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物理第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试随堂练习题
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这是一份物理第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试随堂练习题，共28页。
2020-2021学年高一物理卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）
第二章 匀变速直线运动的研究
章末优化整合及训练
一．高频考点专题突破
专题一 解决匀变速直线运动问题的常用方法
1．匀变速直线运动规律公式间的关系
2．常用解题方法
常用方法
规律特点
一般公式法
v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v＝2ax
使用时应注意它们都是矢量，一般以v0方向为正方向，其余物理量与正方向相同者为正，与正方向相反者为负
平均速度法
＝，对任何性质的运动都适用；
＝(v0＋v)，只适用于匀变速直线运动
中间时刻速度法
v＝＝(v0＋v)，适用于匀变速直线运动
比例法
对于初速度为0的匀加速直线运动或末速度为0的匀减速直线运动，可利用比例法求解
逆向思维法
把运动过程的“末态”作为“初态”的方法．例如，末速度为0的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为0的匀加速直线运动
图象法
应用v－t图象，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解
【例1】(2019-2020学年·黄石高一模拟)要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内通过一段直轨道，然后驶入一段半圆形的弯轨道，但在弯轨道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏离轨道，求摩托车在直轨道上行驶所用的最短时间．有关数据见下表：
启动加速度a1
4 m/s2
制动加速度a2
8 m/s2
直轨道允许的最大速度v1
40 m/s
弯轨道允许的最大速度v2
20 m/s
直轨道长度x
218 m
某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v1＝40 m/s，然后再减速到v2＝ 20 m/s，t1＝，t2＝，tmin＝t1＋t2.你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法计算．
【总结提升】
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【变式】物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图．已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
专题二 运动图象与追及相遇问题的综合问题
1．应用运动图象的三点注意
(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动．
(2)x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹．
(3)x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
2．应用运动图象解题“六看”
x－t图象
v－t图象
轴
横轴为时间t，纵轴为位移x
横轴为时间t，纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
特殊点
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
【例2】 (多选)(2018·高考全国卷 Ⅱ )甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度－时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶 B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小 D．乙车的加速度大小先减小后增大
【规律总结】
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【变式1】．(2019-2020学年·武侯校级模拟)A、B两物体从同一位置向同一方向同时运动，甲图是A物体的位移时间图象，乙图是B物体的速度时间图象，根据图象，下列说法正确的是( )
A．运动过程中，A、B两物体相遇一次
B．运动过程中，A、B两物体相遇两次
C．A、B两物体最远距离是20 m
D．6 s内，A物体的平均速度是B物体的平均速度的两倍
【变式2】.(多选)甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图象如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为S1和S2(S2>S1)．初始时，甲车在乙车前方S0处( )
A．若S0＝S1＋S2，两车不会相遇 B．若S0
专题三“纸带法”测速度和加速度
常用“位移差”法判断物体的运动情况，即确定纸带上的任意相邻计数点间的位移是否满足关系式xn＋1－xn＝aT2.由纸带求物体运动加速度的方法
1．利用“逐差法”求加速度：若为偶数段，假设为6段，则a1＝，a2＝，a3＝，然后取平均值，即a＝＝；或由a＝直接求得．若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第三段，即a1＝a2＝，然后取平均值，即＝；或由a＝直接求得，这样所给的数据利用率高，提高了精确度．
2．图象法：先根据匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，vn＝，求出打第n个点时纸带的瞬时速度，然后作出v－t图象，图线的斜率表示物体运动的加速度，即a＝.
【例3】(2019-2020学年·信宜市校级期末)某同学用如图1所示的装置来研究自由落体运动是什么性质的运动．图2是实验中利用打点计时器记录自由落体运动的轨迹时，得到的一条纸带，纸带上的点是从放手开始打下的连续的计数点．两点之间的距离，s1＝9.6 mm，s2＝13.4 mm，s3＝17.3 mm，s4＝21.1 mm，相邻两计数点的时间间隔为T.电源频率为50 Hz.
(1)下列说法中正确的是________．
A．电火花打点计时器用的是220 V交流电源
B．实验中使用秒表测量时间
C．实验时应先由静止释放纸带，然后赶紧接通电源
D．求出的加速度一般比9.8 m/s2小，是因为纸带和重锤受到阻力
(2)通过对纸带的分析，你认为自由落体运动是做______(填“匀速”或“变速”)运动．你的判断依据是：______________________．
(3)根据纸带上的数据，用逐差法求加速度的表达式为a＝____________(用已知物理量符号表示)，加速度大小a＝________ m/s2(保留两位有效数字)．
(4)打点计时器打下F点，求物体在F点的速度公式vF＝__________(用已知物理量符号表示)，大小为vF＝________m/s(保留两位有效数字)．
【规律总结】
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【变式】在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中：
(1)实验提供了以下器材：打点计时器、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸、弹簧测力计．其中在本实验中不需要的器材是____________．
(2)如图甲所示是某同学由打点计时器得到的表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，打点计时器打点的时间间隔T＝0.02 s，则相邻两个计数点间的时间间隔为________s．其中x1＝7.05 cm、x2＝7.68 cm、x3＝8.33 cm、x4＝8.95 cm、x5＝9.61 cm、x6＝10.26 cm.
如下表列出了打点计时器打下B、C、E、F时小车的瞬时速度，请在表中填入打点计时器打下D点时小车的瞬时速度．
位置
B
C
D
E
F
速度/(m·s－1)
0.737
0.801
0.928
0.994
(3)以A点为计时起点，在图乙所示坐标系中作出小车的速度－时间关系的图线．
(4)计算出的小车的加速度a＝________m/s2.
二、章末优化训练
1．一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动(如图所示)，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
2．一辆汽车运动的v－t图像如图所示，则汽车在0～2 s内和2～3 s内相比( )
A．位移大小相等 B．平均速度相等
C．速度变化相同 D．加速度相同
3．某同学身高1.8m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8m高的横杆．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10m/s2)( )
A．2m/s B．4m/s
C．6m/s D．8m/s
4．物体在A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点后改为做匀减速直线运动，最后停在C点．已知物体运动的总路程为32m，所用的总时间为10 s，根据上述条件( )
A．可求出A、B间的距离 B．可求出B、C间的距离
C．可求出物体在B点的瞬时速度 D．可求出物体加速和减速时的加速度
5.(2019-2020学年·安徽六安高一期末)如图所示，甲同学用手拿着一把长50 cm的直尺，并使其处于竖直状态；乙同学把手放在直尺0刻度线位置做抓尺的准备．某时刻甲同学松开直尺，直尺保持竖直状态下落，乙同学看到后立即用手抓直尺，手抓住直尺位置的刻度值为20 cm；重复以上实验，乙同学第二次用手抓住直尺位置的刻度值为10 cm.直尺下落过程中始终保持竖直状态．若从乙同学看到甲同学松开直尺，到他抓住直尺所用时间叫“反应时间”，取重力加速度g＝10 m/s2.则下列说法中不正确的是( )
A．若将尺子上原来的长度值改为对应的“反应时间”值，则可用上述方法直接测出“反应时间”
B．若某同学的“反应时间”大于0.4 s，则用该直尺将无法用上述方法测量他的“反应时间”
C．乙同学第一次抓住直尺的瞬间，直尺的速度约为4 m/s
D．乙同学第一次的“反应时间”比第二次长
6．在某高度h1处自由下落一物体A，1 s后从另一较低高度h2处自由下落另一物体B.若A从开始下落起下落了45 m 时赶上B，并且再过1 s到地，则B从下落到着地所经历的时间是( )
A．3 s B．约3.3 s
C．3.5 s D．4 s
7.(2019-2020学年·历城校级月考)一种比飞机还要快的旅行工具即将诞生，称为“第五类交通方式”，它就是“Hyperloop(超级高铁)”. 据英国《每日邮报》2016年7月6日报道，Hyperloop One公司计划，将在欧洲建成世界首架规模完备的“超级高铁”(Hyperloop)，连接芬兰首都赫尔辛基和瑞典首都斯德哥尔摩，速度可达每小时700英里(约合1 126公里/时)．如果乘坐Hyperloop从赫尔辛基到斯德哥尔摩，600公里的路程需要40分钟，Hyperloop先匀加速，达到最大速度1 200 km/h后匀速运动，快进站时再匀减速运动，且加速与减速的加速度大小相等，则下列关于Hyperloop的说法正确的是( )
A．加速与减速的时间不一定相等 B．加速时间为10分钟
C．加速时加速度大小为2 m/s2 D．如果加速度大小为10 m/s2，题中所述运动最短需要32分钟
8．动物跳跃时将腿部弯曲然后伸直加速跳起．下表是袋鼠与跳蚤跳跃时的竖直高度．若不计空气阻力，则袋鼠跃起离地的瞬时速率约是跳蚤的多少倍( )
跳跃的竖直高度(米)
袋鼠
2.5
跳蚤
0.1
A.1 000 B．25
C．5 D．1
9.如图为自地面竖直向上发射的火箭的v－t图像．由图像可知下列判断正确的是( )
A．火箭在燃料燃烧期内加速度大小为103m/s2
B．火箭在10 s末开始向下运动
C．火箭发射后离地面的最远距离为5.0×104m
D．火箭在燃料燃烧期后的加速度大小是10m/s2
10.如图所示为一质点从t＝0时刻开始，做初速度为零的匀加速直线运动的位移—时间图像，图中斜虚线为t＝4 s时对应图像中的点的切线，交时间轴于t＝2 s处，由此可知该质点做匀加速运动的加速度为( )
A．2m/s2 B.m/s2
C.m/s2 D.m/s2
11.将一物体在空中以v0＝20 m/s的速度竖直上抛，不计空气阻力，当物体的位移大小为15 m时，所需时间可能是(g＝10 m/s2)( )
A．1.0 s B．2.0 s
C．3.0 s D．4.6 s
12.(多选)一物体从一行星表面的某高度处自由下落(不计表层大气阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面的高度h随时间t变化的图像如右图所示，则( )
A．行星表面的重力加速度大小为8m/s2 B．行星表面的重力加速度大小为10m/s2
C．物体落到行星表面时的速度大小为20m/s D．物体落到行星表面时的速度大小为25m/s
13.(多选)如图所示，汽车以10m/s的速度匀速驶向路口，当行驶至距路口停车线20m处时，绿灯还有3 s熄灭．而该汽车在绿灯熄灭时刚好停在停车线处，则汽车运动的v－t图像可能是( )
14．(多选)一个质点正在做匀加速直线运动．用固定在地面上的照相机对该质点进行闪光照相，闪光时间间隔为1 s，分析照片所得的数据，发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了2m，在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了8m．由此可以求得( )
A．第1次闪光时质点的速度 B．质点运动的加速度
C．从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移 D．质点运动的初速度
二、 非选择题
15．某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定出0、1、2、3、4、5、6共7个测量点．其相邻点间的距离如图所示，每两个相邻的测量点之间的时间间隔为0.10 s，试完成下面问题．
(1)根据纸带上各个测量点间的距离，某同学已将1、2、3、5点对应的时刻的瞬时速度进行计算并填入表中，请你将4点对应的时刻的瞬时速度填入表中．(结果保留三位有效数字)
瞬时速度
v1
v2
v3
v4
v5
数值/(m·s－1)
0.165
0.214
0.263
0.363
(2)在图中所示的直角坐标系中画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图象．
(3)由图象求出小车的加速度a＝________m/s2.
16．如图所示的A、B两个物体，距地面高度为H＝45 m，A物体因在运动过程中阻力不计，其加速度为自由落体加速度g＝10 m/s2，B物体由于受到阻力作用，其加速度为aB＝9 m/s2，方向竖直向下，A、B两物体均可视为质点，求：
(1)若A、B两物体同时由静止释放，则当物体A落地时物体B离地距离；
(2)若要使两物体同时落地，在B物体由静止释放后，则需要经过多长时间将A物体由静止释放；
(3)若将B物体移到距地面高度h＝36 m的A的正下方C点，同时由静止释放A、B两物体，A物体能否在B落地前追上B，若能，计算其追上的位置距地面的距离；若不能，则在A释放时至少给A物体多大的竖直向下的初速度，才能追上B物体？
17．一辆长途客车正在以v0＝20m/s的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方34m处有一只狗，如图甲所示，司机立即采取制动措施．若从司机看见狗开始计时(t＝0)，长途客车的速度—时间图像如图乙所示．
(1)求长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
(2)求长途客车制动时的加速度；
(3)若狗正以v1＝4m/s的速度与长途客车同向奔跑，狗能否摆脱被撞的噩运？
18.(2019-2020学年·榆林高一期中)据报道，一儿童玩耍时不慎从45 m高的阳台上无初速度掉下，在他刚掉下时恰被楼下一社区管理人员发现，该人员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童．已知管理人员到儿童下落处的正下方楼底的距离为18 m，为确保能稳妥安全接住儿童，必须保证接住儿童时没有水平方向的冲击(也就是无水平速度)．不计空气阻力，将儿童和管理人员都看做质点，设管理人员奔跑过程中只做匀速或匀变速运动，g取10 m/s2.
(1)管理人员至少用多大的平均速度跑到楼底？
(2)若管理人员在奔跑过程中做匀加速或匀减速运动的加速度大小相等，且最大速度不超过9 m/s，求管理人员奔跑时加速度的大小需满足什么条件？
2020-2021学年高一物理卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）
第二章 匀变速直线运动的研究
章末优化整合及训练
一．高频考点专题突破
专题一 解决匀变速直线运动问题的常用方法
1．匀变速直线运动规律公式间的关系
2．常用解题方法
常用方法
规律特点
一般公式法
v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v＝2ax
使用时应注意它们都是矢量，一般以v0方向为正方向，其余物理量与正方向相同者为正，与正方向相反者为负
平均速度法
＝，对任何性质的运动都适用；
＝(v0＋v)，只适用于匀变速直线运动
中间时刻速度法
v＝＝(v0＋v)，适用于匀变速直线运动
比例法
对于初速度为0的匀加速直线运动或末速度为0的匀减速直线运动，可利用比例法求解
逆向思维法
把运动过程的“末态”作为“初态”的方法．例如，末速度为0的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为0的匀加速直线运动
图象法
应用v－t图象，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解
【例1】(2019-2020学年·黄石高一模拟)要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内通过一段直轨道，然后驶入一段半圆形的弯轨道，但在弯轨道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏离轨道，求摩托车在直轨道上行驶所用的最短时间．有关数据见下表：
启动加速度a1
4 m/s2
制动加速度a2
8 m/s2
直轨道允许的最大速度v1
40 m/s
弯轨道允许的最大速度v2
20 m/s
直轨道长度x
218 m
某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v1＝40 m/s，然后再减速到v2＝ 20 m/s，t1＝，t2＝，tmin＝t1＋t2.你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法计算．
【答案】：不合理，理由见解析，正确结果为11 s
【解析】：不合理．理由如下．
首先对运动过程进行分析讨论，假设摩托车在直轨道上先加速至最大速度40 m/s，然后再减速至弯轨道允许的速度，则加速过程的位移为
x1＝＝ m＝200 m
再减速至弯轨道允许的速度时通过的位移为
x2＝＝ m＝75 m
因为x1＋x2＝275 m＞x＝218 m，因此，如果按这种方式运动，摩托车在弯轨道上行驶的速度将大于20 m/s，不符合题目要求，故摩托车在直轨道上运行时的最大速度应小于40 m/s，才能在进入弯轨道前通过减速使速度减小为20 m/s.因而，该同学的解法不合理．
综上所述，摩托车在直轨道上的运动过程应为：从静止开始加速，当速度达到某一值(小于直轨道允许的最大速度)时开始减速，恰好在运动到直轨道末端时速度减至20 m/s.此运动过程的总位移为218 m.
法一：基本公式法(利用运动学基本公式求解)
摩托车匀加速运动的位移x1＝a1t ①
匀减速运动的位移x2＝v2(tmin－t1)＋a2(tmin－t1)2 ②
x1＋x2＝x ③
又a1t1＝v2＋a2(tmin－t1)，整理得t1＝ ④
联立①②③④式，代入数据，整理得数学表达式
t＋5tmin－176＝0
解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．
法二：推论法(利用运动学推论公式求解)
设行驶的最大速度为v，则匀加速运动的位移x1＝
匀减速运动的位移x2＝
且x1＋x2＝x，即＋＝218 m
代入数据，整理得v2＝243 m2/s2，故v＝36 m/s
故t1＝＝ s＝9 s，t2＝＝ s＝2 s
故最短时间tmin＝t1＋t2＝11 s.
法三：图象法(利用v－t图象求解)
(1)如图甲所示，阴影部分面积即摩托车在直轨道上运动的位移x＝218 m.
x＝t1＋(tmin－t1) ①
又v＝a1t1＝v2＋a2(tmin－t1) ②
由②得t1＝ ③
v＝a1t1＝ ④
联立①③④式，代入数据，整理得数学表达式
t＋5tmin－176＝0
解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．
(2)如图乙所示，阴影部分面积即摩托车在直轨道上运动的位移x＝218 m.
x＝S△OCD－S△ABD
即x＝a1t－BD(tmin－t1) ①
BD＝(v－20) m/s＋ ②
又v＝a1t1＝v2＋a2(tmin－t1)
得v＝ ③
①②③式联立，代入数据，整理得数学表达式
t＋5tmin－176＝0
解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．
【总结提升】匀变速直线运动问题的解题步骤
(1)分析题意，确定研究对象，判断物体的运动情况，分析加速度的方向和位移方向．
(2)选取正方向，并根据题意画出运动示意图．
(3)由已知条件及待求量，选定公式列出方程．
(4)统一单位，解方程求未知量．
(5)验证结果，并注意对结果进行必要的讨论．
【变式】物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图．已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
【答案】t
【解析】法一：逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面
相当于向下匀加速滑下斜面
故xBC＝，xAC＝，又xBC＝
由以上三式解得tBC＝t.
法二：基本公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得
v＝2axAC ①
v＝v－2axAB ②
xAB＝xAC ③
由①②③式解得vB＝ ④
又vB＝v0－at ⑤
vB＝atBC⑥
由④⑤⑥式解得tBC＝t.
法三：比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
因为xCB∶xBA＝∶＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t.
法四：中间时刻速度法
利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，AC＝＝，又v＝2axAC，v＝2axBC，xBC＝.由以上三式解得vB＝.可以看成vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t.
法五：图象法
根据匀变速直线运动的规律，作出v－t图象，如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边平方比，得＝，且＝，OD＝t，OC＝t＋tBC.
所以＝，解得tBC＝t.
法六：时间比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．现将整个斜面分成相等的四段，如图所示，设通过BC段的时间为tx，那么通过 BD、DE、EA的时间分别为tBD＝(－1)tx，tDE＝(－)tx，tEA＝(2－)tx，又tBD＋tDE＋tEA＝t，解得tx＝t.
专题二 运动图象与追及相遇问题的综合问题
1．应用运动图象的三点注意
(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动．
(2)x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹．
(3)x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
2．应用运动图象解题“六看”
x－t图象
v－t图象
轴
横轴为时间t，纵轴为位移x
横轴为时间t，纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
特殊点
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
【例2】 (多选)(2018·高考全国卷 Ⅱ )甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度－时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶 B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小 D．乙车的加速度大小先减小后增大
【答案】BD
【解析】本题可巧用逆向思维分析，两车在t2时刻并排行驶，根据题图分析可知在t1～t2时间内甲车运动的位移大于乙车运动的位移，所以在t1时刻甲车在后，乙车在前，B正确，A错误；依据v－t图象斜率表示加速度分析出C错误，D正确．
【规律总结】运用运动图象解题的技巧
【变式1】．(2019-2020学年·武侯校级模拟)A、B两物体从同一位置向同一方向同时运动，甲图是A物体的位移时间图象，乙图是B物体的速度时间图象，根据图象，下列说法正确的是( )
A．运动过程中，A、B两物体相遇一次
B．运动过程中，A、B两物体相遇两次
C．A、B两物体最远距离是20 m
D．6 s内，A物体的平均速度是B物体的平均速度的两倍
【答案】A.
【解析】：在0～2 s内，A的位移为：xA1＝40 m，B的位移为：xB1＝ m＝10 m，知B没有追上A.在2～4 s内，A静止，B继续沿原方向运动，通过的位移为：xB2＝10×2 m＝20 m，t＝4 s末B还没有追上A.在4～6 s内，A返回，位移为：xA2＝－40 m，t＝6 s返回原出发点．B的位移为：xB3＝ m＝10 m，则在0～6 s内B的总位移为：xB＝40 m，可知，A、B两物体在4～6 s内相遇一次，故A正确，B错误；t＝2 s时，A、B两物体相距最远，最远距离为：s＝xA1－xB1＝30 m，故C错误；6 s内，A物体的位移为0，平均速度为0，B物体的平均速度为：＝＝ m/s＝ m/s，故D错误．
【变式2】.(多选)甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图象如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为S1和S2(S2>S1)．初始时，甲车在乙车前方S0处( )
A．若S0＝S1＋S2，两车不会相遇 B．若S0
【答案】ABC.
【解析】：由题图可知甲的加速度a1比乙的加速度a2大，在达到速度相等的时间T内两车相对位移为S1，若S1S1)，两车速度相等时还没有追上，并且之后甲车快，更追不上，选项D错误．
专题三“纸带法”测速度和加速度
常用“位移差”法判断物体的运动情况，即确定纸带上的任意相邻计数点间的位移是否满足关系式xn＋1－xn＝aT2.由纸带求物体运动加速度的方法
1．利用“逐差法”求加速度：若为偶数段，假设为6段，则a1＝，a2＝，a3＝，然后取平均值，即a＝＝；或由a＝直接求得．若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第三段，即a1＝a2＝，然后取平均值，即＝；或由a＝直接求得，这样所给的数据利用率高，提高了精确度．
2．图象法：先根据匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，vn＝，求出打第n个点时纸带的瞬时速度，然后作出v－t图象，图线的斜率表示物体运动的加速度，即a＝.
【例3】(2019-2020学年·信宜市校级期末)某同学用如图1所示的装置来研究自由落体运动是什么性质的运动．图2是实验中利用打点计时器记录自由落体运动的轨迹时，得到的一条纸带，纸带上的点是从放手开始打下的连续的计数点．两点之间的距离，s1＝9.6 mm，s2＝13.4 mm，s3＝17.3 mm，s4＝21.1 mm，相邻两计数点的时间间隔为T.电源频率为50 Hz.
(1)下列说法中正确的是________．
A．电火花打点计时器用的是220 V交流电源
B．实验中使用秒表测量时间
C．实验时应先由静止释放纸带，然后赶紧接通电源
D．求出的加速度一般比9.8 m/s2小，是因为纸带和重锤受到阻力
(2)通过对纸带的分析，你认为自由落体运动是做______(填“匀速”或“变速”)运动．你的判断依据是：______________________．
(3)根据纸带上的数据，用逐差法求加速度的表达式为a＝____________(用已知物理量符号表示)，加速度大小a＝________ m/s2(保留两位有效数字)．
(4)打点计时器打下F点，求物体在F点的速度公式vF＝__________(用已知物理量符号表示)，大小为vF＝________m/s(保留两位有效数字)．
【答案】(1)AD (2)变速 相同时间内物体下落的位移越来越大 (3) 9.6 (4) 0.96
【解析】(1)电火花打点计时器用的是220 V交流电源，故A正确；打点计时器可以直接记录时间，不需秒表，故B错误；实验时应先接通电源，后释放纸带，故C错误；求出的加速度一般比9.8 m/s2小，是因为纸带和重锤受到阻力，使得加速度小于g，故D正确．
(2)在相等时间内，纸带的位移越来越大．所以纸带做变速运动．
(3)由Δx＝aT2得，a1＝，a2＝，则a＝＝.代入数据得，a≈9.6 m/s2.
(4)F点的瞬时速度等于EG间的平均速度，所以vF＝，代入数据得，vF＝0.96 m/s.
【规律总结】(1)电火花计时器使用的是220 V的交流电源，打点计时器每隔0.02 s打一个点，可以直接读出两点的时间．做实验时，应先接通电源，后释放纸带．
(2)通过相等时间内的位移判断自由落体运动的性质．
(3)根据Δx＝aT2求加速度，a1＝，a2＝，然后求出加速度的平均值．
(4)某段时间内平均速度等于其中间时刻的瞬时速度，根据这一推论求出F点的速度．
【变式】在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中：
(1)实验提供了以下器材：打点计时器、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸、弹簧测力计．其中在本实验中不需要的器材是____________．
(2)如图甲所示是某同学由打点计时器得到的表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，打点计时器打点的时间间隔T＝0.02 s，则相邻两个计数点间的时间间隔为________s．其中x1＝7.05 cm、x2＝7.68 cm、x3＝8.33 cm、x4＝8.95 cm、x5＝9.61 cm、x6＝10.26 cm.
如下表列出了打点计时器打下B、C、E、F时小车的瞬时速度，请在表中填入打点计时器打下D点时小车的瞬时速度．
位置
B
C
D
E
F
速度/(m·s－1)
0.737
0.801
0.928
0.994
(3)以A点为计时起点，在图乙所示坐标系中作出小车的速度－时间关系的图线．
(4)计算出的小车的加速度a＝________m/s2.
【答案】：(1)弹簧测力计(2)0.10 0.864(3)见解析图 (4)0.64±0.01
【解析】：(1)本实验中不需要测量力的大小，因此不需要的器材是弹簧测力计．
(2)相邻两个计数点间的时间间隔为0.10 s．根据某点的瞬时速度可用该点前后一段时间内的平均速度来代替知：
vD＝＝ m/s＝0.864 m/s.
(3)小车的速度－时间关系图线如图所示．
(4)在v－t图象中，图线的斜率表示加速度，
则a＝＝(0.64±0.01)m/s2.
二、章末优化训练
1．一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动(如图所示)，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
【答案】C
【解析】由v2－v＝2ax得：xAB＝，xBC＝，xAB∶xBC＝1∶3.
2．一辆汽车运动的v－t图像如图所示，则汽车在0～2 s内和2～3 s内相比( )
A．位移大小相等 B．平均速度相等
C．速度变化相同 D．加速度相同
【答案】B
【解析】汽车在0～2 s内和2～3 s内平均速度相等，位移不等，速度变化大小相等，方向不同，加速度不同，B正确．
3．某同学身高1.8m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8m高的横杆．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10m/s2)( )
A．2m/s B．4m/s
C．6m/s D．8m/s
【答案】B
【解析】起跳后重心上升了大约0.9m，根据v＝，得v≈4m/s，B对．
4．物体在A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点后改为做匀减速直线运动，最后停在C点．已知物体运动的总路程为32m，所用的总时间为10 s，根据上述条件( )
A．可求出A、B间的距离 B．可求出B、C间的距离
C．可求出物体在B点的瞬时速度 D．可求出物体加速和减速时的加速度
【答案】C
【解析】如果求A、B间的距离和B、C间的距离，必须知道物体在AB段和BC段上运动的时间或加速度，本题没有给出这两个条件中的任何一个，所以无法求得A、B间和B、C间的距离，但利用匀变速直线运动的平均速度计算式v＝＝，由题意可知vA＝vC＝0，则物体在B点的瞬时速度vB＝2v，s＝vtAB＋vtBC＝vBt，得vB＝6.4m/s.
5.(2019-2020学年·安徽六安高一期末)如图所示，甲同学用手拿着一把长50 cm的直尺，并使其处于竖直状态；乙同学把手放在直尺0刻度线位置做抓尺的准备．某时刻甲同学松开直尺，直尺保持竖直状态下落，乙同学看到后立即用手抓直尺，手抓住直尺位置的刻度值为20 cm；重复以上实验，乙同学第二次用手抓住直尺位置的刻度值为10 cm.直尺下落过程中始终保持竖直状态．若从乙同学看到甲同学松开直尺，到他抓住直尺所用时间叫“反应时间”，取重力加速度g＝10 m/s2.则下列说法中不正确的是( )
A．若将尺子上原来的长度值改为对应的“反应时间”值，则可用上述方法直接测出“反应时间”
B．若某同学的“反应时间”大于0.4 s，则用该直尺将无法用上述方法测量他的“反应时间”
C．乙同学第一次抓住直尺的瞬间，直尺的速度约为4 m/s
D．乙同学第一次的“反应时间”比第二次长
【答案】C.
【解析】：将计算出的反应时间对应到尺子上的长度时，可用上述方法直接测出“反应时间”，故A正确；若某同学的反应时间为0.4 s，则下落的高度：h0＝gt＝0.8 m，大于该直尺的长度，所以将无法测量该同学的反应时间，故B正确；由v2＝2gh可知，乙第一次抓住直尺的速度v＝ m/s＝2 m/s，故C错误；直尺下降的高度h，根据h＝gt2得，t＝所以下落的高度大的用的时间长，所以第一次测量的反应时间比第二次长，故D正确．
6．在某高度h1处自由下落一物体A，1 s后从另一较低高度h2处自由下落另一物体B.若A从开始下落起下落了45 m 时赶上B，并且再过1 s到地，则B从下落到着地所经历的时间是( )
A．3 s B．约3.3 s
C．3.5 s D．4 s
【答案】B.
【解析】：设当A下落赶上B时所用时间为t＋1 s，则B下落时间为t.则g(t＋1 s)2＝45 m，解得t＝2 s，A物体从开始下落到落地所用时间为4 s，则h1＝gt＝×10 m/s2×(4 s)2＝80 m，最后1 s下落的高度为80 m－45 m＝35 m，故B下落的高度为：h2＝gt2＋35 m＝55 m，由h2＝gt得tB≈3.3 s，故选项B正确．
7.(2019-2020学年·历城校级月考)一种比飞机还要快的旅行工具即将诞生，称为“第五类交通方式”，它就是“Hyperloop(超级高铁)”. 据英国《每日邮报》2016年7月6日报道，Hyperloop One公司计划，将在欧洲建成世界首架规模完备的“超级高铁”(Hyperloop)，连接芬兰首都赫尔辛基和瑞典首都斯德哥尔摩，速度可达每小时700英里(约合1 126公里/时)．如果乘坐Hyperloop从赫尔辛基到斯德哥尔摩，600公里的路程需要40分钟，Hyperloop先匀加速，达到最大速度1 200 km/h后匀速运动，快进站时再匀减速运动，且加速与减速的加速度大小相等，则下列关于Hyperloop的说法正确的是( )
A．加速与减速的时间不一定相等 B．加速时间为10分钟
C．加速时加速度大小为2 m/s2 D．如果加速度大小为10 m/s2，题中所述运动最短需要32分钟
【答案】B.
【解析】：加速与减速的加速度大小相等，由逆向思维可得：加速与减速时间相等，故A错误；加速的时间为t1，匀速的时间为t2，减速的时间为t1，匀速运动的速度为v，由题意得：2t1＋t2＝t，2t1＋t2＝2 400①，2×at＋vt2＝x，at＋t2＝600 000②，v＝at1，＝at1③，联立①②③式，解得：t1＝600 s ，t2＝1 200 s，a＝ m/s2，故B正确，C错误；当a′＝10 m/s2时，加速时间为t′1，匀速时间为t′2，减速时间为t′1，总时间为t′，则2t′1＋t′2＝t′④，a′t′＋vt′2＝600 000⑤，v＝a′t′1⑥，联立④⑤⑥式，代入数据解得：t′＝ s≈30.6 min.
8．动物跳跃时将腿部弯曲然后伸直加速跳起．下表是袋鼠与跳蚤跳跃时的竖直高度．若不计空气阻力，则袋鼠跃起离地的瞬时速率约是跳蚤的多少倍( )
跳跃的竖直高度(米)
袋鼠
2.5
跳蚤
0.1
A.1 000 B．25
C．5 D．1
【答案】C.
【解析】：由v2＝2gh，可得v＝，h1＝2.5 m，h2＝0.1 m，代入得v1∶v2＝5∶1，故C正确．
9.如图为自地面竖直向上发射的火箭的v－t图像．由图像可知下列判断正确的是( )
A．火箭在燃料燃烧期内加速度大小为103m/s2
B．火箭在10 s末开始向下运动
C．火箭发射后离地面的最远距离为5.0×104m
D．火箭在燃料燃烧期后的加速度大小是10m/s2
【答案】D
【解析】速度—时间图像中，图线的斜率表示加速度，由数学知识得在0～10 s时间内火箭的加速度为a＝＝m/s2＝100m/s2，故A错误；由速度图像看出，在0～110 s时间内火箭的速度一直是正值，说明0～110 s火箭一直向上运动，110 s以后速度为负值，说明火箭在下落，所以110 s末开始向下运动，故B错误；110 s末火箭离地面最远，离地面的最远距离为s＝m＝5.5×104m，故C错误；火箭在燃料燃烧期后的加速度大小为a′＝＝m/s2＝10m/s2，故D正确．
10.如图所示为一质点从t＝0时刻开始，做初速度为零的匀加速直线运动的位移—时间图像，图中斜虚线为t＝4 s时对应图像中的点的切线，交时间轴于t＝2 s处，由此可知该质点做匀加速运动的加速度为( )
A．2m/s2 B.m/s2
C.m/s2 D.m/s2
【答案】B
【解析】由题图可知，t＝4s时图像的切线斜率为该时刻的速度，则v＝2m/s，故加速度a＝＝m/s2，B正确．
11.将一物体在空中以v0＝20 m/s的速度竖直上抛，不计空气阻力，当物体的位移大小为15 m时，所需时间可能是(g＝10 m/s2)( )
A．1.0 s B．2.0 s
C．3.0 s D．4.6 s
【答案】ACD.
【解析】：选竖直向上为正方向，若物体在抛出点上方，则x＝15 m．由x＝v0t－gt2得：15＝20t－×10t2，解得t＝1.0 s或t＝3.0 s．若物体在抛出点下方，则x＝－15 m，由x＝v0t－gt2得：－15＝20t－×10t2，解得：t≈4.6 s，故A、C、D正确．
12.(多选)一物体从一行星表面的某高度处自由下落(不计表层大气阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面的高度h随时间t变化的图像如右图所示，则( )
A．行星表面的重力加速度大小为8m/s2 B．行星表面的重力加速度大小为10m/s2
C．物体落到行星表面时的速度大小为20m/s D．物体落到行星表面时的速度大小为25m/s
【答案】AC
【解析】由图可以看出，物体自由下落25m所用的时间为2.5 s，由h＝gt2得g＝＝m/s2＝8m/s2，A正确，B错误；由v＝gt得物体落到行星表面的速度v＝gt＝8×2.5m/s＝20m/s，C正确，D错误．
13.(多选)如图所示，汽车以10m/s的速度匀速驶向路口，当行驶至距路口停车线20m处时，绿灯还有3 s熄灭．而该汽车在绿灯熄灭时刚好停在停车线处，则汽车运动的v－t图像可能是( )
【答案】BC
【解析】v－t图线与时间坐标轴所围“面积”表示位移，A、D选项中v－t图像的“面积”不等于20m，A、D错误；B中v－t图像的“面积”可能等于20m，B正确；C中v－t图像的“面积”正好等于20m，C正确．
14．(多选)一个质点正在做匀加速直线运动．用固定在地面上的照相机对该质点进行闪光照相，闪光时间间隔为1 s，分析照片所得的数据，发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了2m，在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了8m．由此可以求得( )
A．第1次闪光时质点的速度 B．质点运动的加速度
C．从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移 D．质点运动的初速度
【答案】ABC
【解析】解本题的关键是频闪照相机记录下的连续相等时间的位移关系，找到满足Δx＝aT2及v＝＝vt/2的条件．由于不能确定质点运动的初始位置，因而不能求质点运动的初速度．设质点的加速度为a，则s3－s1＝2aT2，代入数据解得a＝3m/s2，又s2－s1＝aT2，s2＝s1＋aT2＝2m＋3×12m＝5m．即从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移为5m，有v2＝＝m/s＝3.5m/s，又v2＝v1＋at，故v1＝v2－at＝3.5m/s－3×1m/s＝0.5m/s.选项A、B、C正确，D错误．
三、 非选择题
15．某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定出0、1、2、3、4、5、6共7个测量点．其相邻点间的距离如图所示，每两个相邻的测量点之间的时间间隔为0.10 s，试完成下面问题．
(1)根据纸带上各个测量点间的距离，某同学已将1、2、3、5点对应的时刻的瞬时速度进行计算并填入表中，请你将4点对应的时刻的瞬时速度填入表中．(结果保留三位有效数字)
瞬时速度
v1
v2
v3
v4
v5
数值/(m·s－1)
0.165
0.214
0.263
0.363
(2)在图中所示的直角坐标系中画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图象．
(3)由图象求出小车的加速度a＝________m/s2.
【答案】：(1)0.314 (2)见解析图 (3)0.440
【解析】：(1)4点对应的时刻的瞬时速度
v4＝ m/s≈0.314 m/s.
(2)描点作图，如图.
(3)根据图象得：a＝ m/s2＝0.440 m/s2.
16．如图所示的A、B两个物体，距地面高度为H＝45 m，A物体因在运动过程中阻力不计，其加速度为自由落体加速度g＝10 m/s2，B物体由于受到阻力作用，其加速度为aB＝9 m/s2，方向竖直向下，A、B两物体均可视为质点，求：
(1)若A、B两物体同时由静止释放，则当物体A落地时物体B离地距离；
(2)若要使两物体同时落地，在B物体由静止释放后，则需要经过多长时间将A物体由静止释放；
(3)若将B物体移到距地面高度h＝36 m的A的正下方C点，同时由静止释放A、B两物体，A物体能否在B落地前追上B，若能，计算其追上的位置距地面的距离；若不能，则在A释放时至少给A物体多大的竖直向下的初速度，才能追上B物体？
【答案】：(1)4.5 m (2)(－3) s (3)不能 m/s
【解析】：(1)由自由落体公式有H＝gt2
得A下落时间t＝＝3 s
则B物体下落高度hB＝aBt2＝40.5 m
物体B离地距离h′B＝H－hB＝4.5 m.
(2)物体B下落时间tB＝＝ s
则从物体B释放后到A释放间隔的时间
Δt＝tB－t＝(－3)s.
(3)因为从h＝36 m高度释放物体B，
下落时间t′＝＝2 s<3 s
故A物体不能追上B物体．
设给A物体v0的初速度，A刚好能追上B，则
由题意得，H＝v0t′＋gt′2
代入数据解得v0＝ m/s.
17．一辆长途客车正在以v0＝20m/s的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方34m处有一只狗，如图甲所示，司机立即采取制动措施．若从司机看见狗开始计时(t＝0)，长途客车的速度—时间图像如图乙所示．
(1)求长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
(2)求长途客车制动时的加速度；
(3)若狗正以v1＝4m/s的速度与长途客车同向奔跑，狗能否摆脱被撞的噩运？
【答案】(1)50m (2)－5m/s2 (3)不会被撞
【解析】(1)由题图乙可知，长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离等于速度—时间图像中图线与坐标轴围成的面积，即d＝50m
(2)由图像可知，长途客车制动时的加速度为
a＝＝m/s2＝－5m/s2
(3)当客车速度减为与狗的速度相同时，所需时间
t′＝＝ s＝3.2 s
司机从看到狗到速度减为与狗速度相同时，通过的位移
x＝v0t0＋
代入数据得x＝48.4m
狗通过的位移x′＝v1(t0＋t′)＝4×(0.5＋3.2)m＝14.8m
Δx＝x－x′＝33.6m<34m，故狗不会被撞．
18.(2019-2020学年·榆林高一期中)据报道，一儿童玩耍时不慎从45 m高的阳台上无初速度掉下，在他刚掉下时恰被楼下一社区管理人员发现，该人员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童．已知管理人员到儿童下落处的正下方楼底的距离为18 m，为确保能稳妥安全接住儿童，必须保证接住儿童时没有水平方向的冲击(也就是无水平速度)．不计空气阻力，将儿童和管理人员都看做质点，设管理人员奔跑过程中只做匀速或匀变速运动，g取10 m/s2.
(1)管理人员至少用多大的平均速度跑到楼底？
(2)若管理人员在奔跑过程中做匀加速或匀减速运动的加速度大小相等，且最大速度不超过9 m/s，求管理人员奔跑时加速度的大小需满足什么条件？
【答案】：(1)6 m/s (2)a≥9 m/s2
【解析】：(1)儿童下落过程，由运动学公式得：h＝gt ①
管理人员奔跑的时间为：t≤t0 ②
对管理人员奔跑过程，由运动学公式得：s＝t ③
由①②③式联立并代入数据得，≥6 m/s.
(2)假设管理人员先匀加速接着匀减速奔跑到楼底，奔跑过程中的最大速度为v0，由运动学公式得：
＝，
得：v0＝2＝12 m/s＞vmax＝9 m/s，所以先加速，再匀速，最后匀减速奔跑到楼底．
设匀加速、匀速、匀减速过程的时间分别为t1、t2、t3，位移分别为s1、s2、s3，
由运动学公式得，s1＝at ④
s3＝at ⑤
s2＝vmaxt2 ⑥
vmax＝at1＝at3 ⑦
t1＋t2＋t3≤t0 ⑧
s1＋s2＋s3＝s ⑨
由④～⑨式联立并代入数据得，a≥9 m/s2.
2020-2021学年高一物理卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）
第二章 匀变速直线运动的研究
章末优化整合及训练
一．高频考点专题突破
专题一 解决匀变速直线运动问题的常用方法
1．匀变速直线运动规律公式间的关系
2．常用解题方法
常用方法
规律特点
一般公式法
v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v＝2ax
使用时应注意它们都是矢量，一般以v0方向为正方向，其余物理量与正方向相同者为正，与正方向相反者为负
平均速度法
＝，对任何性质的运动都适用；
＝(v0＋v)，只适用于匀变速直线运动
中间时刻速度法
v＝＝(v0＋v)，适用于匀变速直线运动
比例法
对于初速度为0的匀加速直线运动或末速度为0的匀减速直线运动，可利用比例法求解
逆向思维法
把运动过程的“末态”作为“初态”的方法．例如，末速度为0的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为0的匀加速直线运动
图象法
应用v－t图象，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解
【例1】(2019-2020学年·黄石高一模拟)要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内通过一段直轨道，然后驶入一段半圆形的弯轨道，但在弯轨道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏离轨道，求摩托车在直轨道上行驶所用的最短时间．有关数据见下表：
启动加速度a1
4 m/s2
制动加速度a2
8 m/s2
直轨道允许的最大速度v1
40 m/s
弯轨道允许的最大速度v2
20 m/s
直轨道长度x
218 m
某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v1＝40 m/s，然后再减速到v2＝ 20 m/s，t1＝，t2＝，tmin＝t1＋t2.你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法计算．
【总结提升】
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【变式】物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图．已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
专题二 运动图象与追及相遇问题的综合问题
1．应用运动图象的三点注意
(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动．
(2)x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹．
(3)x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
2．应用运动图象解题“六看”
x－t图象
v－t图象
轴
横轴为时间t，纵轴为位移x
横轴为时间t，纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
特殊点
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
【例2】 (多选)(2018·高考全国卷 Ⅱ )甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度－时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶 B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小 D．乙车的加速度大小先减小后增大
【规律总结】
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【变式1】．(2019-2020学年·武侯校级模拟)A、B两物体从同一位置向同一方向同时运动，甲图是A物体的位移时间图象，乙图是B物体的速度时间图象，根据图象，下列说法正确的是( )
A．运动过程中，A、B两物体相遇一次
B．运动过程中，A、B两物体相遇两次
C．A、B两物体最远距离是20 m
D．6 s内，A物体的平均速度是B物体的平均速度的两倍
【变式2】.(多选)甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图象如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为S1和S2(S2>S1)．初始时，甲车在乙车前方S0处( )
A．若S0＝S1＋S2，两车不会相遇 B．若S0
专题三“纸带法”测速度和加速度
常用“位移差”法判断物体的运动情况，即确定纸带上的任意相邻计数点间的位移是否满足关系式xn＋1－xn＝aT2.由纸带求物体运动加速度的方法
1．利用“逐差法”求加速度：若为偶数段，假设为6段，则a1＝，a2＝，a3＝，然后取平均值，即a＝＝；或由a＝直接求得．若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第三段，即a1＝a2＝，然后取平均值，即＝；或由a＝直接求得，这样所给的数据利用率高，提高了精确度．
2．图象法：先根据匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，vn＝，求出打第n个点时纸带的瞬时速度，然后作出v－t图象，图线的斜率表示物体运动的加速度，即a＝.
【例3】(2019-2020学年·信宜市校级期末)某同学用如图1所示的装置来研究自由落体运动是什么性质的运动．图2是实验中利用打点计时器记录自由落体运动的轨迹时，得到的一条纸带，纸带上的点是从放手开始打下的连续的计数点．两点之间的距离，s1＝9.6 mm，s2＝13.4 mm，s3＝17.3 mm，s4＝21.1 mm，相邻两计数点的时间间隔为T.电源频率为50 Hz.
(1)下列说法中正确的是________．
A．电火花打点计时器用的是220 V交流电源
B．实验中使用秒表测量时间
C．实验时应先由静止释放纸带，然后赶紧接通电源
D．求出的加速度一般比9.8 m/s2小，是因为纸带和重锤受到阻力
(2)通过对纸带的分析，你认为自由落体运动是做______(填“匀速”或“变速”)运动．你的判断依据是：______________________．
(3)根据纸带上的数据，用逐差法求加速度的表达式为a＝____________(用已知物理量符号表示)，加速度大小a＝________ m/s2(保留两位有效数字)．
(4)打点计时器打下F点，求物体在F点的速度公式vF＝__________(用已知物理量符号表示)，大小为vF＝________m/s(保留两位有效数字)．
【规律总结】
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【变式】在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中：
(1)实验提供了以下器材：打点计时器、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸、弹簧测力计．其中在本实验中不需要的器材是____________．
(2)如图甲所示是某同学由打点计时器得到的表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，打点计时器打点的时间间隔T＝0.02 s，则相邻两个计数点间的时间间隔为________s．其中x1＝7.05 cm、x2＝7.68 cm、x3＝8.33 cm、x4＝8.95 cm、x5＝9.61 cm、x6＝10.26 cm.
如下表列出了打点计时器打下B、C、E、F时小车的瞬时速度，请在表中填入打点计时器打下D点时小车的瞬时速度．
位置
B
C
D
E
F
速度/(m·s－1)
0.737
0.801
0.928
0.994
(3)以A点为计时起点，在图乙所示坐标系中作出小车的速度－时间关系的图线．
(4)计算出的小车的加速度a＝________m/s2.
二、章末优化训练
1．一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动(如图所示)，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
2．一辆汽车运动的v－t图像如图所示，则汽车在0～2 s内和2～3 s内相比( )
A．位移大小相等 B．平均速度相等
C．速度变化相同 D．加速度相同
3．某同学身高1.8m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8m高的横杆．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10m/s2)( )
A．2m/s B．4m/s
C．6m/s D．8m/s
4．物体在A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点后改为做匀减速直线运动，最后停在C点．已知物体运动的总路程为32m，所用的总时间为10 s，根据上述条件( )
A．可求出A、B间的距离 B．可求出B、C间的距离
C．可求出物体在B点的瞬时速度 D．可求出物体加速和减速时的加速度
5.(2019-2020学年·安徽六安高一期末)如图所示，甲同学用手拿着一把长50 cm的直尺，并使其处于竖直状态；乙同学把手放在直尺0刻度线位置做抓尺的准备．某时刻甲同学松开直尺，直尺保持竖直状态下落，乙同学看到后立即用手抓直尺，手抓住直尺位置的刻度值为20 cm；重复以上实验，乙同学第二次用手抓住直尺位置的刻度值为10 cm.直尺下落过程中始终保持竖直状态．若从乙同学看到甲同学松开直尺，到他抓住直尺所用时间叫“反应时间”，取重力加速度g＝10 m/s2.则下列说法中不正确的是( )
A．若将尺子上原来的长度值改为对应的“反应时间”值，则可用上述方法直接测出“反应时间”
B．若某同学的“反应时间”大于0.4 s，则用该直尺将无法用上述方法测量他的“反应时间”
C．乙同学第一次抓住直尺的瞬间，直尺的速度约为4 m/s
D．乙同学第一次的“反应时间”比第二次长
6．在某高度h1处自由下落一物体A，1 s后从另一较低高度h2处自由下落另一物体B.若A从开始下落起下落了45 m 时赶上B，并且再过1 s到地，则B从下落到着地所经历的时间是( )
A．3 s B．约3.3 s
C．3.5 s D．4 s
7.(2019-2020学年·历城校级月考)一种比飞机还要快的旅行工具即将诞生，称为“第五类交通方式”，它就是“Hyperloop(超级高铁)”. 据英国《每日邮报》2016年7月6日报道，Hyperloop One公司计划，将在欧洲建成世界首架规模完备的“超级高铁”(Hyperloop)，连接芬兰首都赫尔辛基和瑞典首都斯德哥尔摩，速度可达每小时700英里(约合1 126公里/时)．如果乘坐Hyperloop从赫尔辛基到斯德哥尔摩，600公里的路程需要40分钟，Hyperloop先匀加速，达到最大速度1 200 km/h后匀速运动，快进站时再匀减速运动，且加速与减速的加速度大小相等，则下列关于Hyperloop的说法正确的是( )
A．加速与减速的时间不一定相等 B．加速时间为10分钟
C．加速时加速度大小为2 m/s2 D．如果加速度大小为10 m/s2，题中所述运动最短需要32分钟
8．动物跳跃时将腿部弯曲然后伸直加速跳起．下表是袋鼠与跳蚤跳跃时的竖直高度．若不计空气阻力，则袋鼠跃起离地的瞬时速率约是跳蚤的多少倍( )
跳跃的竖直高度(米)
袋鼠
2.5
跳蚤
0.1
A.1 000 B．25
C．5 D．1
9.如图为自地面竖直向上发射的火箭的v－t图像．由图像可知下列判断正确的是( )
A．火箭在燃料燃烧期内加速度大小为103m/s2
B．火箭在10 s末开始向下运动
C．火箭发射后离地面的最远距离为5.0×104m
D．火箭在燃料燃烧期后的加速度大小是10m/s2
10.如图所示为一质点从t＝0时刻开始，做初速度为零的匀加速直线运动的位移—时间图像，图中斜虚线为t＝4 s时对应图像中的点的切线，交时间轴于t＝2 s处，由此可知该质点做匀加速运动的加速度为( )
A．2m/s2 B.m/s2
C.m/s2 D.m/s2
11.将一物体在空中以v0＝20 m/s的速度竖直上抛，不计空气阻力，当物体的位移大小为15 m时，所需时间可能是(g＝10 m/s2)( )
A．1.0 s B．2.0 s
C．3.0 s D．4.6 s
12.(多选)一物体从一行星表面的某高度处自由下落(不计表层大气阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面的高度h随时间t变化的图像如右图所示，则( )
A．行星表面的重力加速度大小为8m/s2 B．行星表面的重力加速度大小为10m/s2
C．物体落到行星表面时的速度大小为20m/s D．物体落到行星表面时的速度大小为25m/s
13.(多选)如图所示，汽车以10m/s的速度匀速驶向路口，当行驶至距路口停车线20m处时，绿灯还有3 s熄灭．而该汽车在绿灯熄灭时刚好停在停车线处，则汽车运动的v－t图像可能是( )
14．(多选)一个质点正在做匀加速直线运动．用固定在地面上的照相机对该质点进行闪光照相，闪光时间间隔为1 s，分析照片所得的数据，发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了2m，在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了8m．由此可以求得( )
A．第1次闪光时质点的速度 B．质点运动的加速度
C．从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移 D．质点运动的初速度
二、 非选择题
15．某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定出0、1、2、3、4、5、6共7个测量点．其相邻点间的距离如图所示，每两个相邻的测量点之间的时间间隔为0.10 s，试完成下面问题．
(1)根据纸带上各个测量点间的距离，某同学已将1、2、3、5点对应的时刻的瞬时速度进行计算并填入表中，请你将4点对应的时刻的瞬时速度填入表中．(结果保留三位有效数字)
瞬时速度
v1
v2
v3
v4
v5
数值/(m·s－1)
0.165
0.214
0.263
0.363
(2)在图中所示的直角坐标系中画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图象．
(3)由图象求出小车的加速度a＝________m/s2.
16．如图所示的A、B两个物体，距地面高度为H＝45 m，A物体因在运动过程中阻力不计，其加速度为自由落体加速度g＝10 m/s2，B物体由于受到阻力作用，其加速度为aB＝9 m/s2，方向竖直向下，A、B两物体均可视为质点，求：
(1)若A、B两物体同时由静止释放，则当物体A落地时物体B离地距离；
(2)若要使两物体同时落地，在B物体由静止释放后，则需要经过多长时间将A物体由静止释放；
(3)若将B物体移到距地面高度h＝36 m的A的正下方C点，同时由静止释放A、B两物体，A物体能否在B落地前追上B，若能，计算其追上的位置距地面的距离；若不能，则在A释放时至少给A物体多大的竖直向下的初速度，才能追上B物体？
17．一辆长途客车正在以v0＝20m/s的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方34m处有一只狗，如图甲所示，司机立即采取制动措施．若从司机看见狗开始计时(t＝0)，长途客车的速度—时间图像如图乙所示．
(1)求长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
(2)求长途客车制动时的加速度；
(3)若狗正以v1＝4m/s的速度与长途客车同向奔跑，狗能否摆脱被撞的噩运？
18.(2019-2020学年·榆林高一期中)据报道，一儿童玩耍时不慎从45 m高的阳台上无初速度掉下，在他刚掉下时恰被楼下一社区管理人员发现，该人员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童．已知管理人员到儿童下落处的正下方楼底的距离为18 m，为确保能稳妥安全接住儿童，必须保证接住儿童时没有水平方向的冲击(也就是无水平速度)．不计空气阻力，将儿童和管理人员都看做质点，设管理人员奔跑过程中只做匀速或匀变速运动，g取10 m/s2.
(1)管理人员至少用多大的平均速度跑到楼底？
(2)若管理人员在奔跑过程中做匀加速或匀减速运动的加速度大小相等，且最大速度不超过9 m/s，求管理人员奔跑时加速度的大小需满足什么条件？
2020-2021学年高一物理卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）
第二章 匀变速直线运动的研究
章末优化整合及训练
一．高频考点专题突破
专题一 解决匀变速直线运动问题的常用方法
1．匀变速直线运动规律公式间的关系
2．常用解题方法
常用方法
规律特点
一般公式法
v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v＝2ax
使用时应注意它们都是矢量，一般以v0方向为正方向，其余物理量与正方向相同者为正，与正方向相反者为负
平均速度法
＝，对任何性质的运动都适用；
＝(v0＋v)，只适用于匀变速直线运动
中间时刻速度法
v＝＝(v0＋v)，适用于匀变速直线运动
比例法
对于初速度为0的匀加速直线运动或末速度为0的匀减速直线运动，可利用比例法求解
逆向思维法
把运动过程的“末态”作为“初态”的方法．例如，末速度为0的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为0的匀加速直线运动
图象法
应用v－t图象，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解
【例1】(2019-2020学年·黄石高一模拟)要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内通过一段直轨道，然后驶入一段半圆形的弯轨道，但在弯轨道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏离轨道，求摩托车在直轨道上行驶所用的最短时间．有关数据见下表：
启动加速度a1
4 m/s2
制动加速度a2
8 m/s2
直轨道允许的最大速度v1
40 m/s
弯轨道允许的最大速度v2
20 m/s
直轨道长度x
218 m
某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v1＝40 m/s，然后再减速到v2＝ 20 m/s，t1＝，t2＝，tmin＝t1＋t2.你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法计算．
【答案】：不合理，理由见解析，正确结果为11 s
【解析】：不合理．理由如下．
首先对运动过程进行分析讨论，假设摩托车在直轨道上先加速至最大速度40 m/s，然后再减速至弯轨道允许的速度，则加速过程的位移为
x1＝＝ m＝200 m
再减速至弯轨道允许的速度时通过的位移为
x2＝＝ m＝75 m
因为x1＋x2＝275 m＞x＝218 m，因此，如果按这种方式运动，摩托车在弯轨道上行驶的速度将大于20 m/s，不符合题目要求，故摩托车在直轨道上运行时的最大速度应小于40 m/s，才能在进入弯轨道前通过减速使速度减小为20 m/s.因而，该同学的解法不合理．
综上所述，摩托车在直轨道上的运动过程应为：从静止开始加速，当速度达到某一值(小于直轨道允许的最大速度)时开始减速，恰好在运动到直轨道末端时速度减至20 m/s.此运动过程的总位移为218 m.
法一：基本公式法(利用运动学基本公式求解)
摩托车匀加速运动的位移x1＝a1t ①
匀减速运动的位移x2＝v2(tmin－t1)＋a2(tmin－t1)2 ②
x1＋x2＝x ③
又a1t1＝v2＋a2(tmin－t1)，整理得t1＝ ④
联立①②③④式，代入数据，整理得数学表达式
t＋5tmin－176＝0
解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．
法二：推论法(利用运动学推论公式求解)
设行驶的最大速度为v，则匀加速运动的位移x1＝
匀减速运动的位移x2＝
且x1＋x2＝x，即＋＝218 m
代入数据，整理得v2＝243 m2/s2，故v＝36 m/s
故t1＝＝ s＝9 s，t2＝＝ s＝2 s
故最短时间tmin＝t1＋t2＝11 s.
法三：图象法(利用v－t图象求解)
(1)如图甲所示，阴影部分面积即摩托车在直轨道上运动的位移x＝218 m.
x＝t1＋(tmin－t1) ①
又v＝a1t1＝v2＋a2(tmin－t1) ②
由②得t1＝ ③
v＝a1t1＝ ④
联立①③④式，代入数据，整理得数学表达式
t＋5tmin－176＝0
解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．
(2)如图乙所示，阴影部分面积即摩托车在直轨道上运动的位移x＝218 m.
x＝S△OCD－S△ABD
即x＝a1t－BD(tmin－t1) ①
BD＝(v－20) m/s＋ ②
又v＝a1t1＝v2＋a2(tmin－t1)
得v＝ ③
①②③式联立，代入数据，整理得数学表达式
t＋5tmin－176＝0
解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．
【总结提升】匀变速直线运动问题的解题步骤
(1)分析题意，确定研究对象，判断物体的运动情况，分析加速度的方向和位移方向．
(2)选取正方向，并根据题意画出运动示意图．
(3)由已知条件及待求量，选定公式列出方程．
(4)统一单位，解方程求未知量．
(5)验证结果，并注意对结果进行必要的讨论．
【变式】物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图．已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
【答案】t
【解析】法一：逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面
相当于向下匀加速滑下斜面
故xBC＝，xAC＝，又xBC＝
由以上三式解得tBC＝t.
法二：基本公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得
v＝2axAC ①
v＝v－2axAB ②
xAB＝xAC ③
由①②③式解得vB＝ ④
又vB＝v0－at ⑤
vB＝atBC⑥
由④⑤⑥式解得tBC＝t.
法三：比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
因为xCB∶xBA＝∶＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t.
法四：中间时刻速度法
利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，AC＝＝，又v＝2axAC，v＝2axBC，xBC＝.由以上三式解得vB＝.可以看成vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t.
法五：图象法
根据匀变速直线运动的规律，作出v－t图象，如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边平方比，得＝，且＝，OD＝t，OC＝t＋tBC.
所以＝，解得tBC＝t.
法六：时间比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．现将整个斜面分成相等的四段，如图所示，设通过BC段的时间为tx，那么通过 BD、DE、EA的时间分别为tBD＝(－1)tx，tDE＝(－)tx，tEA＝(2－)tx，又tBD＋tDE＋tEA＝t，解得tx＝t.
专题二 运动图象与追及相遇问题的综合问题
1．应用运动图象的三点注意
(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动．
(2)x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹．
(3)x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
2．应用运动图象解题“六看”
x－t图象
v－t图象
轴
横轴为时间t，纵轴为位移x
横轴为时间t，纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
特殊点
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
【例2】 (多选)(2018·高考全国卷 Ⅱ )甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度－时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶 B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小 D．乙车的加速度大小先减小后增大
【答案】BD
【解析】本题可巧用逆向思维分析，两车在t2时刻并排行驶，根据题图分析可知在t1～t2时间内甲车运动的位移大于乙车运动的位移，所以在t1时刻甲车在后，乙车在前，B正确，A错误；依据v－t图象斜率表示加速度分析出C错误，D正确．
【规律总结】运用运动图象解题的技巧
【变式1】．(2019-2020学年·武侯校级模拟)A、B两物体从同一位置向同一方向同时运动，甲图是A物体的位移时间图象，乙图是B物体的速度时间图象，根据图象，下列说法正确的是( )
A．运动过程中，A、B两物体相遇一次
B．运动过程中，A、B两物体相遇两次
C．A、B两物体最远距离是20 m
D．6 s内，A物体的平均速度是B物体的平均速度的两倍
【答案】A.
【解析】：在0～2 s内，A的位移为：xA1＝40 m，B的位移为：xB1＝ m＝10 m，知B没有追上A.在2～4 s内，A静止，B继续沿原方向运动，通过的位移为：xB2＝10×2 m＝20 m，t＝4 s末B还没有追上A.在4～6 s内，A返回，位移为：xA2＝－40 m，t＝6 s返回原出发点．B的位移为：xB3＝ m＝10 m，则在0～6 s内B的总位移为：xB＝40 m，可知，A、B两物体在4～6 s内相遇一次，故A正确，B错误；t＝2 s时，A、B两物体相距最远，最远距离为：s＝xA1－xB1＝30 m，故C错误；6 s内，A物体的位移为0，平均速度为0，B物体的平均速度为：＝＝ m/s＝ m/s，故D错误．
【变式2】.(多选)甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图象如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为S1和S2(S2>S1)．初始时，甲车在乙车前方S0处( )
A．若S0＝S1＋S2，两车不会相遇 B．若S0
【答案】ABC.
【解析】：由题图可知甲的加速度a1比乙的加速度a2大，在达到速度相等的时间T内两车相对位移为S1，若S1
专题三“纸带法”测速度和加速度
常用“位移差”法判断物体的运动情况，即确定纸带上的任意相邻计数点间的位移是否满足关系式xn＋1－xn＝aT2.由纸带求物体运动加速度的方法
1．利用“逐差法”求加速度：若为偶数段，假设为6段，则a1＝，a2＝，a3＝，然后取平均值，即a＝＝；或由a＝直接求得．若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第三段，即a1＝a2＝，然后取平均值，即＝；或由a＝直接求得，这样所给的数据利用率高，提高了精确度．
2．图象法：先根据匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，vn＝，求出打第n个点时纸带的瞬时速度，然后作出v－t图象，图线的斜率表示物体运动的加速度，即a＝.
【例3】(2019-2020学年·信宜市校级期末)某同学用如图1所示的装置来研究自由落体运动是什么性质的运动．图2是实验中利用打点计时器记录自由落体运动的轨迹时，得到的一条纸带，纸带上的点是从放手开始打下的连续的计数点．两点之间的距离，s1＝9.6 mm，s2＝13.4 mm，s3＝17.3 mm，s4＝21.1 mm，相邻两计数点的时间间隔为T.电源频率为50 Hz.
(1)下列说法中正确的是________．
A．电火花打点计时器用的是220 V交流电源
B．实验中使用秒表测量时间
C．实验时应先由静止释放纸带，然后赶紧接通电源
D．求出的加速度一般比9.8 m/s2小，是因为纸带和重锤受到阻力
(2)通过对纸带的分析，你认为自由落体运动是做______(填“匀速”或“变速”)运动．你的判断依据是：______________________．
(3)根据纸带上的数据，用逐差法求加速度的表达式为a＝____________(用已知物理量符号表示)，加速度大小a＝________ m/s2(保留两位有效数字)．
(4)打点计时器打下F点，求物体在F点的速度公式vF＝__________(用已知物理量符号表示)，大小为vF＝________m/s(保留两位有效数字)．
【答案】(1)AD (2)变速 相同时间内物体下落的位移越来越大 (3) 9.6 (4) 0.96
【解析】(1)电火花打点计时器用的是220 V交流电源，故A正确；打点计时器可以直接记录时间，不需秒表，故B错误；实验时应先接通电源，后释放纸带，故C错误；求出的加速度一般比9.8 m/s2小，是因为纸带和重锤受到阻力，使得加速度小于g，故D正确．
(2)在相等时间内，纸带的位移越来越大．所以纸带做变速运动．
(3)由Δx＝aT2得，a1＝，a2＝，则a＝＝.代入数据得，a≈9.6 m/s2.
(4)F点的瞬时速度等于EG间的平均速度，所以vF＝，代入数据得，vF＝0.96 m/s.
【规律总结】(1)电火花计时器使用的是220 V的交流电源，打点计时器每隔0.02 s打一个点，可以直接读出两点的时间．做实验时，应先接通电源，后释放纸带．
(2)通过相等时间内的位移判断自由落体运动的性质．
(3)根据Δx＝aT2求加速度，a1＝，a2＝，然后求出加速度的平均值．
(4)某段时间内平均速度等于其中间时刻的瞬时速度，根据这一推论求出F点的速度．
【变式】在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中：
(1)实验提供了以下器材：打点计时器、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸、弹簧测力计．其中在本实验中不需要的器材是____________．
(2)如图甲所示是某同学由打点计时器得到的表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，打点计时器打点的时间间隔T＝0.02 s，则相邻两个计数点间的时间间隔为________s．其中x1＝7.05 cm、x2＝7.68 cm、x3＝8.33 cm、x4＝8.95 cm、x5＝9.61 cm、x6＝10.26 cm.
如下表列出了打点计时器打下B、C、E、F时小车的瞬时速度，请在表中填入打点计时器打下D点时小车的瞬时速度．
位置
B
C
D
E
F
速度/(m·s－1)
0.737
0.801
0.928
0.994
(3)以A点为计时起点，在图乙所示坐标系中作出小车的速度－时间关系的图线．
(4)计算出的小车的加速度a＝________m/s2.
【答案】：(1)弹簧测力计(2)0.10 0.864(3)见解析图 (4)0.64±0.01
【解析】：(1)本实验中不需要测量力的大小，因此不需要的器材是弹簧测力计．
(2)相邻两个计数点间的时间间隔为0.10 s．根据某点的瞬时速度可用该点前后一段时间内的平均速度来代替知：
vD＝＝ m/s＝0.864 m/s.
(3)小车的速度－时间关系图线如图所示．
(4)在v－t图象中，图线的斜率表示加速度，
则a＝＝(0.64±0.01)m/s2.
二、章末优化训练
1．一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动(如图所示)，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
【答案】C
【解析】由v2－v＝2ax得：xAB＝，xBC＝，xAB∶xBC＝1∶3.
2．一辆汽车运动的v－t图像如图所示，则汽车在0～2 s内和2～3 s内相比( )
A．位移大小相等 B．平均速度相等
C．速度变化相同 D．加速度相同
【答案】B
【解析】汽车在0～2 s内和2～3 s内平均速度相等，位移不等，速度变化大小相等，方向不同，加速度不同，B正确．
3．某同学身高1.8m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8m高的横杆．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10m/s2)( )
A．2m/s B．4m/s
C．6m/s D．8m/s
【答案】B
【解析】起跳后重心上升了大约0.9m，根据v＝，得v≈4m/s，B对．
4．物体在A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点后改为做匀减速直线运动，最后停在C点．已知物体运动的总路程为32m，所用的总时间为10 s，根据上述条件( )
A．可求出A、B间的距离 B．可求出B、C间的距离
C．可求出物体在B点的瞬时速度 D．可求出物体加速和减速时的加速度
【答案】C
【解析】如果求A、B间的距离和B、C间的距离，必须知道物体在AB段和BC段上运动的时间或加速度，本题没有给出这两个条件中的任何一个，所以无法求得A、B间和B、C间的距离，但利用匀变速直线运动的平均速度计算式v＝＝，由题意可知vA＝vC＝0，则物体在B点的瞬时速度vB＝2v，s＝vtAB＋vtBC＝vBt，得vB＝6.4m/s.
5.(2019-2020学年·安徽六安高一期末)如图所示，甲同学用手拿着一把长50 cm的直尺，并使其处于竖直状态；乙同学把手放在直尺0刻度线位置做抓尺的准备．某时刻甲同学松开直尺，直尺保持竖直状态下落，乙同学看到后立即用手抓直尺，手抓住直尺位置的刻度值为20 cm；重复以上实验，乙同学第二次用手抓住直尺位置的刻度值为10 cm.直尺下落过程中始终保持竖直状态．若从乙同学看到甲同学松开直尺，到他抓住直尺所用时间叫“反应时间”，取重力加速度g＝10 m/s2.则下列说法中不正确的是( )
A．若将尺子上原来的长度值改为对应的“反应时间”值，则可用上述方法直接测出“反应时间”
B．若某同学的“反应时间”大于0.4 s，则用该直尺将无法用上述方法测量他的“反应时间”
C．乙同学第一次抓住直尺的瞬间，直尺的速度约为4 m/s
D．乙同学第一次的“反应时间”比第二次长
【答案】C.
【解析】：将计算出的反应时间对应到尺子上的长度时，可用上述方法直接测出“反应时间”，故A正确；若某同学的反应时间为0.4 s，则下落的高度：h0＝gt＝0.8 m，大于该直尺的长度，所以将无法测量该同学的反应时间，故B正确；由v2＝2gh可知，乙第一次抓住直尺的速度v＝ m/s＝2 m/s，故C错误；直尺下降的高度h，根据h＝gt2得，t＝所以下落的高度大的用的时间长，所以第一次测量的反应时间比第二次长，故D正确．
6．在某高度h1处自由下落一物体A，1 s后从另一较低高度h2处自由下落另一物体B.若A从开始下落起下落了45 m 时赶上B，并且再过1 s到地，则B从下落到着地所经历的时间是( )
A．3 s B．约3.3 s
C．3.5 s D．4 s
【答案】B.
【解析】：设当A下落赶上B时所用时间为t＋1 s，则B下落时间为t.则g(t＋1 s)2＝45 m，解得t＝2 s，A物体从开始下落到落地所用时间为4 s，则h1＝gt＝×10 m/s2×(4 s)2＝80 m，最后1 s下落的高度为80 m－45 m＝35 m，故B下落的高度为：h2＝gt2＋35 m＝55 m，由h2＝gt得tB≈3.3 s，故选项B正确．
7.(2019-2020学年·历城校级月考)一种比飞机还要快的旅行工具即将诞生，称为“第五类交通方式”，它就是“Hyperloop(超级高铁)”. 据英国《每日邮报》2016年7月6日报道，Hyperloop One公司计划，将在欧洲建成世界首架规模完备的“超级高铁”(Hyperloop)，连接芬兰首都赫尔辛基和瑞典首都斯德哥尔摩，速度可达每小时700英里(约合1 126公里/时)．如果乘坐Hyperloop从赫尔辛基到斯德哥尔摩，600公里的路程需要40分钟，Hyperloop先匀加速，达到最大速度1 200 km/h后匀速运动，快进站时再匀减速运动，且加速与减速的加速度大小相等，则下列关于Hyperloop的说法正确的是( )
A．加速与减速的时间不一定相等 B．加速时间为10分钟
C．加速时加速度大小为2 m/s2 D．如果加速度大小为10 m/s2，题中所述运动最短需要32分钟
【答案】B.
【解析】：加速与减速的加速度大小相等，由逆向思维可得：加速与减速时间相等，故A错误；加速的时间为t1，匀速的时间为t2，减速的时间为t1，匀速运动的速度为v，由题意得：2t1＋t2＝t，2t1＋t2＝2 400①，2×at＋vt2＝x，at＋t2＝600 000②，v＝at1，＝at1③，联立①②③式，解得：t1＝600 s ，t2＝1 200 s，a＝ m/s2，故B正确，C错误；当a′＝10 m/s2时，加速时间为t′1，匀速时间为t′2，减速时间为t′1，总时间为t′，则2t′1＋t′2＝t′④，a′t′＋vt′2＝600 000⑤，v＝a′t′1⑥，联立④⑤⑥式，代入数据解得：t′＝ s≈30.6 min.
8．动物跳跃时将腿部弯曲然后伸直加速跳起．下表是袋鼠与跳蚤跳跃时的竖直高度．若不计空气阻力，则袋鼠跃起离地的瞬时速率约是跳蚤的多少倍( )
跳跃的竖直高度(米)
袋鼠
2.5
跳蚤
0.1
A.1 000 B．25
C．5 D．1
【答案】C.
【解析】：由v2＝2gh，可得v＝，h1＝2.5 m，h2＝0.1 m，代入得v1∶v2＝5∶1，故C正确．
9.如图为自地面竖直向上发射的火箭的v－t图像．由图像可知下列判断正确的是( )
A．火箭在燃料燃烧期内加速度大小为103m/s2
B．火箭在10 s末开始向下运动
C．火箭发射后离地面的最远距离为5.0×104m
D．火箭在燃料燃烧期后的加速度大小是10m/s2
【答案】D
【解析】速度—时间图像中，图线的斜率表示加速度，由数学知识得在0～10 s时间内火箭的加速度为a＝＝m/s2＝100m/s2，故A错误；由速度图像看出，在0～110 s时间内火箭的速度一直是正值，说明0～110 s火箭一直向上运动，110 s以后速度为负值，说明火箭在下落，所以110 s末开始向下运动，故B错误；110 s末火箭离地面最远，离地面的最远距离为s＝m＝5.5×104m，故C错误；火箭在燃料燃烧期后的加速度大小为a′＝＝m/s2＝10m/s2，故D正确．
10.如图所示为一质点从t＝0时刻开始，做初速度为零的匀加速直线运动的位移—时间图像，图中斜虚线为t＝4 s时对应图像中的点的切线，交时间轴于t＝2 s处，由此可知该质点做匀加速运动的加速度为( )
A．2m/s2 B.m/s2
C.m/s2 D.m/s2
【答案】B
【解析】由题图可知，t＝4s时图像的切线斜率为该时刻的速度，则v＝2m/s，故加速度a＝＝m/s2，B正确．
11.将一物体在空中以v0＝20 m/s的速度竖直上抛，不计空气阻力，当物体的位移大小为15 m时，所需时间可能是(g＝10 m/s2)( )
A．1.0 s B．2.0 s
C．3.0 s D．4.6 s
【答案】ACD.
【解析】：选竖直向上为正方向，若物体在抛出点上方，则x＝15 m．由x＝v0t－gt2得：15＝20t－×10t2，解得t＝1.0 s或t＝3.0 s．若物体在抛出点下方，则x＝－15 m，由x＝v0t－gt2得：－15＝20t－×10t2，解得：t≈4.6 s，故A、C、D正确．
12.(多选)一物体从一行星表面的某高度处自由下落(不计表层大气阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面的高度h随时间t变化的图像如右图所示，则( )
A．行星表面的重力加速度大小为8m/s2 B．行星表面的重力加速度大小为10m/s2
C．物体落到行星表面时的速度大小为20m/s D．物体落到行星表面时的速度大小为25m/s
【答案】AC
【解析】由图可以看出，物体自由下落25m所用的时间为2.5 s，由h＝gt2得g＝＝m/s2＝8m/s2，A正确，B错误；由v＝gt得物体落到行星表面的速度v＝gt＝8×2.5m/s＝20m/s，C正确，D错误．
13.(多选)如图所示，汽车以10m/s的速度匀速驶向路口，当行驶至距路口停车线20m处时，绿灯还有3 s熄灭．而该汽车在绿灯熄灭时刚好停在停车线处，则汽车运动的v－t图像可能是( )
【答案】BC
【解析】v－t图线与时间坐标轴所围“面积”表示位移，A、D选项中v－t图像的“面积”不等于20m，A、D错误；B中v－t图像的“面积”可能等于20m，B正确；C中v－t图像的“面积”正好等于20m，C正确．
14．(多选)一个质点正在做匀加速直线运动．用固定在地面上的照相机对该质点进行闪光照相，闪光时间间隔为1 s，分析照片所得的数据，发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了2m，在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了8m．由此可以求得( )
A．第1次闪光时质点的速度 B．质点运动的加速度
C．从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移 D．质点运动的初速度
【答案】ABC
【解析】解本题的关键是频闪照相机记录下的连续相等时间的位移关系，找到满足Δx＝aT2及v＝＝vt/2的条件．由于不能确定质点运动的初始位置，因而不能求质点运动的初速度．设质点的加速度为a，则s3－s1＝2aT2，代入数据解得a＝3m/s2，又s2－s1＝aT2，s2＝s1＋aT2＝2m＋3×12m＝5m．即从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移为5m，有v2＝＝m/s＝3.5m/s，又v2＝v1＋at，故v1＝v2－at＝3.5m/s－3×1m/s＝0.5m/s.选项A、B、C正确，D错误．
三、 非选择题
15．某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定出0、1、2、3、4、5、6共7个测量点．其相邻点间的距离如图所示，每两个相邻的测量点之间的时间间隔为0.10 s，试完成下面问题．
(1)根据纸带上各个测量点间的距离，某同学已将1、2、3、5点对应的时刻的瞬时速度进行计算并填入表中，请你将4点对应的时刻的瞬时速度填入表中．(结果保留三位有效数字)
瞬时速度
v1
v2
v3
v4
v5
数值/(m·s－1)
0.165
0.214
0.263
0.363
(2)在图中所示的直角坐标系中画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图象．
(3)由图象求出小车的加速度a＝________m/s2.
【答案】：(1)0.314 (2)见解析图 (3)0.440
【解析】：(1)4点对应的时刻的瞬时速度
v4＝ m/s≈0.314 m/s.
(2)描点作图，如图.
(3)根据图象得：a＝ m/s2＝0.440 m/s2.
16．如图所示的A、B两个物体，距地面高度为H＝45 m，A物体因在运动过程中阻力不计，其加速度为自由落体加速度g＝10 m/s2，B物体由于受到阻力作用，其加速度为aB＝9 m/s2，方向竖直向下，A、B两物体均可视为质点，求：
(1)若A、B两物体同时由静止释放，则当物体A落地时物体B离地距离；
(2)若要使两物体同时落地，在B物体由静止释放后，则需要经过多长时间将A物体由静止释放；
(3)若将B物体移到距地面高度h＝36 m的A的正下方C点，同时由静止释放A、B两物体，A物体能否在B落地前追上B，若能，计算其追上的位置距地面的距离；若不能，则在A释放时至少给A物体多大的竖直向下的初速度，才能追上B物体？
【答案】：(1)4.5 m (2)(－3) s (3)不能 m/s
【解析】：(1)由自由落体公式有H＝gt2
得A下落时间t＝＝3 s
则B物体下落高度hB＝aBt2＝40.5 m
物体B离地距离h′B＝H－hB＝4.5 m.
(2)物体B下落时间tB＝＝ s
则从物体B释放后到A释放间隔的时间
Δt＝tB－t＝(－3)s.
(3)因为从h＝36 m高度释放物体B，
下落时间t′＝＝2 s<3 s
故A物体不能追上B物体．
设给A物体v0的初速度，A刚好能追上B，则
由题意得，H＝v0t′＋gt′2
代入数据解得v0＝ m/s.
17．一辆长途客车正在以v0＝20m/s的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方34m处有一只狗，如图甲所示，司机立即采取制动措施．若从司机看见狗开始计时(t＝0)，长途客车的速度—时间图像如图乙所示．
(1)求长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
(2)求长途客车制动时的加速度；
(3)若狗正以v1＝4m/s的速度与长途客车同向奔跑，狗能否摆脱被撞的噩运？
【答案】(1)50m (2)－5m/s2 (3)不会被撞
【解析】(1)由题图乙可知，长途客车从司机发现狗至停止运动的这段时间内前进的距离等于速度—时间图像中图线与坐标轴围成的面积，即d＝50m
(2)由图像可知，长途客车制动时的加速度为
a＝＝m/s2＝－5m/s2
(3)当客车速度减为与狗的速度相同时，所需时间
t′＝＝ s＝3.2 s
司机从看到狗到速度减为与狗速度相同时，通过的位移
x＝v0t0＋
代入数据得x＝48.4m
狗通过的位移x′＝v1(t0＋t′)＝4×(0.5＋3.2)m＝14.8m
Δx＝x－x′＝33.6m<34m，故狗不会被撞．
18.(2019-2020学年·榆林高一期中)据报道，一儿童玩耍时不慎从45 m高的阳台上无初速度掉下，在他刚掉下时恰被楼下一社区管理人员发现，该人员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童．已知管理人员到儿童下落处的正下方楼底的距离为18 m，为确保能稳妥安全接住儿童，必须保证接住儿童时没有水平方向的冲击(也就是无水平速度)．不计空气阻力，将儿童和管理人员都看做质点，设管理人员奔跑过程中只做匀速或匀变速运动，g取10 m/s2.
(1)管理人员至少用多大的平均速度跑到楼底？
(2)若管理人员在奔跑过程中做匀加速或匀减速运动的加速度大小相等，且最大速度不超过9 m/s，求管理人员奔跑时加速度的大小需满足什么条件？
【答案】：(1)6 m/s (2)a≥9 m/s2
【解析】：(1)儿童下落过程，由运动学公式得：h＝gt ①
管理人员奔跑的时间为：t≤t0 ②
对管理人员奔跑过程，由运动学公式得：s＝t ③
由①②③式联立并代入数据得，≥6 m/s.
(2)假设管理人员先匀加速接着匀减速奔跑到楼底，奔跑过程中的最大速度为v0，由运动学公式得：
＝，
得：v0＝2＝12 m/s＞vmax＝9 m/s，所以先加速，再匀速，最后匀减速奔跑到楼底．
设匀加速、匀速、匀减速过程的时间分别为t1、t2、t3，位移分别为s1、s2、s3，
由运动学公式得，s1＝at ④
s3＝at ⑤
s2＝vmaxt2 ⑥
vmax＝at1＝at3 ⑦
t1＋t2＋t3≤t0 ⑧
s1＋s2＋s3＝s ⑨
由④～⑨式联立并代入数据得，a≥9 m/s2.
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