2021-2022学年山东省菏泽市鄄城县八年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省菏泽市鄄城县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列命题中逆命题是假命题的是(    )

A. 如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等
B. 如果，那么
C. 对顶角相等
D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等

4. 如图，在中，，点在的延长线上，于点，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 在平面直角坐标系内，将先向下平移个单位，再向左平移个单位，则移动后的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示，是等边三角形，线段是中边上的高，于点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在四边形中，，平分，，且，则下列结论：；；正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 写一个解集为的不等式为______．
10. 如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为______．

11. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是______度．

12. 某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为元，标价为元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是______折．
13. 如图，在中，，，垂直平分，交于点，，则的值是______．

14. 阅读材料：如果两个正数、，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于即大于或等于它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大小值问题的有力工具．根据上述材料，若，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共7分）

15. 解不等式组，并写出满足不等式组的所有整数解．

四、解答题（本大题共9小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解不等式，并把它的解集在数轴上表示．
17. 本小题分
    如图，将沿方向平移得到，若的周长等于，求四边形的周长．

18. 本小题分
    如图，在中，，垂足为，为上一点，交于点，且，，，求的长．

19. 本小题分
    已知：中，边上一点．
    求作：等腰，使为等腰的底边，且点到，两边的距离相等．

20. 本小题分
    阅读材料：已知中，是的中线，且平分求证：．
    小明的方法是根据已知条件是的中线，可得，由平分可得，加上公共边的条件，有两条边和一个角对应相等，就可以得到和是全等的，从而得到结论成立；小芳的方法是根据角平分线的性质定理得到，再根据中线可以把三角形分为面积相等的两部分，用等面积的方法可以得到结论．
    根据上述材料，请你回答小明和小芳的方法，谁的正确？请选择一个正确的方法进行完整的证明也可以与材料中的方法不同．

21. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
    以点为对称中心，在坐标系中画出与中心对称的图形．
    以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，在坐标系中画出．

22. 本小题分
    如图，在等腰中，，，是的角平分线．若在边上截取，连接，试判断图中还有哪些三角形是等腰三角形？并选择其中一个证明．

23. 本小题分
    为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液已知瓶型消毒液和瓶型消毒液共需元，瓶型消毒液和瓶型消毒液共需元．
    这两种消毒液的单价各是多少元？
    学校准备购进这两种消毒液共瓶，且型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
24. 本小题分
    一发现探究
    在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．
    【发现问题】如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______ ；
    【探究猜想】如图，如果点为平面内任意一点前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由请仅以图所示的位置关系加以证明或说明；
    二拓展应用
    【拓展应用】如图，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义即可作出判断．
本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后可以和原图形重合．
 

2.【答案】 

【解析】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．利用不等式的基本性质判断即可．
解：由不一定能得出，故本选项不合题意；
B.若，则，故本选项符合题意；
C.若，则，故本选项不合题意；
D.由不一定能得出，故本选项不合题意．
故选：．
 

3.【答案】 

【解析】解：、逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等．是真命题；
B、逆命题为：如果，那么是真命题；
C、逆命题为：相等的角是对顶角．是假命题；
D、逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上．是真命题．
故选C．
首先写出各命题的逆命题将每个命题的题设与结论调换，然后再证明各命题的正误．因为相等的角不只是对顶角，所以此答案是假命题，继而得到正确答案．
此题考查了命题与逆命题的关系．解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误即可．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
于点，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得，然后根据直角三角形两锐角互余，即可求得．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：平移后的坐标为，即坐标为，
故选：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握平移规律．
 

6.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，，
，，
的面积面积，
，
，
，

设，则，
，
，，
，
的面积，
的面积，
的面积的面积，
面积的面积，
故选：．
根据题目的已知易得的面积等于面积的一半，然后再找出的面积与的面积的关系即可解答．
本题考查了等边三角形的性质，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组恰有个整数解整数解是，，，
，
故选：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的个整数解是，，，再求出的取值范围即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组的整数解得出的范围是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于点，过作于，如图所示：

平分，，，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故选项符合题意；
四边形是正方形，，
正方形的边长，
≌，
，
故选项符合题意；
≌，
，
，
故选项符合题意；
故正确的选项有，
故选：．
过点作交的延长线于点，过作于，根据角平分线的性质可得，易证四边形是正方形，根据可知≌，可判断；根据正方形的对角线可得正方形的边长，根据全等三角形的性质可得，即可判断；根据全等三角形的性质可判断．
本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积等，构造全等三角形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据不等式的性质知：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变．
的两边同时加上得：，
则的解集是：，
故答案为：．
根据不等式的性质即可得出答案．
本题主要考查不等式的定义和不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据垂线段最短可知：当时，最小，
当时，
又平分，，，
，
故答案为：．
根据垂线段最短可知当时，最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质可知：，，．
，，
．
．
．
故答案为：．
由旋转的性质可知，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得．
本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到为等腰三角形是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设该商品打折销售，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
设该商品打折销售，根据利润销售价格进价结合利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
由线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了含直角三角形的性质，三角形的面积公式，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由得，．
，即，
的最小值为．
故答案为：．
根据“如果两个正数、，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．”可得的最小值．
本题考查了新定义，及算术平均数与几何平均数之间的关系，正确理解新定义与性质是解题的关键．
 

15.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的整数解为、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：去分母得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为得：，
解集表示在数轴上，如图所示：
． 

【解析】不等式去分母，移项，合并，把系数化为，求出解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：的周长等于，
，
由平移的性质可知：，，
四边形的周长． 

【解析】根据平移的性质得到，，根据多边形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
 

18.【答案】解：，，
在和中，，
≌，
，
． 

【解析】由证明≌，得出，再由勾股定理求出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质；熟记斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：如图，作的垂直平分线，作的角平分线，
两条线相交于点，

结论：等腰即为所求． 

【解析】根据线段垂直平分线和角平分线的性质即可作等腰，使为等腰的底边，且点到，两边的距离相等．
本题考查了作图复杂作图、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．
 

20.【答案】解：，，，不能证明和全等，
小明的证明思路不正确，
小芳的证明思路正确，理由如下：
过点作于点，作于点，如图所示：
是的角平分线，
，
是的中线，
，
，
． 

【解析】根据全等三角形的判定与性质对小明和小芳的证明思路分别分别进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握全等三角形的判定和角平分线的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】根据关于原点对称的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

22.【答案】解：图中还有，，，都是等腰三角形，
证明：，，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
是等腰三角形，
，
是的一个外角，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】根据等腰三角形的性质可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得是等腰三角形，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得是等腰三角形，进而可得，即可判断是等腰三角形，最后利用三角形的外角可得，从而可得是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：设型消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元，
，
解得，
答：型消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元；
设购进型消毒液瓶，则购进型消毒液瓶，费用为元，
依题意可得：，
随的增大而减小，
型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，
，
解得，
当时，取得最小值，此时，，
答：最省钱的购买方案是购进型消毒液瓶，购进型消毒液瓶，最低费用为元． 

【解析】根据瓶型消毒液和瓶型消毒液共需元，瓶型消毒液和瓶型消毒液共需元，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求出这两种消毒液的单价各是多少元；
根据题意，可以写出费用和购买型消毒液数量的函数关系，然后根据型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，可以得到型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是列出相应的方程组和列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

24.【答案】 

【解析】解：【发现问题】由旋转知，，
，
，
，
，
≌，
，
故答案为：；
【探究猜想】结论：仍然成立，
理由：由旋转知，，
，
，
，
，
≌，
；
【拓展应用】如图，

在上取一点，使，连接，过点作于，
由旋转知，，，
，
，
，
，
≌，
，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点，
当点和点重合时，最小，
即：点与点重合，最小，最小值为，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
故线段长度最小值是．
【发现问题】先判断出，进而用判断出≌，即可得出结论；
【探究猜想】同证明≌即可得出结论；
【拓展应用】在上取一点，使，连接，过点作于，由旋转的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，当点和点重合时，最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键．