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    【新高考】2023年高考数学二轮复习精讲精练学案——第08讲 导数的概念及其运算(原卷版+解析版)
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    【新高考】2023年高考数学二轮复习精讲精练学案——第08讲 导数的概念及其运算(原卷版+解析版)

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    这是一份【新高考】2023年高考数学二轮复习精讲精练学案——第08讲 导数的概念及其运算(原卷版+解析版),文件包含第八讲导数的概念及其运算解析版docx、第八讲导数的概念及其运算原卷板docx等2份学案配套教学资源,其中学案共22页, 欢迎下载使用。

    1.导数的概念
    函数在处的瞬时变化率,我们称它为函数在处的导数,记作或,
    即.
    2.导数的几何意义
    函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线斜率,即,相应地切线方程.
    3.基本初等函数的导数公式
    4.导数的运算法则
    若函数,均可导,则:
    (1);
    (2);
    (3).
    5、切线问题
    (1)已知函数,在点的切线方程;
    ① ②
    (2)已知函数,过点的切线方程
    ①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用求出切点,再回带求出斜率,进而利用点斜式求切线。
    【典型题型讲解】
    考点一:导数的几何意义---已知切点求切线方程
    【典例例题】
    例1.(2022·广东揭阳·高三期末)已知函数,该函数在处的切线方程为__________.
    【答案】
    【详解】对函数求导可得,把代入可得,
    则切线方程的斜率.又因为,所以切点为,从而可得切线方程为.
    故答案为:.
    【方法技巧与总结】
    求导,求斜率,用点斜式写切线方程
    【变式训练】
    1.(2022·广东广州·一模)曲线在点处的切线方程为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】∵
    ∴,所以,
    又当时,,
    所以在点处的切线方程为:,即.
    故选:A.
    2.(2022·广东广东·一模)已知,则曲线在处的切线方程是______.
    【答案】
    【详解】,,,
    所以曲线在处的切线方程式,
    得.
    故答案为:
    3.已知,则曲线在点处的切线的斜率为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】
    对,
    求导可得,,得到,所以,
    ,所以,,
    故选D
    4.已知函数是定义在R上的奇函数,且,则函数的图象在点处的切线的斜率为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】
    是奇函数,
    恒成立,所以,
    ,,
    所以,,即,

    故选:A.
    【典型题型讲解】
    考点二:已经切线斜率求切点问题
    【典例例题】
    例1.(2022·广东潮州·高三期末)曲线与直线相切,则______.
    【答案】1
    【详解】由题意,函数,可得,
    设切点为,则,
    因为曲线与直线相切,可得,即,①
    又由,即切点为,可得,②
    联立①②,可得.
    故答案为:1
    例2.(2022·广东珠海·高三期末)若函数在处的切线与直线垂直,则______.
    【答案】-1
    【详解】,,由.
    故答案为:.
    【方法技巧与总结】
    设切点坐标,求导,建立有关斜率和切点有关方程或方程组进行运算.
    【变式训练】
    1.(2022·广东清远·高三期末)已知曲线在点处的切线方程为,则_________.
    【答案】-5
    【详解】解:因为,所以,所以所以,所以.
    故答案为:
    2.已知曲线在点处的切线方程为,则( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】C
    【详解】
    解:,,
    ∴,∴.将代入得,∴.
    故选:C.
    【典型题型讲解】
    考点三:过一点求函数的切线方程
    【典例例题】
    例1.函数过点的切线方程为( )
    A.B.C.或D.或
    【答案】C
    【详解】
    由题设,若切点为,则,
    所以切线方程为,又切线过,
    则,可得或,
    当时,切线为;当时,切线为,整理得.
    故选:C
    【方法技巧与总结】
    设切点坐标,求导,求斜率,写切线方程,带已经点到到切线方程
    【变式训练】
    1.若过点的直线与函数的图象相切,则所有可能的切点横坐标之和为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】
    因为函数,所以,
    设切点为,则切线方程为:,
    将点代入得,
    即,解得或,
    所以切点横坐标之和为
    故选:D.
    2.曲线过点的切线方程是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【详解】
    由题意可得点不在曲线上,
    设切点为,因为,
    所以所求切线的斜率,
    所以.
    因为点是切点,所以,
    所以,即.
    设,明显在上单调递增,且,
    所以有唯一解,则所求切线的斜率,
    故所求切线方程为.
    故选:B.
    【典型题型讲解】
    考点四:公切线问题
    【典例例题】
    例1.(2022·广东揭阳·高三期末)已知函数,过点可作两条直线与函数相切,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.的最大值为2D.
    【答案】B
    【详解】设切点为,又,则切线的斜率
    又 ,即有,整理得,
    由于过点可作两条直线与函数相切
    所以关于的方程有两个不同的正根,设为,则
    ,得 ,
    ,故B正确,A错误,
    对于C,取,则,所以的最大值不可能为2,故C错误,
    对于D,取,则,故D错误.
    故选:B.
    【方法技巧与总结】
    分别求出导数,设出切点,得到切线方程,再由两点的斜率公式,结合切点满足曲线方程
    【变式训练】
    1.若函数与函数有公切线,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C. D.
    【答案】B
    【详解】
    设公切线与函数切于点,
    ,切线的斜率为,
    则切线方程为,即
    设公切线与函数切于点,
    ,切线的斜率为,
    则切线方程为,即
    所以有
    因为,所以,可得,,即,
    由可得:,
    所以,
    令,则,,
    设,则,
    所以在上为减函数,
    则,所以,
    所以实数的取值范围是,
    故选:B.
    2.已知函数,,若直线与函数,的图象都相切,则的最小值为( )
    A.2B.C.D.
    【答案】B
    【详解】
    设直线与函数,的图象相切的切点分别为,.
    由,有,解得,.
    又由,有,解得,,可得,当且仅当,时取“=”.
    故选:B
    3.若两曲线与存在公切线,则正实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】
    设公切线与曲线和的交点分别为,,其中,
    对于有,则上的切线方程为,即,
    对于有,则上的切线方程为,即,
    所以,有,即,
    令,,
    令,得,
    当时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    所以,故,即.
    故选:B.
    【巩固练习】
    一、单选题
    1.若曲线在点(1,f(1))处的切线方程为,则a=( )
    A.1B.C.2D.e
    【答案】A
    【详解】
    解:因为曲线,
    所以,
    又因为曲线在点(1,f(1))处的切线方程为,
    所以,
    故选:A
    2.设是函数的导函数,是函数的导函数,若对任意恒成立,则下列选项正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】
    解:因为对任意,,恒成立,
    所以在上单调递增,且在上单调递减,即的图象增长得越来越慢,从图象上来看函数是上凸递增的,所以,
    又,表示点与点的连线的斜率,
    由图可知
    即,
    故选:A
    3.设为可导函数,且,则曲线在点处的切线斜率为( )
    A.2B.-1C.1D.
    【答案】D
    【详解】
    由导数的几何意义,点处的切线斜率为,
    因为时,,
    所以,
    所以在点处的切线斜率为,
    故选:D.
    4.已知,则曲线在点处的切线方程为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】
    ∵,
    ∴,

    ∴,
    ∴y=f(x)在处的切线方程为:,
    即.
    故选:A.
    5.已知函数,,若经过点存在一条直线与图象和图象都相切,则( )
    A.0B.C.3D.或3
    【答案】D
    【详解】
    因为,
    所以,
    则,
    所以
    所以函数在处的切线方程为,
    由得,
    由,解得或,
    故选:D
    6.若不等式对任意,恒成立,则实数m的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】
    设,则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离,
    将直线平移到与面线相切时,切点Q到直线的距离最小.
    而,令,则,可得,
    此时,Q到直线的距离,故,
    所以.
    故选:B
    【点睛】
    关键点点睛:将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离且,结合导数的几何意义、点线距离公式求m的范围.
    7.若直线与直线是曲线的两条切线,也是曲线的两条切线,则的值为( )
    A.B.0C.-1D.
    【答案】C
    【详解】
    由和互为反函数可知,
    两条公切线和也互为反函数,
    即满足,,即,,
    设直线与和分别切于点和,
    可得切线方程为和,
    整理得:和,则,,
    由,得,且,
    则,所以,
    所以
    ,
    故选:C
    二、多选题
    8.已知函数,则下列结论正确的是( )
    A.曲线的切线斜率可以是1
    B.曲线的切线斜率可以是
    C.过点且与曲线相切的直线有且只有1条
    D.过点且与曲线相切的直线有且只有2条
    【答案】AC
    【详解】
    因为函数,所以
    A.令,得 ,所以曲线的切线斜率可以是1,故正确;
    B.令无解,所以曲线的切线斜率不可以是,故错误;
    C. 因为在曲线上,所以点是切点,则,
    所以切线方程为,即,所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条,故正确;
    D.设切点,则切线方程为,因为点在切线上,所以,解得,所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条,故错误;
    故选:AC
    三、填空题
    9.已知函数则曲线在点处的切线方程为_______.
    【答案】
    【详解】
    解:因为,又,
    切线方程为:,即;
    故答案为:.
    10.若直线与曲线和都相切,则的斜率为______.
    【答案】
    【详解】
    设的切点为,,故,
    则切线方程为:,即
    圆心到圆的距离为,即,
    解得:或(舍去)
    所以,则的斜率为
    故答案为:
    13.已知函数,则__________.
    【答案】-2
    【详解】
    由函数求导得:,当时,,解得,
    因此,,所以.
    故答案为:-2
    14.(2022·全国·赣州市第三中学模拟预测(理))已知,且,,那么___________.
    【答案】
    【详解】
    因为,
    所以,,
    即,所以,,
    因为,则,
    所以,,解得,所以,,
    因此,.
    故答案为:.原函数
    导函数
    (为常数)
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