点睛】本题考查的是分层抽样，较简单.

7.某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

样本点总数为9，取出的球恰好是白球含4个样本点，计算得到答案.

【详解】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,

故所求概率为,

故选：C.

【点睛】本题考查了古典概率的计算，属于简单题.

8.已知点在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则的最大值是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

【答案】D

由可得，表示的是斜率为1的直线，然后结合图形可得答案.

【详解】由可得，表示的是斜率为1的直线，

由图可得当直线过点时最大，最大值为5

故选：D

【点睛】本题考查的是线性规划，考查了数形结合的思想，属于基础题.

9.已知两点，则以线段为直径的圆的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

依题意，两点的中点为，其到点的距离为，故圆的方程为.

点睛：本题主要考查中点坐标公式，考查圆的标准方程.圆的一般方程为，标准方程为，这两个方程都有三个系数要待定，故要有个条件才可以求出圆的方程.本题中第一个条件是利用两点求中点的坐标，得到圆心，再用两点间的距离公式得到半径，从而得到圆的方程.

10.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

在中，由余弦定理可得 ，

所以．故选A．

【解题必备】当的长度不可直接测量时，求，之间的距离有以下三种类型．

（1）如图1，A，B之间不可达也不可视，计算方法：测量，及角，由余弦定理可得 ．

（2）如图2，B，C与点A可视但不可达，计算方法：测量，角，角，则，由正弦定理可得．

（3）如图3，C，D与点A，B均可视不可达，计算方法：测量

在中由正弦定理求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求．

图1                             图2                               图3

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.

11.计算：=    

【答案】2

试题分析：

考点：对数运算

12.已知1，x，9成等比数列，则实数x=      ．

【答案】±3

解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，

解得x=±3．

故答案为±3．

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．

13.经过点A（0，3），且与直线y=﹣x+2垂直的直线方程是     ．

【答案】y=x+3

试题分析：设与直线y=﹣x+2垂直的直线方程为y=x+m，把点A（0，3）代入解出m即可．

解：设与直线y=﹣x+2垂直的直线方程为y=x+m，

把点A（0，3）代入可得：3=0+m，解得m=3．

∴要求的直线方程为：y=x+3．故答案为y=x+3．

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．

14.某程序框图如图所示，若输入的的值为，则输出的值为_________ .

【答案】，若输入的的值为，满足，则.

【详解】若输入的的值为，满足，则，故输出的值为

故答案为：

【点睛】本题考查是程序框图，较简单.

15.已知向量与的夹角为，若，且，则_______.

【答案】4

根据向量的数量积的运算公式，列出方程，即求解.

【详解】由题意，向量与的夹角为，若，

则，解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.

三、解答题：本大题共5小题，满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）（2）1

（1）根据同角三角函数基本关系求解即可；

（2）根据两角和的正弦公式计算求解.

【详解】（1），

，

，

注：也可直接由得，直接计算.

（2）.

也可.

【点睛】本题主要考查了三角函数的同角基本关系，两角和正弦公式，特殊角的三角函数值，属于容易题.

17.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清.

（1）试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；

（2） 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用多于8元？

【答案】（1）；；（2）.

分析】

（1）由题意结合频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1即可求得；利用众数的概念即可求得众数；

（2）由频率分布直方图计算出职员早餐日平均费用不少于8元的频率，用样本频率乘以总人数即可得解.

【详解】（1）因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，

所以，解得；

该公司职员早餐日平均费用的众数为；

（2）由频率分布直方图可知，

职员早餐日平均费用不少于8元的频率为，

又因为该公司有1000名职员，

所以该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有（人）.

【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质与应用，考查了运算求解能力和数据处理能力，属于基础题.

18.如图，在三棱锥中，平面，，，，直线与平面所成的角为，点分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

（1）由题意结合平面几何的知识可得，由线面平行的判定即可得证；

（2）由平面可得即为直线与平面所成的角，进而可得，利用三棱锥的体积公式即可得解.

【详解】（1）证明：点分别是的中点，

，

又平面，平面，

平面；

（2）平面，即为直线与平面所成的角，，

，，

，，

三棱锥的体积.

【点睛】本题考查了线面平行的判定及线面角、线面垂直的相关问题，考查了棱锥体积的求解，属于基础题.

19.已知数列满足：，.

（1）求，及通项；

（2）设是数列的前n项和，则数列，，，…中哪一项最小？并求出这个最小值.

【答案】（1），，；（2）最小，为

（1）直接计算得到，判断数列为等差数列，计算得到答案.

（2），，故最小，根据公式计算得到答案.

【详解】（1），当时，，，，.

，故数列为首项是，公差为的等差数列，故.

（2），故，，故最小，

.

【点睛】本题考查了等差数列通项公式，和的最值，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

20.已知函数.

（1）当时，求函数的零点；

（2）若函数为偶函数，求实数的值；

（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

（1）由题意结合函数零点的概念，解方程即可得解；

（2）由题意结合偶函数的性质可得，即可得解；

（3）由题意将条件转化为在上恒成立，结合换元法与二次函数的性质分别求出的最大值，的最小值即可得解.

【详解】（1）当时，，

令即，由指数函数的性质可得，解得，

所以当时，函数的零点为0；

（2）因为函数为偶函数，所以即，

所以，

又不恒为0，所以即；

（3）因为在上恒成立，

所以在上恒成立，

由可得在上恒成立，

令，所以在上恒成立，

设，，

由可得当时，，

由可得当时，，

所以，

所以实数的取值范围为.

【点睛】本题考查了函数零点和奇偶性的应用，考查了换元法、二次函数性质的应用及恒成立问题的解决，属于中档题.