【教培专用】五年级上册秋季数学奥数培优讲义-第11讲 工程问题 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、工程问题（五上）

1、 工程问题中的基本量

   （1）工作效率就是单位时间内完成的工作量．

   （2）工作效率＝工作总量÷工作时间

        工作时间＝工作总量÷工作效率

        工作总量＝工作时间×工作效率

2、 工程问题中的合作类问题

   （1）多人合作的话，各人的工作量之和为“1”．

   （2）（a）若各人的工作时间都相同，总工效等于各人工效之和；

        （b）若工作时间不同，需要把工作量分开考虑．

   （3）若分配报酬，一般按工作量之比进行分配．

3、 工程问题中的周期问题

   （1）循环工作产生的周期．

   （2）间隔休息产生的周期．

简单工程问题，当单独工作效率已知时，可以按分段或分对象解决问题；当合作效率已知时，可以考虑分段解决问题或利用分作做想创造性解决问题。 周期问题中，注意整周期的一致性。

一、 简单工程问题

1、工厂有一批共450个零件需要加工，如果甲单独做需要30天完成，如果乙单独做需要15天，那么他们两人合作需要_________天完成．

【答案】
10

【解析】
甲每天的工作量是个;乙每天的工作量是个；两人合作每天的工作量时个；所需时间是天．

2、甲、乙两辆车运一堆煤，如果只用甲车运，15小时可以运完；如果只用乙车运，10小时可以运完．请问：（1）如果两车一起运，_________小时可以运完；（2）如果甲车从早上8点开始运煤，乙车下午1点才开始运，那么下午_______点的时候可以把煤运完．

【答案】
（1）6小时（2）下午5点

【解析】
（1）设共工作量为1，则甲的效率是，乙的效率是；两人合作所需的时间是小时（2）下午1点时甲已经运了5小时了，运了总工作量的；剩下的两车合运，需要小时，因此在下午5点可以把煤运完．

3、一条公路，甲队单独修需20天完成，乙队单独修需30天完成，请问：（1）如果甲、乙两队合做，共需要多少天完成？（2）如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了5天才修完，那么乙队一共修了多少天？

【答案】
（1）12天（2）9天

【解析】
（1）甲的效率是，乙的效率是；两队合作，需要的时间是天．

（2）甲队在5天内修了总工作量的，两队合作修了总工作量，又知两队合作12天可以完成全部工作量，因此合作的时间是天，亦即乙队修了9天．

4、现在要修筑一条公路，如果甲、乙两个工程队同时施工，20天可以完成．如果两队合作15天之后，剩下的全部由乙来完成，则还需要15天才能完成．那么如果这条路全部都由甲队来修，需要多少天才能完成？

【答案】
30

【解析】
首先可知甲乙两队合作的效率是．合作15天后，还剩下．那么乙的效率是，甲的效率是．甲单独修需要30天．

5、有一条公路，甲队单独修需要12天，乙队单独修需要15天．一开始两队一起修路，但是中间甲队因其他任务离开了，结果前后一共用了10天才把整条公路修完．请问甲队修了几天？

【答案】
4

【解析】
乙队从头干到尾，即工作了10天，修了，所以甲修了，用了天．

6、一项工程，如果由甲、乙两组合作，共需要10天完成，如果甲、丙两组合作，共需要12天完成，如果由乙、丙两组合作，共需要15小时完成．那么甲、乙、丙三组合作，共需要多少天完成？

【答案】
8

【解析】
甲、乙的合作效率是，甲、丙的合作效率是，乙、丙的合作效率是，所以甲、乙、丙的合作效率是，三组合作共需要8天完成．

7、有一批待加工的零件，甲单独做需要4天完成，乙单独做需要5天完成，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做20个零件．这批零件共有多少个？

【答案】
180

【解析】
两人合做用天，这段时间甲做了，乙做了，利用量率对应可得，这批零件共有个．

二、 复杂工程问题

8、（金帆四年级春季）搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

【答案】
3；5

【解析】
设搬运一个仓库的货物的工作量是1。现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是小时。故丙帮甲完成，帮甲干了小时，帮乙干了小时。

9、甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多．已知甲队单独完成A工程要40天，乙、丙两队单独完成B工程分别需要60天、75天．开始时甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，剩下乙队单独做B工程，结果两个工程同时完成．请问：丙队与乙队合做了多少天？

【答案】
30

【解析】
设A工程的工作量为1，则B工程的工作量为，甲的效率是，乙的效率是，丙的效率是；三人合作完成这两个工程所需的时间是天；这36天乙都在做B工程，工作量是；因此丙与乙合作时丙完成的工作量是，两队合作的时间是天．

10、（金帆五年级春季）有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天． 如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

【答案】
12天

【解析】
根据题意可知，张做乙工作效率更高，其效率是，李做甲工作效率更高，其效率是．要使得所需要时间更短，我们可以先让李完成甲工作，张先做着乙工作，然后李8天完成甲工作后，来帮张做乙工作，李完成甲工作时，张已经完成了乙工作的，所以二人合干，还需要天，再加上李完成甲用了8天，就可求出一共需要12天．

三、 周期工程问题

11、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成．如果按甲、乙、甲、乙、……的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么需要_________小时才能完成任务．

【答案】
小时

【解析】
每两个小时完成的工作量时；

，两人交替工作了3次，共6小时后，还剩下总共工程量的；

这让甲再工作1小时还剩下，需要乙再工作小时；

一共需要小时才能完成任务．

12、（1）单独完成一项工程，甲需要15天，乙需要10天．现在两人按甲、乙、甲、乙、……的顺序，一人一天轮流工作．那么完成这项工作需要多少天？

（2）单独完成一项工程，甲需要15天，乙需要6天．现在两人按甲、乙、甲、乙、……的顺序，一人一天轮流工作．那么完成这项工作需要多少天？

（3）单独完成一项工程，甲需要15天，乙需要12天．现在两人按甲、乙、甲、乙、……的顺序，一人一天轮流工作．那么完成这项工作需要多少天？

【答案】
（1）12（2）9（3）

【解析】
（1）以甲1天、乙1天为一个周期，一个周期内完成的工作量是，那么需要6个周期，即12天完成这项工作；

（2）以甲1天、乙1天为一个周期，一个周期内完成的工作量是．4个周期后还剩没有完成，接下来甲再工作1天正好完成．共需要天；

（3）以甲1天、乙1天为一个周期，一个周期内完成的工作量是．6个周期后还剩没有完成．甲再工作1天后还剩，乙还需要，共需要天．

13、甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，并且结束工作的是乙；若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天．已知甲单独完成这件工作需天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？

【答案】
天

【解析】
由题意可知，无论按什么顺序做，一个完整循环的工作量是一样的，所以只需要看最后一个循环即可：甲、乙、丙次序轮做，最后工作是甲1天、乙1天；若按乙、丙、甲次序轮做，最后工作是乙1天、丙1天、甲天；若按丙、甲、乙次序轮做，最后工作是丙1天、甲1天、乙天．所以， 从而求得甲、乙、丙的工作效率比是．甲的工作效率是：，故甲、乙、丙的合作效率是：，它们一起完成工作需要：（天）．

四、 综合应用

14、一项工程，如果须师傅和徐师傅一起完成需要30天完成．如果须师傅先工作18天，然后由徐师傅完成剩下的，还需要38天．如果徐师傅单独工作，需要多少天才能完成？

【答案】
50

【解析】
须师傅工作18天，徐师傅工作38天，相当天两人合作18天，徐师傅再单独工作20天．所以徐师傅20天完成的工作量是，徐师傅的工作效率是．所以徐师傅单独工作，需要50天才能完成．

15、（2013年金帆五春）一项工程甲乙合做全工程的，剩下的由甲单独完成，整个工程下来，甲一共做了10.5天．已知这项工程由甲单独做需要15天，那么这项工程若由乙单独做需要__________天．

【答案】
20

【解析】
甲共完成，其中后期独做的占，故前期甲做了，乙做了，甲乙工效比为4:3，乙单独做需要天．

1、有一堆排骨，老虎单独吃需要10分钟，狮子单独吃需要15分钟．那么：

（1）老虎和狮子一起互不影响地吃这堆排骨，需要多少分钟吃完？

（2）如果老虎和狮子一起吃了3分钟后，老虎就把狮子赶走了，剩下的排骨可以让老虎单独吃几分钟？

【答案】
（1）6（2）5

【解析】
（1）狮子和老虎一起吃1分钟消耗排骨，所以吃完这堆排骨需要分钟．

（2）老虎和狮子一起吃了3分钟，吃掉排骨，剩下的排骨老虎单独吃分钟．

2、甲、乙两工程队修一条路．如果让甲队单独修，需要8天完成；如果让乙队单独修，需要6天完成．现在两队合修，修完后，甲队比乙队少修了50米．这条路有多长？

【答案】
350

【解析】
两队合作需要天．甲队修了这条路的，乙队修了这条路的．说明50米是这条路的，这条路长350米．

3、有一堆煤，甲车单独运需要10天运完，乙车单独运需要40天运完．乙车先开始后，若干天后甲车加入，到运完时乙车一共运了12天．那么乙车开始几天后甲车才加入？

【答案】
5

【解析】
乙车一共工作12天，运了，那么剩下的是甲车运的，需要天．这说明甲车共工作了7天，即在乙车开始5天后加入的．

1、小山羊和老鹿在吃仓库里的草，2个小时可以吃完．如果只有老鹿吃的话，3个小时可以吃完．如果只有小山羊吃的话，____________个小时可以吃完．

【答案】
6

【解析】
小山羊的效率是，所以小山羊单独吃草6个小时可以吃完．

2、厨房里有一些包子，阿呆一个人需要10分钟吃完，阿瓜一个人需要15分钟吃完．如果两个人一块吃，到吃完时阿呆比阿瓜多吃10个包子．厨房里本来有__________个包子．

【答案】
50

【解析】
两人合做用分钟，这段时间阿呆吃了，阿瓜吃了．利用量率对应可得，厨房里共有包子个．

3、春天的时候，学校组织同学去果园给果树浇水，甲班的学生单独去做需要12天完成，乙班的学生单独去做需要15天完成，如果两个班共同做了4天，那么乙班独自做完剩下的工作需要_________天．

【答案】
6

【解析】
两个班共同做了4天后，还剩余．乙完成剩余的工作需要天．

4、有一条马路由甲、乙、丙三个工作队来修，甲工作队单独修需要15天，乙和丙单独修都需要20天完成．如果三个工作队共同做了3天之后，剩下的由丙单独做，那还需要__________天做完．

【答案】
10

【解析】
三个工作队共同做3天后剩余工作，剩下的丙单独做需要天完成．

5、加工一批零件，甲单独做需要20天可以完工，乙单独做30天可以完工．现两队合作来完成这个任务．合作中甲休息了一天，乙休息了若干天，这样一共用了15天完工．那么乙休息了_________天．

【答案】
6

【解析】
甲休息一天，所以甲工作了14天完成，剩余的乙完成需要天．所以乙休息了天．

6、有一项工作，甲单独做需要5天完成，乙单独做需要12天完成，丙单独做需要15天完成，现在三个人一起做这项工作，中间的时候甲离开了，结果用了4天完成了全部的工作，那么甲离开了__________天．

【答案】
2

【解析】
乙和丙共工作了4天，剩余工作量．剩余的工作量甲完成需要天，所以甲离开了天．

7、一个水池，有甲、乙两个进水口．单独打开甲进水口，需要16小时灌满水池；单独打开乙进水口，需要14小时灌满水池．如果打开甲进水口一个小时，然后打开乙进水口一个小时，再打开甲进水口一个小时……，需要__________个小时才能注满水池．

【答案】
15

【解析】
以甲1小时、乙1小时为一个周期，一个周期内完成的工作量是．7个周期后还剩下没有完成，接下来甲再工作1小时正好完成．共需要小时．

8、路老师带着阿呆和阿瓜去浇花，单独浇完一个花圃的花，阿呆要6小时，阿瓜需要7.5小时，路老师只需要5小时就行．现在阿呆和阿瓜各自负责一个大小相同的花圃．路老师一会帮助阿瓜浇花，一会帮助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了浇花的任务，那么路老师一共浇花__________小时．

【答案】
4

【解析】
三个人一起完成两个花圃，所以工作时间是小时．路老师一共浇花4小时．

9、抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要_________天才能完成．

【答案】
24

【解析】
3人的合作效率是，乙、丙的合作效率是，又因为丙的效率占3人合作效率的，所以丙的效率是．所以乙的效率是，所以乙一人单独抄需要24天才能完成．

10、大、中、小三只老鼠为了躲避猫的追捕，决定合作挖掘一条逃生的官道．这条官道，如果大老鼠自己挖，需要24小时能挖完，如果中老鼠自己挖，需要30小时能挖完，如果小老鼠单独挖，需要36小时才能挖完．首先大老鼠和小老鼠一起挖，过了9小时，中老鼠来替换小老鼠继续挖，那么它们一共用了多久挖通了隧道？

【答案】
14

【解析】
大老鼠和小老鼠9小时后剩余的工作量是，剩下的工作量大老鼠和中老鼠还需要工作小时．所以它们一共用小时挖通隧道．