第2节　 抛体运动-2023年高考物理二轮复习对点讲解与练习（通用版）

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第四章 曲线运动　万有引力与航天
第2节　 抛体运动
考点一　平抛运动的规律及应用
【知识梳理】
1．定义(条件)：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
2．运动性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
4．基本规律(如图)

(1)位移关系

(2)速度关系

5．速度变化量：做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．

6．两个重要推论：
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示．

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α.

【诊断小练】
(1)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化．(　　)
(2)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动．(　　)
(3)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大．(　　)
(4)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大．(　　)
(5)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大．(　　)
(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．( )
(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的．( )
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ (6)√ (7)√　
【命题突破】
命题点1　平抛运动的规律及应用
1．关于平抛运动的叙述，下列说法不正确的是(　　)
A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变
C．平抛运动的速度大小是时刻变化的
D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
【解析】选B　做平抛运动的物体只受重力作用，故平抛运动是匀变速曲线运动，A说法正确；平抛运动是曲线运动，速度的方向时刻变化，即与恒力方向的夹角时刻改变，B说法错误；平抛运动是匀变速运动，速度大小时刻变化，C说法正确；设水平初速度为v0，速度方向与加速度方向(竖直方向)的夹角为θ，有tan θ＝，可知随着时间增加，夹角θ变小，D说法正确。本题选择说法不正确的，故B符合题意。
【解析】 B
2．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是(　　)
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
【解析】　在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝ gt2知，选项A、D错误．
由v2＝2gh知，选项B错误．
在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确．
【答案】　C
3.如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力．求：
(1)抛出后经多长时间物体与斜面间距离最大？
(2)A、B间的距离为多少？
【解析】　
解法一：以抛出点为坐标原点沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，(如图所示)
vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcos θ.
物体沿斜面方向做初速度为vx，加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy，加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
(1)令vy′＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝，
(2)当t＝时，离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝，
AB间距离x＝s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
解法二：(1)如图所示当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为横坐标的中点P，则tan θ＝＝，t＝.
(2)＝y＝gt2＝，
而∶＝1∶3，
所以＝Y＝4y＝，
AB间距离s＝＝.
解法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为t，将v分解成vx和vy，如图甲所示，则由tan θ＝＝，得t＝.

(2)设由A到B所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图乙所示，
由图可得tan θ＝，y＝xtan θ①
y＝gt′2②
x＝v0t′③
由①②③得：t′＝
而x＝v0t′＝，
因此A、B间的距离s＝＝.
【答案】　(1)　(2)
命题点2　类平抛运动
4．(多选)一位同学玩投掷飞镖游戏时，将飞镖水平抛出后击中目标。当飞镖在飞行过程中速度的方向平行于抛出点与目标间的连线时，其大小为v。不考虑空气阻力，已知连线与水平面间的夹角为θ，则飞镖(　　)
A．初速度v0＝vcos θ
B．飞行时间t＝
C．飞行的水平距离x＝
D．飞行的竖直距离y＝
【解析】选AC　根据运动的合成与分解知飞镖的初速度v0＝vcos θ，选项A正确；根据平抛运动的规律有x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，解得t＝，x＝，y＝，选项C正确，B、D错误。
【答案】　AC
5．如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端，两斜面间距大于小球直径．若同时释放，a、b、c小球到达水平面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′.下列关于时间的关系正确的是(　　)

A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′＞t3′＞t2′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
【解析】　由静止释放三小球时，
对a：＝gsin 30°·t，则t＝.
对b：h＝gt，则t＝.
对c：＝gsin 45°·t，则t＝.
所以t1＞t3＞t2.
当平抛三小球时：小球b做平抛运动，竖直方向运动情况同第一次情况，小球a、c在斜面内做类平抛运动，沿斜面向下方向的运动同第一次情况，所以t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′.故选A、B、C.
【答案】　ABC
【归纳总结】
分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度．
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量．
考点二　多体平抛运动问题分析
【知识梳理】
1．多体平抛运动问题是指多个物体在　同一竖直平面内　平抛时所涉及的问题．
2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在　同一　高度，二者间距只取决于两物体的　水平　分运动．
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差　相同　，二者间距由两物体的　水平分运动　和　竖直高度差　决定．
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间　均匀增大　，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
3. 对多体平抛问题的四点提醒
(1)两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。即轨迹相交是物体相遇的必要条件。
(2)若两物体同时从同一高度抛出，则两物体始终处在同一高度。
(3)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同。
(4)若两物体从同一高度先后抛出，则两物体高度差随时间均匀增大。

【命题突破】
命题点1　从同一竖直线(同一点)抛出多个物体问题
1．如图所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向上．图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．小球a从(0,2L)抛出，落在(2L,0)处；小球b、c从(0，L)抛出，分别落在(2L,0)和(L,0)处．不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．a和b初速度相同
B．b和c运动时间相同
C．b的初速度是c的两倍
D．a运动时间是b的两倍
【解析】　b、c的高度相同，小于a的高度，根据h＝gt2，得t＝，知b、c的运动时间相同，a的运动时间是b的运动时间的倍．故B正确，D错误；因为a的运动时间长，但是水平位移相同，根据x＝v0t知，a的水平速度小于b的水平速度．故A错误；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的初速度的两倍．故C正确．故选B、C.
【答案】　BC
命题点2　从不同竖直线上抛出多个物体问题
2.如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)
A．t　　　　　　　　　 B.t
C. D.
【解析】选C　设两球间的水平距离为L，第一次抛出的速度分别为v1、v2，由于小球抛出后在水平方向上做匀速直线运动，则从抛出到相遇经过的时间t＝，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，C项正确。
【答案】　C
【归纳总结】
(1)物体做平抛运动的时间由物体被抛出点的高度决定，而物体的水平位移由物体被抛出点的高度和物体的初速度共同决定．
(2)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处.
考点三　落点有约束条件的平抛运动
考法(一)　落点在斜面上的平抛运动
1．(多选)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan θ＝2tan φ
B．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝2tan θ
C．小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ∶1
D．小球A、B在空中运动的时间之比为tan2θ∶1
【解析】　由题图可知，斜面的倾角θ等于小球A落在斜面上时的位移与水平方向的夹角，由平抛运动的推论可知，tan φ＝2tan θ，选项B正确，A错误；设小球A在空中运动的时间为t1，小球B在空中运动的时间为t2，则由平抛运动的规律可得tan θ＝，tan θ＝，故＝2tan2θ，选项C正确，D错误。
【答案】　BC
【题型技法】
图示
方法
基本规律
运动时间


分解速度，构建速度的矢量三角形
水平vx＝v0
竖直vy＝gt
合速度v＝

由tan θ＝＝得t＝

分解位移，构建位移的矢量三角形
水平x＝v0t
竖直y＝gt2
合位移x合＝
由tan θ＝＝
得t＝


在运动起点同时分解v0、g
由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得t＝，d＝
分解平行于斜面的速度v
由vy＝gt得t＝

考法(二)　落点在竖直面上的平抛运动
2．(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示。已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　)
A．初速度之比是∶∶
B．初速度之比是1∶∶
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
【解析】　水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动。又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误。
【答案】　AC
考法(三)　落点在圆弧面上的平抛运动
3．如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径。一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面距离分别为圆半径的0.6倍和1倍。则v1∶v2的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】　设圆弧的半径为R，依平抛运动规律得x1＝v1t1，x2＝v2t2，
联立得＝＝＝。
时间由竖直方向做自由落体运动来比较，y1＝gt12，y2＝gt22，
由两式相比得＝，其中y1＝R，y2＝R，
则有＝ ，代入速度公式得＝，C项正确。
【答案】　C
【题型技法】
落点在圆弧面上的三种常见情景
(1)如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
(2)如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。
(3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。



考法(四)　落点在水平台阶上的平抛运动
4．一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m。一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，欲打在第四级台阶上，则v的取值范围是(　　)
A. m/s