2022-2023学年广东省惠州市惠城区茂峰学校九年级（上）开学数学试卷（Word解析版）

2022-2023学年广东省惠州市惠城区茂峰学校九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 各图象中，不是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列各组数中以，，为边的三角形是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 在函数中，当自变量时，函数值等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 一元二次方程化成一般式后，，的值为(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7. 如图，在菱形中，点，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知是一元二次方程的一个根，那么(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列命题是假命题的是(    )

A. 直线与轴交于点
B. 在一次函数中，随着的增大而增大
C. 矩形的对角线相等
D. 若，则

10. 等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 一元二次方程的根______ ．
12. 甲、乙两人进行射击测试，每个人次射击成绩的平均值都是环，方差分别是，，则两人中成绩比较稳定的是______填“甲”或“乙”
13. 目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市年底有用户万户，计划到年底该市用户数累计达到万户，设该市用户数年平均增长率为，则的值是______．
14. 如图所示，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是______．

15. 如图，在正方形中，点为边的中点，点为对角线上一点，若，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

16. 计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，在▱中，点、分别是、的中点．求证：．

18. 本小题分
    解方程：．
19. 本小题分
    在疫情期间，学校推出了“空中课堂”，为了解该学校九年级学生每天听“空中课堂”的时间，随机调查了该校部分九年级学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图和图．
    请根据相关信息，解答下列问题：
    Ⅰ参加这次调查的学生人数为______，图中的值为______；
    Ⅱ求统计的这组学生听课时间数据的平均数、众数和中位数；
    Ⅲ若该学校九年级共有名学生，请估计该学校九年级学生每天听“空中课堂”的时间不低于的人数．
20. 本小题分
    已知关于的一元二次方程有实数根．
    求的取值范围；
    若该方程的两个实数根分别为，且，求的值．
21. 本小题分
    如图，在正方形中，点、分别是边、的点．若，，．
    请求出的长；
    求证：．

22. 本小题分
    某饮料批发商店平均每天可售出某款饮料瓶，售出瓶该款饮料的利润是元．经调查发现，若该款饮料的批发价每降低元，则每天可多售出瓶．为了使每天获得的利润更多，该饮料批发商店决定降价元．
    当为多少时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元？
    该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润能达到元吗？若能，请求出的值，若不能，请说明理由．
23. 本小题分
    直线与轴，轴分别交于点、，过点作于点，且，点在第一象限内．
    求点、、的坐标；
    在第一象限内有一点，使，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据二次根式的性质可知，
，
，
选项正确，
故选：．
根据二次根式的性质即可直接求解．
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故A符合题意；
B、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，即可解答．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
以、、为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以、、为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
以、、为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
D.，
以、、为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：将代入中，
，
故选：．
将代入中，计算即可．
此题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟记一次函数图象上的坐标特征，一次函数图象的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项，，所以选项错误．
选项，，所以选项错误．
选项，，所以选项错误．
选项，，所以选项正确．
故选：．
根据二次根式的性质依次计算验证即可．
本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
去括号得：
，
移项合并同类项得：
，
，，，
故选：．
通过去括号、移项、合并同类项将方程化为一般形式即可得．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的概念是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
菱形的周长．
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，
即，
．
故选：．
利用一元二次方程的解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

9.【答案】 

【解析】解：直线与轴交于点，是真命题，不符合题意；
B.在一次函数中，随着的增大而增大，是假命题，符合题意；
C.矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
D.若，则，是真命题，不符合题意；
故选：．
根据一次函数的性质，矩形的性质，二次根式的性质逐个判断即可．
本题主要考查了一次函数的性质，矩形的性质，二次根式的性质，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：三角形是等腰三角形，
，或；两种情况，
当，或时，
，是关于的一元二次方程的两个根，
，
把代入得，，
解得：，
当，方程的两根是和，而，，不能组成三角形，
故不合题意，
当时，方程有两个相等的实数根，

解得：．
故选：．
由三角形是等腰三角形，得到，或；；当，或时，得到方程的根，把代入即可得到结果；当时，方程有两个相等的实数根，由可得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解，根的判别式，注意分类讨论思想的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：移项得，
．
这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求的平方根．
解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
 

12.【答案】甲 

【解析】解：因为甲的方差最小，所以两人中成绩比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
该市用户数年平均增长率为．
故答案为：．
利用年底该市用户数年底该市用户数用户数年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数与函数的图象交于点，
不等式的解集是．
故答案为．
直线落在直线上方的部分对应的的取值范围即为所求．
本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，

四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
当、、三点共线时，最小值为，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：．
首先证明≌得，当、、三点共线时，最小值为，利用勾股定理即可求出答案．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，利用全等三角形证明是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用二次根式除法运算法则、二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式除法运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

17.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，，
又点、分别是、的中点，
，，
，
在与中，，
≌，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得出，，结合点、分别是、的中点，得出，从而利用判断出≌，继而得出结论．
此题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是利用平行四边形的性质得出，，另外要掌握三角形全等的判定．
 

18.【答案】解：把方程左边分解因式得：，
所以或，
解得：，． 

【解析】方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：Ⅰ参加这次调查的学生人数为人，
，即，
故答案为：，；
Ⅱ这组学生听课时间数据的平均数为，
众数为，中位数为；
Ⅲ人，
答估计该学校九年级学生每天听“空中课堂”的时间不低于的人数为人．
Ⅰ由的人数及其所占百分比可得总人数，用人数除以被调查人数可得的值；
Ⅱ根据众数、中位数及加权平均数的定义列式计算即可；
Ⅲ总人数乘以样本中每天听“空中课堂”的时间不低于的人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，即，
整理得：，
解得：；
该方程的两个实数根分别为，，
，，
，
，即，
整理得：，即，
解得：舍去或，
则的值为． 

【解析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于，求出的范围即可；
已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

21.【答案】解：在正方形中，．
，．
．
．
在中，．
即的长为．
证明：在中，，．
．
在中，，．
．
由得，．
．
是以为斜边的直角三角形．
． 

【解析】在中，利用勾股定理直接求解；
分别把的三边，，在不同的直角三角形中，利用勾股定理表示出来，然后证．
本题考查了正方形的性质及勾股定理与其逆定理，解这类题目要注意正方形中的隐含条件，四条边相等，四个角都是等．
 

22.【答案】解：该饮料批发商店决定降价元，
售出瓶该款饮料的利润是元，平均每天可售出瓶．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当为或时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为．
该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到元，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
，
原方程没有实数根，
即该饮料批发商每天卖出该款饮料的利润不能达到元． 

【解析】利用降价后每瓶的销售利润原来每瓶的销售利润降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，利用平均每天的销售量原销售量，即可得出降价后平均每天的销售量，利用总利润降价后每瓶的销售利润降价后平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
利用总利润降价后每瓶的销售利润降价后平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出原方程没有实数根，即该饮料批发商每天卖出该款饮料的利润不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 

23.【答案】解：令代入中，
，
，
令代入中，
，
，
过点作轴于点，
，
，
，
在与中，
，
≌
，，
，
；
在第一象限内有一点，使，
，
设直线为，
代入的坐标得，，解得，
直线为，
把点代入得，，
的值为． 

【解析】过点作轴于点，令和分别代入中即可求出与的坐标，利用≌，求出点的坐标；
根据题意，设直线为，代入的坐标即可求得，得到直线为，代入即可求得的值．
本题是一次函数的综合问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，明确，则是解题的关键．