2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第4章第1讲　导数的概念及运算Word版含解析

这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第4章第1讲　导数的概念及运算Word版含解析，共24页。试卷主要包含了导数的概念，导数的几何意义，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，复合函数的导数等内容，欢迎下载使用。

1．导数的概念
(1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，把比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \x(\s\up1(01))eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
(2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(3)当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，
即y′＝f′(x)＝eq \x(\s\up1(02))eq \(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点eq \x(\s\up1(03))P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0＝f′(x0)，切线方程为eq \x(\s\up1(04))y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3．基本初等函数的导数公式
(1)c′＝eq \x(\s\up1(05))0(c为常数)．
(2)(xα)′＝eq \x(\s\up1(06))αxα－1(α∈Q，且α≠0)．
(3)(sinx)′＝eq \x(\s\up1(07))csx.
(4)(csx)′＝eq \x(\s\up1(08))－sinx.
(5)(ax)′＝eq \x(\s\up1(09))axln_a(a＞0，且a≠1)．
(6)(ex)′＝eq \x(\s\up1(10))ex.
(7)(lgax)′＝eq \x(\s\up1(11))eq \f(1,xln a)(a＞0，且a≠1)．
(8)(ln x)′＝eq \x(\s\up1(12))eq \f(1,x).
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝eq \x(\s\up1(13))f′(x)±g′(x).
(2)[f(x)g(x)]′＝eq \x(\s\up1(14))f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).
特别地：[cf(x)]′＝eq \x(\s\up1(15))cf′(x)(c为常数)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \x(\s\up1(16))eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0).
5．复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝eq \x(\s\up1(17))yu′·ux′，即y对x的导数等于eq \x(\s\up1(18))y对u的导数与eq \x(\s\up1(19))u对x的导数的乘积．
1．(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2).
(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝－eq \f(f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．
2．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其绝对值的大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
4．两类切线问题的区别
(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
1．下列求导运算正确的是( )
A．(sina)′＝csa(a为常数)
B．(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)
C．(3x)′＝3xlg3e
D．(eq \r(x＋1))′＝eq \f(2,\r(x＋1))
答案 B
解析 由a为常数知(sina)′＝0，A错误；(3x)′＝3xln 3，C错误；(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)，B正确；(eq \r(x＋1))′＝[ eq (x＋1)\s\up6(\f(1,2))]′＝eq \f(1,2) eq (x＋1)\s\up6(-\f(1,2))＝eq \f(1,2\r(x＋1))，D错误．故选B.
2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
答案 C
解析 因为h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1，所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒．
3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝________.
答案 －2
解析 由导数的概念和几何意义知，
eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝f′(1)＝kAB＝eq \f(0－4,2－0)＝－2.
4．(2021·武汉检测)设f(x)＝ln (3－2x)＋cs2x，则f′(0)＝________.
答案 －eq \f(2,3)
解析 因为f′(x)＝－eq \f(2,3－2x)－2sin2x，所以f′(0)＝－eq \f(2,3).
5．(2021·全国甲卷)曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为________.
答案 5x－y＋2＝0
解析 因为y′＝eq \f(2x＋2－2x－1,x＋22)＝eq \f(5,x＋22)，所以曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
6．曲线y＝sinx＋ex在x＝0处的切线过点(m,0)，则m＝________.
答案 －eq \f(1,2)
解析 因为y′＝(sinx＋ex)′＝csx＋ex，所以y′|x＝0＝cs0＋e0＝2，所以曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0，此直线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)).故m＝－eq \f(1,2).
考向一 导数的概念及基本运算
例1 (1)(多选)(2021·济南检测)下列求导运算正确的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,xln x2)
B．(x2ex)′＝2x＋ex
C．(xcsx)′＝－sinx
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)
答案 AD
解析 对于A，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝eq \f(－ln x′,ln x2)＝－eq \f(1,xln x2)，正确；对于B，(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，错误；对于C，(xcsx)′＝csx－xsinx，错误；对于D，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)，正确．故选AD.
(2)(2021·贵阳模拟)已知f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝eq \f(x－3,ex)＋2f′(1)·x，则f′(1)＝________.
答案 －eq \f(3,e)
解析 ∵f(x)＝eq \f(x－3,ex)＋2f′(1)·x，∴f′(x)＝eq \f(4－x,ex)＋2f′(1)，∴f′(1)＝eq \f(3,e)＋2f′(1)，解得f′(1)＝－eq \f(3,e).
(3)求下列函数的导数：
①y＝tanx；②y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；
③y＝eq \f(1,2x－13)；
④y＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))).
解 ①y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sinx,csx)))′＝eq \f(sinx′csx－sinxcsx′,cs2x)＝eq \f(1,cs2x).
②因为y＝x3＋eq \f(1,x2)＋1，所以y′＝3x2－eq \f(2,x3).
③y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2x－13)))′＝[(2x－1)－3]′
＝－3(2x－1)－4×2＝－6(2x－1)－4.
④因为y＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝eq \f(1,2)x·sin(4x＋π)＝－eq \f(1,2)xsin4x，所以y′＝－eq \f(1,2)sin4x－eq \f(1,2)x·4cs4x＝－eq \f(1,2)sin4x－2xcs4x.
导数的运算方法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
1.(2021·江西九江统考)f(x)＝x(2020＋ln x)，若f′(x0)＝2021，则x0＝( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
答案 B
解析 f′(x)＝2020＋ln x＋x×eq \f(1,x)＝2021＋ln x，故由f′(x0)＝2021，得2021＋ln x0＝2021，则ln x0＝0，解得x0＝1.故选B.
2．求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝x2sinx；
(3)y＝xeq \r(2x)；
(4)y＝eq \f(ln x,x2＋1).
解 (1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
所以y′＝18x2－10x－4.
(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2csx.
(3)因为y＝xeq \r(2x)＝eq \r(2) eq x\s\up6(\f(3,2))，
所以y′＝(eq \r(2) eq x\s\up6(\f(3,2)))′＝eq \f(3\r(2),2) eq x\s\up6(\f(1,2)).
(4)y′＝eq \f(ln x′x2＋1－ln xx2＋1′,x2＋12)
＝eq \f(\f(1,x)x2＋1－2xln x,x2＋12)＝eq \f(x2＋1－2x2ln x,xx2＋12).
多角度探究突破
考向二 导数的几何意义
角度 导数与函数图象
例2 (1)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，下列数值排序正确的是( )
A．00，
即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－eq \f(1,2).
所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).