2022年湖南省普通高中学业水平合格性考试（四）数学试题含解析

2022年湖南省普通高中学业水平合格性考试（四）数学试题

一、单选题

1．已知集合,, 则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由并集运算求解即可

【详解】由并集的定义，可得.

故选D.

【点睛】本题考查集合的并集运算,熟记并集定义是关键,是基础题

2．设命题，，则为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，

命题“，”的否定“，”.

故选：A.

3．已知，bR，且＜b，则下列不等式一定成立的是（       ）

A．+3<b+3 B．5>b5 C．2>2b D．

【答案】A

【分析】利用不等式的性质分析判断

【详解】因为，bR，且＜b，

所以由不等式的性质可得，，，，

所以A正确，BCD错误，

故选：A

4．（       ）

A．-1 B．0 C．1 D．10

【答案】C

【分析】利用对数的运算性质求值即可.

【详解】由.

故选：C.

5．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）

A．y＝10－x(0<x<5)

B．y＝10－2x(0<x<10)

C．y＝20－x(0<x<5)

D．y＝20－2x(0<x<10)

【答案】A

【分析】利用周长列方程，化简求得关于的表达式，求得定义域，由此求得函数解析式.

【详解】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.

所以函数解析式为.

故选：A

6．在复平面内，复数对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘除运算将复数化为代数形式，然后求出对应点的坐标，再判断对应点的象限即可.

【详解】，其对应点的坐标为位于第一象限.

故选：A

7．设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（       ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性进行求解.

【详解】因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以.

故选：A

8．与为同一函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据定义域和对应法则，逐项判断即可得解.

【详解】对于A，函数与的对应法则不同，所以两函数不是同一函数，故A错误；

对于B，函数，与函数的对应法则相同，且定义域均为R，

所以两函数为同一函数，故B正确；

对于C，函数的定义域为，的定义域为R，

两函数定义域不同，不是同一函数，故C错误；

对于D，函数的定义域为，的定义域为R，

两函数定义域不同，不是同一函数，故D错误.

故选：B.

9．函数的最小正周期是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】直接利用函数 的周期公式 求解.

【详解】函数的最小正周期是，

故选：B．

【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，还考查了运算求解的能力，属于基础题．

10．正方体中与垂直的平面是（       ）

A．平面 B．平面 C．平面 D．平面

【答案】D

【分析】在正方体中，证明⊥面，而面、面、面均与面相交，即可判断.

【详解】正方体中，

在A中，与平面相交但不垂直，故A错误；

在B中，与平面相交但不垂直，故B错误；

在C中，与平面相交但不垂直，故C错误；

在D中，，，，

平面，故D正确.

故选D.

11．下列函数中，最小值为2的函数是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据基本不等式和配方法分别求出各选项的最值，即可得到答案；

【详解】解：对于A，当时，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，当时，，故C错误；

对于D，，当且仅当取等号，故D正确；

故选：D.

12．某校为了了解学生对“中国梦”伟大构想的认知程度，举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分，以下数据为参加竞赛决赛的15名同学的成绩（单位：分）：68，60，62，76，78，69，70，71，84，74，46，88，73，80，81．则这15人成绩的第80百分位数是（       ）

A．80 B．80.5 C．81 D．81.5

【答案】B

【分析】将15人的成绩从小达到排列，根据百分位数的定义求解即可.

【详解】解：将15人的成绩从小到大排列：46，60，62，68，69，70，71，73，74，76，78，80，81，84，88；

又，则第12位数字是80，第13位数字是81，

故这15人成绩的第80百分位数是.

故选：B.

13．将函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角函数图象的平移变换求解.

【详解】解：将函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为.

故选：C

14．如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】∥，所以及为异面直线与所成的角或其补角，连接，根据余弦定理即可求得答案.

【详解】

如图，连接，则，由题知，，，∵∥，所以及为所求角或其补角，

所以.

故选：D.

15．在中，已知，，，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先用平方关系求出，再用面积公式求面积

【详解】

所以

故选：C

16．已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据特殊值，排除选项.

【详解】由图象可知，函数的定义域里有0，所以排除CD，并且，排除B.

故选：A

17．甲､乙去同一家药店各购一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B､C三种医用外科口罩，则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别写出基本事件数和符合条件的事件数，利用古典概型公式求解即可.

【详解】甲、乙在A，B，C三种医用外科口罩中各购一种的基本事件有,,,

，,,,,共9种，

其中甲，乙购买的是同一种医用外科口罩基本事件有,3种，

则其概率为.

故选:.

18．已知函数则下列说法正确的个数是（       ）

①是上的增函数；②的值域为；③“”是“”的充要条件；④若关于的方程恰有一个实根，则

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】结合分段函数、指数函数、对数函数的图象与性质对四个说法进行分析，由此确定正确答案.

【详解】画出的图象如下图所示，

所以在和上递增，①错误；

的值域为，②正确；

，所以③错误；

，要使“关于的方程恰有一个实根”，即图象与的图象只有一个交点，则，所以④正确.

所以正确的有个.

故选：C

二、填空题

19．已知，，，，，则________．

【答案】

【分析】根据向量加法的三角形法则可得.

【详解】.

故答案为：.

20．_____．

【答案】.

【详解】 由正弦的背胶公式可得.

21．某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生的人数及其概率如下表：

则派出至多2名医生的概率_____

【答案】0.79

【分析】从频率分布表中找出至多派出名医生的所有情况，并将相应的概率相加可得出答案．

【详解】由题意可知，事件“至多派出名医生”包含“派出的医生数为、、”，

其概率之和为，故答案为．

【点睛】本题考查概率的基本性质，考查概率的加法公式的应用，解题时要弄清所求事件所包含的基本事件，考查计算能力，属于基础题．

22．某工厂8年来某种产品年产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；   ②前三年产量增长的速度越来越慢；

③第三年后这种产品停止生产；          ④第三年到第八年每年的年产量保持不变.

其中说法正确的序号是________.

【答案】②④

【分析】根据函数图象，结合函数增长率的情况，即可容易判断.

【详解】由图可知，前年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；

第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确；

综合所述，正确的为：②④.

故答案为：②④.

三、解答题

23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角B；

（2）若，，求，．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小．

（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．

【详解】（1）在中，

由正弦定理，得．

又因为在中．

所以．

法一：因为，所以，因而．

所以，

所以．

法二：即，

所以，因为，

所以．

（2）由正弦定理得，

而，

所以　，①

由余弦定理，得，

即， ②

把①代入②得.

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

24．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.

（1）若弧BC的中点为D，求证：平面；

（2）如果的面积是9，求此圆锥的表面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）证明即可；

（2）由条件可得，，然后由的面积是9求出，然后可算出答案.

【详解】（1）　∵是底面圆的直径，

∴

∵弧的中点为，

∴

又，共面，

∴

又平面，平面，

∴平面

（2）设圆锥底面半径为，高为，母线长为，

∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

∴，

由，得

∴圆锥的表面积

【点睛】本题考查的是线面平行的证明和圆锥表面积的求法，考查了学生的逻辑推理能力和计算能力，属于基础题.

25．已知f(x)＝ln是奇函数.

(1)求m；

(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明.

【答案】(1)－1；

(2)在(1，＋∞)上单调递减，证明见解析.

【分析】(1)根据奇函数即可求出m；

(2)用定义法即可证明f(x)在(1，＋∞)上的单调性﹒

【详解】(1).

是奇函数,

,即,得,

；

(2)在上单调递减.

证明:由(1)知.

任取满足,

,

由知,,

,即,

又为增函数,

,

即

在上是减函数.