人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案及反思

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基础巩固
1.向量a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是( )

A.a∥bB.a⊥b
C.a∥(a-b)D.a⊥(a-b)
答案D
解析由a-b=(-2,-1),易得a·(a-b)=0,
故a⊥(a-b),选D.
2.a,b为平面向量,已知a=(1,2),b=(1,0),则a,b夹角的余弦值等于( )
A.55B.-55C.15D.-15
答案A
解析根据向量数量积的运算,设a,b向量的夹角为θ,则cs θ=a·b|a||b|=1×15=55.
3.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=( )
A.-3B.-2C.2D.3
答案C
解析由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0).所以AB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
4.在平行四边形ABCD中,AB=(1,0),AC=(2,2),则AD·BD等于( )
A.4B.-4C.2D.-2
答案A
解析如图,由向量的加减,可得AD=BC=AC-AB=(1,2),BD=AD-AB=AC-AB-AB=AC-2AB=(0,2).
故AD·BD=(1,2)·(0,2)=0+4=4.
5.在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则AE·AF的取值范围是( )
A.[2,14]B.[0,12]
C.[0,6]D.[2,8]
答案A
解析如图,A(0,0),E(23,1),
设F(x,2)(0≤x≤23),所以AE=(23,1),AF=(x,2),因此AE·AF=23x+2,
设f(x)=23x+2(0≤x≤23),f(x)为增函数,
则f(0)=2,f(23)=14,故2≤f(x)≤14,AE·AF的取值范围是[2,14].
6.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.5B.10C.25D.10
答案B
解析∵向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有|a+b|=32+(-1)2=10,故选B.
7.已知三点O(0,0),A(2,2),B(5,6),则|OB-OA|= .
答案5
解析由题意得OB-OA=AB=(3,4),
∴|OB-OA|=|AB|=9+16=5.
8.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|= .
答案5
解析因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=22+(-1)2=5.
9.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y= .
答案2
解析a·b=-1+3y,|a|=10,|b|=1+y2,
∵a与b的夹角为45°,
∴cs 45°=a·b|a||b|=-1+3y10×1+y2=22.
解得y=2或y=-12(舍去).
10.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a∥b,求|a-b|;
(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.
解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,
解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
所以a-b=(2,-4),则|a-b|=25.
综上,|a-b|=2或25.
(2)因为a与b的夹角为锐角,
所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).
11.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.
(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴AB=(1,1),AD=(-3,3).
又AB·AD=1×(-3)+1×3=0,
∴AB⊥AD,∴AB⊥AD.
(2)解∵AB⊥AD,四边形ABCD为矩形,
∴AB=DC.
设点C的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-4).
又AB=(1,1),∴x+1=1,y-4=1,解得x=0,y=5.
∴点C的坐标为(0,5).
∴AC=(-2,4),BD=(-4,2),
∴|AC|=25,|BD|=25,AC·BD=8+8=16.设AC与BD的夹角为θ,
则cs θ=AC·BD|AC||BD|=1625×25=45.故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.
能力提升
1.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足BA+BC=2BP,则PC·PD=( )
A.-2B.-1
C.-2D.-22
答案B
解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以BA=(0,2),BC=(2,0),因为BA+BC=2BP,所以2BP=(0,2)+(2,0)=(2,2),故BP=(1,1),故P(1,1),PD=(0,1),PC=(1,-1),
所以PC·PD=0×1+1×(-1)=-1.
2.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是( )
A.[0,1]B.[-1,1]
C.[-3,3]D.[0,3]
答案C
解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=3,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cs θ=3cs θ,∵cs θ∈[-1,1],
∴(a-b)·c的取值范围为[-3,3].
3.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b= .
答案12,32
解析设b=(x,y).
∵|b|=x2+y2=1,∴x2+y2=1.
∵a·b=3x+y=3,∴x2+[3(1-x)]2=1.
∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.
∴x1=1,x2=12,∴y1=0,y2=32.
∵(1,0)是与x轴平行的向量,舍去,
∴b=12,32.
4.如图,在△ABC中,AB·AC=0,|AB|=8,|AC|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.
(1)求AD·CB的值;
(2)判断AE·CB的值是否为一个常数,并说明理由.
解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系,由题意易知|BC|=10,
则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A75,245,
此时AD=-75,-245,CB=(-10,0),
所以AD·CB=-75×(-10)+-245×0=14.
(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时AE=-75,y-245,
所以AE·CB=-75×(-10)+y-245×0=14,为常数,故AE·CB的值是一个常数.
5.已知向量a=(1,2),b=(cs α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=π4,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为π4?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.
解(1)当α=π4时,b=22,22,a·b=322,
∴|m|=(a+tb)2=5+t2+2ta·b=t2+32t+5=t+3222+12,
∴当t=-322时,|m|取得最小值.
(2)假设存在满足条件的实数t.
由条件得csπ4=(a-b)·(a+tb)|a-b||a+tb|,
∵a⊥b,∴|a-b|=(a-b)2=6,
|a+tb|=(a+tb)2=5+t2,
(a-b)·(a+tb)=5-t,∴5-t6·5+t2=22.
∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=-5±352.
∴存在t=-5±352满足条件.