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第3节 机械能守恒定律-2023年高考物理二轮复习对点讲解与练习（通用版）
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第五章 机械能
第3节 机械能守恒定律
考点一 机械能守恒的判断
【知识梳理】
1.
2.
3.
4．对守恒条件的理解：只有重力或系统内的弹力做功．
5．机械能守恒的判断方法
利用机械能的定义判断
(直接判断)
若物体动能、势能均不变，机械能不变．若一个物体动能不变，重力势能变化，或重力势能不变，动能变化或动能和重力势能同时增加(减小)，其机械能一定变化．
用做功判断
若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒
用能量转化来判断
若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒
【诊断小练】
(1)克服重力做功，物体的重力势能一定增加．( )
(2)发生弹性形变的物体都具有弹性势能．( )
(3)物体速度增大时，其机械能可能在减小．( )
(4)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．( )
(5)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．( )
(6)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．( )
(7)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。( )
(8)被举到高处的物体重力势能一定不为零。( )
(9)弹力做正功弹性势能一定增加。( )
(10)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√ (7)√ (8)× (9)× (10)×
【命题突破】
命题点1 对守恒条件的理解
1．关于机械能是否守恒，下列说法正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒
C．做变速运动的物体机械能可能守恒
D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒
【解析】选C 做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则机械能不守恒，A、B错误；做变速运动的物体机械能可能守恒，如平面内的匀速圆周运动，故C正确；合外力做功不为零，机械能可能守恒，D错误。
2．在如图所示的物理过程示意图中，甲图中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动：丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A的机械能守恒
C．丙图中两车组成的系统机械能守恒
D．丁图中小球的机械能守恒
【解析】 甲图所示过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图所示过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时机械能守恒；丙图所示过程中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图所示过程中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，机械能才守恒．
【答案】 A
命题点2 对机械能守恒的判断
3．如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少，动能不变
B．斜面体的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒
【解析】选D 物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，A错误；物体在下滑过程中，斜面体做加速运动，其机械能增加，B错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面体向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误；对物体与斜面体组成的系统，只有物体的重力做功，机械能守恒，D正确。
4．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直时处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中( )
A．圆环机械能守恒
B．橡皮绳的弹性势能一直增大
C．橡皮绳的弹性势能增加了mgh
D．橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大
【解析】 圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和橡皮绳的拉力，所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和橡皮绳组成的系统作为研究对象，则系统的机械能守恒，故A错误；橡皮绳的弹性势能随橡皮绳的形变量的变化而变化，由图知橡皮绳先缩短松弛后再伸长，故橡皮绳的弹性势能先不变再增大，故B错误；根据系统的机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，那么圆环的机械能的减少量等于橡皮绳的弹性势能增大量，为mgh，故C正确；在圆环下滑过程中，橡皮绳再次达到原长时，该过程中动能一直增大，但不是最大，沿杆方向合力为零的时刻，圆环的动能最大，故D错误．
【答案】 C
【归纳总结】
机械能守恒条件的理解及判断
1．机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”．
2．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
3．对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
考点二 单体机械能守恒问题
【知识梳理】
1．三种守恒表达式的比较
守恒角度
转化角度
转移角度
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA增＝ΔEB减
物理意义
系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
注意事项
应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
2.应用机械能守恒的方法步骤
(1)选取研究对象
(2)根据受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件．
(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况．
(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解．
(5)对计算结果进行必要的讨论和说明．
【命题突破】
命题点1 处理平抛与圆周运动相结合的问题
1．如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )
A. B．
C. D．
【解析】 设小物块的质量为m，滑到轨道上端时的速度为v1.小物块上滑过程中，机械能守恒，
有mv2＝mv＋2mgR①
小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为x，下落时间为t，有2R＝gt2②
x＝v1t③
联立①②③式整理得x2＝2－2
可得x有最大值，对应的轨道半径R＝.故选B.
【答案】 B
2．如图，在竖直平面内由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球(可视为质点)在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．求：
(1)小球经B点前后瞬间对轨道的压力大小之比；
(2)小球离开C点后，再经多长时间落在AB弧上？
【解析】 (1)设小球经过B点时速度为vB，根据机械能守恒定律得
mg＝mv
小球经过B点前后，根据牛顿第二定律
FN1－mg＝m FN2－mg＝m
由牛顿第三定律知，小球经过B点前后对轨道的压力大小也分别与FN1、FN2相等
F′N＝FN
整理得＝.
(2)设小球经过C点时速度为vC，根据机械能守恒定律得
mg＝mv
设小球再次落到弧AB时，沿水平方向的距离为x，沿竖直方向下降的高度为h.根据平抛运动的规律可知
x＝vCt，h＝gt2
由几何关系知
x2＋h2＝R2
整理得t＝ .
【答案】 (1) (2)
命题点2 处理多过程问题
3．某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示。竖直平面内的光滑轨道由倾角为θ的斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，使质量m＝0.1 kg的小球从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D时对轨道的压力F。改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，取g＝10 m/s2。
(1)求圆轨道的半径R；
(2)若小球从D点水平飞出后又落到斜面上，其中最低点与圆心O等高，求θ的值。
【解析】(1)小球经过D点时，满足竖直方向的合力提供圆周运动的向心力，即：F＋mg＝m
从A到D的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律有：mg(H－2R)＝mv2
联立解得：F＝H－5mg
由题中给出的FH图像知斜率k＝ N/m＝10 N/m
即＝10 N/m所以可得R＝0.2 m。
(2)小球离开D点做平抛运动，根据几何关系知，小球落地点越低平抛的射程越小，即题设中小球落地点位置最低对应小球离开D点时的速度最小。
根据临界条件知，小球能通过D点时的最小速度为v＝
小球在斜面上的落点与圆心等高，故可知小球平抛时下落的距离为R
所以小球平抛的射程
s＝vt＝v ＝·＝R
由几何关系可知，角θ＝45°。
【答案】(1)0.2 m (2)45°
4．如图所示，竖直平面内的一半径R＝0.50 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.10 kg的小球从B点正上方H＝0.95 m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，DQ间的距离x＝2.4 m，球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h＝0.80 m，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)小球经过C点时轨道对它的支持力大小FN；
(2)小球经过最高点P的速度大小vP；
(3)D点与圆心O的高度差hOD.
【解析】 (1)设经过C点时速度为v1，由机械能守恒有mg(H＋R)＝mv
由牛顿第二定律有FN－mg＝
代入数据解得FN＝6.8 N.
(2)P到Q做平抛运动有h＝gt2，＝vPt
代入数据解得vP＝3.0 m/s.
(3)由机械能守恒定律，有mv＋mgh＝mg(H＋hOD)，代入数据，解得hOD＝0.30 m.
【答案】 (1)6.8 N (2)3.0 m/s (3)0.30 m
考点三 多体机械能守恒问题
【知识梳理】
1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
【命题突破】
命题点1 杆连接物体系统机械能守恒问题
1.如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【解析】 滑块b的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b先做正功，后做负功，选项A错误；以滑块a、b及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a刚落地时，b的速度为零，则mgh＝mv＋0，即va＝，选项B正确；a、b的先后受力分析如图所示．
由a的受力图可知，a下落过程中，其加速度大小先小于g后大于g，选项C错误；当a落地前b的加速度为零(即轻杆对b的作用力为零)时，b的机械能最大，a的机械能最小，这时b受重力、支持力，且FNb＝mg，由牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，选项D正确．
【答案】 BD
2. (多选)如图所示在一个固定的十字架上(横竖两杆连结点为O点)，小球A套在竖直杆上，小球B套在水平杆上，A、B两球通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接，并竖直静止。由于微小扰动，B球从O点开始由静止沿水平杆向右运动。A、B两球的质量均为m，不计一切摩擦，小球A、B视为质点。在A球下滑到O点的过程中，下列说法中正确的是( )
A．在A球下滑到O点之前轻杆对B球一直做正功
B．小球A的机械能先减小后增大
C．A球运动到O点时的速度为
D．B球的速度最大时，B球对水平杆的压力大小为2mg
【解析】 当A球到达O点时，B球的速度为零，故B球的速度先增大后减小，动能先增大后减小，由动能定理可知，轻杆对B球先做正功，后做负功，故选项A错误；A、B两球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，而B球的机械能先增大后减小，所以小球A的机械能先减小后增大，所以选项B正确；因A球到达O点时，B球的速度为零，由系统机械能守恒可得：mgL＝mvA2，计算得出vA＝，所以选项C正确；当A球的机械能最小时，B球的机械能最大，则B球的动能最大，速度最大，此时B球的加速度为零，轻杆对B球水平方向无作用力，故B球对水平杆的压力大小为mg，选项D错误。
【答案】 BC
命题点2 绳连接物体系统机械能守恒问题
3. 如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m。现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2。若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
【解析】 圆环下降3 m后的速度可以按如图所示分解，故可得vA＝vcos θ＝，A、B和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h＝3 m时，根据机械能守恒可得mgh＝MghA＋mv2＋MvA2，其中hA＝－l，联立可得＝，故A正确。
【答案】 A
4.如图所示，物块A与物块B通过一轻绳相连处在定滑轮两侧，物块A套在一光滑水平横杆上，用手按住A，此时轻绳与杆夹角为30°，物块B静止，现释放物块A，让其向右滑行，已知A、B质量均为m，定滑轮中心距横杆高度为h，忽略定滑轮大小，B始终未与横杆触碰，则下列说法中正确的为( )
A．B在下落过程中机械能守恒
B．A物块的最大速度为
C．物块向右滑行过程中，绳对A的拉力的功率一直增大
D．物块B的机械能最小时，物块A的动能最大
【解析】 B下落过程中，绳的拉力对B做负功，机械能不守恒，A错；当物体A到达滑轮正下方时，速度达到最大，此时vB＝0，vA最大且沿水平方向，C错；A、B组成的系统机械能守恒：mg(2h－h)＝mv，vA＝，此时B机械能最小，A动能最大，B、D对．
【答案】 BD
命题点3 含弹簧类机械能守恒问题
5.如图所示，半径R＝0.4 m的光滑圆弧轨道BC固定在竖直平面内，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角θ＝30°，下端点C为轨道的最低点且与粗糙水平面相切，一根轻质弹簧的右端固定在竖直挡板上．质量m＝0.1 kg的小物块(可视为质点)从空中A点以v0＝2 m/s的速度被水平抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，经过C点后沿水平面向右运动至D点时，弹簧被压缩至最短，C、D两点间的水平距离L＝1.2 m，
小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2.求：
(1)小物块经过圆弧轨道上B点时速度vB的大小；
(2)小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力大小；
(3)弹簧的弹性势能的最大值Epm.
【解析】 (1)小物块恰好从B点沿切线方向进入轨道，由几何关系有vB＝＝4 m/s.
(2)小物块由B点运动到C点，由机械能守恒定律有
mgR(1＋sin θ)＝mv－mv
在C点处，由牛顿第二定律有FN－mg＝m，解得FN＝8 N
根据牛顿第三定律，小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力FN′大小为8 N.
(3)小物块从B点运动到D点，由能量守恒定律有
Epm＝mv＋mgR(1＋sin θ)－μmgL＝0.8 J.
【答案】 (1)4 m/s (2)8 N (3)0.8 J
6. 如图所示，在倾角为θ＝30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端固定在挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg 的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住物体B使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放。取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度的大小。
【解析】 (1)弹簧恢复原长时，
对B：mg－T＝ma
对A：T－mgsin 30°＝ma
代入数据可求得：T＝30 N。
(2)初态弹簧压缩量x1＝＝10 cm
当A速度最大时有mg＝kx2＋mgsin 30°
弹簧伸长量x2＝＝10 cm
所以A沿斜面向上运动x1＋x2＝20 cm时获得最大速度。
(3)因x1＝x2，故弹簧弹性势能的改变量ΔEp＝0
由机械能守恒定律有
mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝×2mv2
解得v＝1 m/s。
【答案】 (1)30 N (2)20 cm (3)1 m/s
考点四 用机械能守恒定律解决非质点问题
【知识梳理】
在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理．
物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒．一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初末状态物体重力势能的变化列式求解．
【命题突破】
命题点1 匀质软绳类
1．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳的重力势能减少了mgl
C．物块重力势能的减少量等于软绳机械能的增加量
D．软绳重力势能减少量小于其动能的增加量
【解析】 细线对物块做负功，物块的机械能减少，细线对软绳做功，软绳的机械能增加，故软绳重力势能的减少量小于其动能增加量，A错误，D正确；物块重力势能的减少量一部分转化为软绳机械能，另一部分转化为物块的动能，故C错误；从开始运动到软绳刚好全部离开斜面，软绳的重心下移了，故其重力势能减少了mgl，B正确．
【答案】 BD
命题点2 匀质液体类
2.如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A. B．
C. D．
【解析】 当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有mg·h＝mv2，解得：v＝ .
【答案】 A
命题点3 匀质链条类
3.如图所示，一条长为L的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0，已知重力加速度为g，L
【解析】 链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以平台所在位置为零势能面，则
－x0g·x0sin α＝mv2－xg·xsin α
解得v＝
所以当斜面上链条长为x时，链条的速度为
【答案】
【考能提升·对点演练】
1．长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为( )
A. B．
C. D．
【解析】 链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功，整根链条总的机械能守恒，设整根链条质量为m，由机械能守恒定律得
mg·L＋mg·L＝mv2
解得v＝ ，故选C.
【答案】 C
2.如图所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)．初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态．剪断轻绳后，A自由下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块( )
A．速度的变化量大小相等
B．机械能的变化量不同
C．重力势能的变化量相同
D．重力做功的平均功率不同
【解析】 两物块着地时速度大小相等，方向不同，落地时间不同，故速度变化量大小相等，A对；机械能都守恒，变化量为零也相同，B错；mAg＝mBgsin θ，质量不同，重力势能变化量不同，C错；t＝ ，＝，＝也相同，D错．
【答案】 A
3.如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．下列说法正确的是( )
A．斜面倾角α＝60°
B．A获得最大速度为2g
C．C刚离开地面时， B的加速度最大
D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能一直守恒
【解析】 刚开始时，对于B球有：mg＝kx1，x1＝，当A达到最大速度时有：4mgsin α＝T，T＝2mg，所以α＝30°，A错；由于此时C恰好离开地面，所以对于C有：mg＝kx2，x2＝，x1＝x2，在此过程中，弹簧弹性势能不变，故A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒：4mg(x1＋x2)sin α－mg(x1＋x2)＝(4m＋m)v2，v＝2g，B对；刚开始时，B的加速度最大，C错；从释放A到C刚离开地面此过程中，弹簧对B做功，故A、B组成的系统机械能不守恒，D错．
【答案】 B
4．取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为( )
A. B．
C. D．
【解析】 建立平抛运动模型，设物体水平抛出的初速度为v0，抛出时的高度为h.根据题意，由mv＝mgh，有v0＝；由于竖直方向物体做自由落体运动，则落地的竖直速度vy＝，所以落地时速度方向与水平方向的夹角tan θ＝＝＝1，则θ＝，选项B正确．
【答案】 B
5．如图所示，一小球从光滑的水平面以速率v0进入固定在竖直面内的S形轨道，S形轨道由半径分别为r和R的两个光滑圆弧构成，圆弧交接处的距离略大于小球的直径，忽略空气阻力．如果小球能够到达S形轨道最高点，则 ( )
A．在最高点，小球处于失重状态
B．在最高点，小球处于超重状态
C．当v0≥时，小球才能到达最高点
D．当v0≥时，小球才能到达最高点
【解析】 小球在最高点时，mg＝m，向心力全部由重力提供，小球处于失重状态，A对，B错；小球以v0射入轨道恰好至最高点，此过程由机械能守恒得：mv＝mg(R＋r)＋mv2，而v＝，解得v0＝，故C错，D对．
【答案】 AD
6.如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O与质量为mB的小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上质量为mA的小物块A连接，杆两端固定且足够长，物块A由静止从图示位置释放后，先沿杆向上运动．设某时刻物块A运动的速度大小为vA，加速度大小为aA，小球B运动的速度大小为vB，轻绳与杆的夹角为θ.则( )
A．vB＝vAcos θ
B．aA＝－g
C．小球B减小的重力势能等于物块A增加的动能
D．当物块A上升到与滑轮等高时，它的机械能最大
【解析】 将vA分解为沿绳方向的速度大小即为vB、垂直于绳方向的速度，则vB＝vA·cos θ，
设绳中张力为T，则Tcos θ－mAg＝mAaA，
T－mBg＝mBaB，故A对，B错；小球B减小的重力势能等于A增加的重力势能与系统增加的动能之和，C错；A上升到与滑轮等高时，机械能最大，D对．
【答案】 AD
7.如图所示，长度为l的细线，一端固定于O点，另一端拴一小球，先将细线拉直呈水平状态，使小球位于P点，然后无初速度释放小球，当小球运动到最低点时，细线遇到在O点正下方水平固定着的钉子K，不计任何阻力，若要求小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，则K与O点的距离可能是( )
A.l B．l
C.l D．l
【解析】 设K与O点的距离为x，则根据机械能守恒有mgl＝mv，若恰能完成完整的圆周运动，则mv＝mg·2(l－x)＋mv2，且mg＝，整理得x＝l，因此K与O点的距离至少为l，因此A、B正确，C、D错误．
【答案】 AB
8．由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是( )
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移为 2
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移为 2
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H＞2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R
【解析】 设小球从A端水平抛出的速度为vA，由机械能守恒得mgH＝mg·2R＋mv，得vA＝，设空中运动时间为t，由2R＝gt2，得t＝2，水平位移s水＝vAt＝·2＝2，故B正确，A错误；小球能从细管A端水平抛出的条件是D点应比A点高，即H＞2R，C正确，D错误．
【答案】 BC
9．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
【解析】 圆环在下落过程中弹簧的弹性势能增加，由能量守恒定律可知圆环的机械能减少，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，故A、D错误；圆环下滑到最大距离时速度为零，但是加速度不为零，即合外力不为零，故C错误；圆环重力势能减少了mgL，由能量守恒定律知弹簧弹性势能增加了mgL，故B正确．
【答案】 B
10．如图所示，两块三角形的木板B、C竖直放在水平桌面上，它们的顶点连接在A处，底边向两边分开．一个锥体置于A处，放手之后，奇特的现象发生了，锥体自动地沿木板滚上了B、C板的高处，不计一切阻力．下列说法正确的是( )
A．锥体在滚动过程中重心逐渐升高
B．锥体在滚动过程中重心保持不变
C．锥体在滚动过程中机械能逐渐增大
D．锥体在滚动过程中机械能保持不变
【解析】 因为锥体在自动地沿木板滚上B、C板的高处的过程中，只有重力做功，锥体的重力势能转化为动能，但锥体的机械能守恒，随着锥体运动的速度增大，动能增大，重力势能减小，高度虽然逐渐上升，但重心逐渐降低，D正确．
【答案】 D
11.如图所示，B是质量为2m的物块，其内壁为半径为R的光滑半球形，B放在光滑的水平桌面上．A是质量为m的细长直杆，光滑套管D被固定在竖直方向，A可以自由上下运动，物块C的质量为m，紧靠B放置．初始时，A被握住，使其下端正好与B的半球面的上边缘接触．然后从静止开始释放A，A、B、C便开始运动．重力加速度大小为g.则( )
A．A的下端运动到B内壁的最低点时竖直方向的速度为零
B．A的下端运动到B内壁的最低点时，B、C水平方向的速度相等，均为
C．A的下端运动到B内壁的最低点时，B、C速度均为零
D．在B内壁左侧A的下端能上升到的最高点距离B内壁最低点的高度为
【解析】 A的下端运动到B内壁的最低点时，A在竖直方向的速度为0，B、C水平方向的速度相等，A正确；由机械能守恒定律得mgR＝×3mv2，所以vB＝vC＝，B正确，C错误；A的下端上升到所能达到的最高点时，A在竖直方向的速度为0，B的水平速度亦为零，由机械能守恒定律得×2mv＝mgh，解得h＝，D正确．
【答案】 ABD
12．2014年春晚中开心麻花团队打造的创意形体秀《魔幻三兄弟》给观众留下了很深的印象，该剧采用了“斜躺”的表演方式，三位演员躺在倾角为30°的斜面上完成一系列动作，摄像机垂直于斜面拍摄，让观众产生演员在竖直墙面前表演的错觉．如图所示，演员甲被演员乙和演员丙“竖直向上”抛出，到最高点后恰好悬停在“空中”，已知演员甲的质量m＝60 kg，该过程中观众看到演员甲上升的“高度”为0.8 m．设演员甲和斜面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力．则该过程中，下列说法不正确的是( )
A．演员甲被抛出的初速度为4 m/s
B．演员甲运动的时间为0.4 s
C．演员甲的重力势能增加了480 J
D．演员乙和演员丙对甲做的功为480 J
【解析】 因为演员甲到达最高点后，恰好悬停，则有mgsin 30°＝μmgcos 30°，向上滑动的过程中，加速度a＝－＝－2gsin 30°＝－10 m/s2.根据0－v＝2ax得，初速度v0＝＝4 m/s，故A的说法正确．演员甲的运动时间t＝＝0.4 s，故B的说法正确．演员甲的重力势能增加量ΔEp＝mgxsin 30° ＝240 J，故C的说法错误，演员乙和演员丙对甲做的功W＝mv＝480 J，故D的说法正确．
【答案】 C
13．如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L.B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长．现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°.A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此下降过程中( )
A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于mg
B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于mg
C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下
D．弹簧的弹性势能最大值为mgL
【解析】 A对：取A、B、C整体研究，三个小球皆静止时，地面对B、C球的弹力各为mg.当A球下降时，只要A球未达最大速度，有竖直向下的加速度，A球就处于失重状态，地面对B球的支持力小于mg.
B对：A球的动能最大时，aA＝0，系统在竖直方向上F合＝0，则地面对B球的弹力为mg.
C错：弹簧的弹性势能最大时，对应着弹簧伸长量最大，A球运动到最低点，此时vA＝0，但aA≠0，加速度方向竖直向上．
D错：两杆间夹角由60°变为120°，A球下落的距离h＝Lsin 60°－Lsin 30°＝L，A球重力势能的减少量为ΔEp＝mgL.由能量转化知，弹簧的弹性势能最大值为mgL.
【答案】 AB
14．如图所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)，a站于地面，b从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员b摆至最低点时，a刚好对地面无压力，则演员a质量与演员b质量之比为( )
A．1∶1
B．2∶1
C.3∶1
D．4∶1
【解析】 设b摆至最低点时的速度为v，由机械能守恒定律可得：mgl(1－cos 60°)＝mv2，解得v＝.设b摆至最低点时绳子的拉力为FT，由圆周运动知识得：FT－mbg＝mb，解得FT＝2mbg，对演员a有FT＝mag，所以，演员a质量与演员b质量之比为2∶1.
【答案】 B
15．如图所示，固定在地面上的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号如图．斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r.现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦．则在各小球运动过程中，下列说法正确的是( )
A．球1的机械能守恒
B．球6在OA段机械能增大
C．球6的水平射程最大
D．有三个球落点位置相同
【解析】 6个小球全在斜面上时，加速度相同，相互之间没有作用力，每个小球机械能守恒．球6加速距离最小，球6刚运动到OA段时，球5、4、3、2、1仍在斜面上加速，对球6有向左的作用力，对球6做正功，故球6机械能增加，B正确；而依次滑到OA段的小球对其右上侧的小球有沿斜面向上的作用力，并对其右上侧的小球做负功，只要有小球运动到OA段，球2与球1之间产生作用力，球2对球1做负功，故球1的机械能减少，A错误；当6、5、4三个小球在OA段的时候速度相等，球6离开OA后，球4继续对球5做正功，所以球5离开OA时速度大于球6的速度，同理，球4离开OA时的速度大于球5的速度，所以球6离开OA时的水平速度最小，水平射程最小，故C错误；3、2、1三个小球到OA时，斜面上已经没有小球，故这三个小球之间没有相互作用的弹力，离开OA的速度相等，水平射程相同，落地点相同，D正确．
【答案】 BD
16．如图所示，两个半径均为R的四分之一圆弧构成的光滑细圆管轨道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线O1O2水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为m的小球接触(不拴接，小球的直径略小于管的内径)，长为R的薄板DE置于水平面上，板的左端D到管道右端C的水平距离为R.开始时弹簧处于锁定状态，具有一定的弹性势能，重力加速度为g.解除弹簧锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从C点抛出．已知小球在C点时所受弹力大小为mg.
(1)求弹簧在锁定状态下的弹性势能Ep；
(2)若换用质量为m1的小球用锁定弹簧发射(弹簧的弹性势能不变)，小球质量m1满足什么条件时，从C点抛出的小球才能击中薄板DE?
【解析】 (1)从解除弹簧锁定到小球运动到C点的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能和重力势能，设小球到达C点的速度大小为v1，根据机械能守恒定律可得Ep＝2mgR＋mv
又小球经C点时所受的弹力的大小为mg，分析可知弹力方向只能向下，根据向心力公式得
mg＋mg＝m，联立解得Ep＝mgR.
(2)小球离开C点后做平抛运动，根据平抛运动规律有2R＝gt2，x＝v2t
若要小球击中薄板，应满足R≤x≤2R，弹簧的弹性势能Ep＝mgR＝2m1gR＋m1v
解得m≤m1≤m
故小球质量满足m≤m1≤m时，小球能击中薄板DE.
【答案】 (1)mgR (2)m≤m1≤m
17. 如图所示，竖直面内两段半径均为R的圆形轨道和一段直轨道相连在一起．其中ab部分为圆弧，bc部分为弧长为的一段圆弧，两段圆弧在b点的切线为同一条水平线；直线轨道cd的c点与圆弧相切，d点固定在水平地面上．一表面光滑质量为m的小圆环套在轨道上并从a点由静止释放后，圆环可沿轨道自由下滑．已知b点与地面相距R，重力加速度大小为g，求：
(1)圆环通过ab圆弧的最低点b时所受轨道的支持力大小；
(2)圆环在直轨道cd上运动的时间．
【解析】 (1)小圆环由a到b机械能守恒
则有：mgR＝mv
在最低端b点时由牛顿第二定律得：F－mg＝m
解得：F＝3mg.
(2)由题意知，设bc的弧长为S，θ＝＝
xcd＝＝R；
小圆环由a到c机械能守恒
mgR(2－cos θ)＝mv－0
又a→d机械能守恒mg·2R＝mv－0
小圆环由c到d的平均速度v＝
小圆环由c到d运动的时间
t＝＝(4－2) .
【答案】 (1)3mg (2)(4－2)
第五章 机械能
第3节 机械能守恒定律
考点一 机械能守恒的判断
【知识梳理】
1.
2.
3.
4．对守恒条件的理解：只有重力或系统内的弹力做功．
5．机械能守恒的判断方法
利用机械能的定义判断
(直接判断)
若物体动能、势能均不变，机械能不变．若一个物体动能不变，重力势能变化，或重力势能不变，动能变化或动能和重力势能同时增加(减小)，其机械能一定变化．
用做功判断
若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒
用能量转化来判断
若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒
【诊断小练】
(1)克服重力做功，物体的重力势能一定增加．( )
(2)发生弹性形变的物体都具有弹性势能．( )
(3)物体速度增大时，其机械能可能在减小．( )
(4)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．( )
(5)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．( )
(6)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．( )
(7)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。( )
(8)被举到高处的物体重力势能一定不为零。( )
(9)弹力做正功弹性势能一定增加。( )
(10)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√ (7)√ (8)× (9)× (10)×
【命题突破】
命题点1 对守恒条件的理解
1．关于机械能是否守恒，下列说法正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒
C．做变速运动的物体机械能可能守恒
D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒
【解析】选C 做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则机械能不守恒，A、B错误；做变速运动的物体机械能可能守恒，如平面内的匀速圆周运动，故C正确；合外力做功不为零，机械能可能守恒，D错误。
2．在如图所示的物理过程示意图中，甲图中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动：丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A的机械能守恒
C．丙图中两车组成的系统机械能守恒
D．丁图中小球的机械能守恒
【解析】 甲图所示过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图所示过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时机械能守恒；丙图所示过程中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图所示过程中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，机械能才守恒．
【答案】 A
命题点2 对机械能守恒的判断
3．如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少，动能不变
B．斜面体的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒
【解析】选D 物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，A错误；物体在下滑过程中，斜面体做加速运动，其机械能增加，B错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面体向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误；对物体与斜面体组成的系统，只有物体的重力做功，机械能守恒，D正确。
4．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直时处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中( )
A．圆环机械能守恒
B．橡皮绳的弹性势能一直增大
C．橡皮绳的弹性势能增加了mgh
D．橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大
【解析】 圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和橡皮绳的拉力，所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和橡皮绳组成的系统作为研究对象，则系统的机械能守恒，故A错误；橡皮绳的弹性势能随橡皮绳的形变量的变化而变化，由图知橡皮绳先缩短松弛后再伸长，故橡皮绳的弹性势能先不变再增大，故B错误；根据系统的机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，那么圆环的机械能的减少量等于橡皮绳的弹性势能增大量，为mgh，故C正确；在圆环下滑过程中，橡皮绳再次达到原长时，该过程中动能一直增大，但不是最大，沿杆方向合力为零的时刻，圆环的动能最大，故D错误．
【答案】 C
【归纳总结】
机械能守恒条件的理解及判断
1．机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”．
2．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
3．对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
考点二 单体机械能守恒问题
【知识梳理】
1．三种守恒表达式的比较
守恒角度
转化角度
转移角度
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA增＝ΔEB减
物理意义
系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
注意事项
应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
2.应用机械能守恒的方法步骤
(1)选取研究对象
(2)根据受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件．
(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况．
(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解．
(5)对计算结果进行必要的讨论和说明．
【命题突破】
命题点1 处理平抛与圆周运动相结合的问题
1．如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )
A. B．
C. D．
【解析】 设小物块的质量为m，滑到轨道上端时的速度为v1.小物块上滑过程中，机械能守恒，
有mv2＝mv＋2mgR①
小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为x，下落时间为t，有2R＝gt2②
x＝v1t③
联立①②③式整理得x2＝2－2
可得x有最大值，对应的轨道半径R＝.故选B.
【答案】 B
2．如图，在竖直平面内由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球(可视为质点)在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．求：
(1)小球经B点前后瞬间对轨道的压力大小之比；
(2)小球离开C点后，再经多长时间落在AB弧上？
【解析】 (1)设小球经过B点时速度为vB，根据机械能守恒定律得
mg＝mv
小球经过B点前后，根据牛顿第二定律
FN1－mg＝m FN2－mg＝m
由牛顿第三定律知，小球经过B点前后对轨道的压力大小也分别与FN1、FN2相等
F′N＝FN
整理得＝.
(2)设小球经过C点时速度为vC，根据机械能守恒定律得
mg＝mv
设小球再次落到弧AB时，沿水平方向的距离为x，沿竖直方向下降的高度为h.根据平抛运动的规律可知
x＝vCt，h＝gt2
由几何关系知
x2＋h2＝R2
整理得t＝ .
【答案】 (1) (2)
命题点2 处理多过程问题
3．某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示。竖直平面内的光滑轨道由倾角为θ的斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，使质量m＝0.1 kg的小球从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D时对轨道的压力F。改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，取g＝10 m/s2。
(1)求圆轨道的半径R；
(2)若小球从D点水平飞出后又落到斜面上，其中最低点与圆心O等高，求θ的值。
【解析】(1)小球经过D点时，满足竖直方向的合力提供圆周运动的向心力，即：F＋mg＝m
从A到D的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律有：mg(H－2R)＝mv2
联立解得：F＝H－5mg
由题中给出的FH图像知斜率k＝ N/m＝10 N/m
即＝10 N/m所以可得R＝0.2 m。
(2)小球离开D点做平抛运动，根据几何关系知，小球落地点越低平抛的射程越小，即题设中小球落地点位置最低对应小球离开D点时的速度最小。
根据临界条件知，小球能通过D点时的最小速度为v＝
小球在斜面上的落点与圆心等高，故可知小球平抛时下落的距离为R
所以小球平抛的射程
s＝vt＝v ＝·＝R
由几何关系可知，角θ＝45°。
【答案】(1)0.2 m (2)45°
4．如图所示，竖直平面内的一半径R＝0.50 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.10 kg的小球从B点正上方H＝0.95 m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，DQ间的距离x＝2.4 m，球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h＝0.80 m，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)小球经过C点时轨道对它的支持力大小FN；
(2)小球经过最高点P的速度大小vP；
(3)D点与圆心O的高度差hOD.
【解析】 (1)设经过C点时速度为v1，由机械能守恒有mg(H＋R)＝mv
由牛顿第二定律有FN－mg＝
代入数据解得FN＝6.8 N.
(2)P到Q做平抛运动有h＝gt2，＝vPt
代入数据解得vP＝3.0 m/s.
(3)由机械能守恒定律，有mv＋mgh＝mg(H＋hOD)，代入数据，解得hOD＝0.30 m.
【答案】 (1)6.8 N (2)3.0 m/s (3)0.30 m
考点三 多体机械能守恒问题
【知识梳理】
1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
【命题突破】
命题点1 杆连接物体系统机械能守恒问题
1.如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【解析】 滑块b的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b先做正功，后做负功，选项A错误；以滑块a、b及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a刚落地时，b的速度为零，则mgh＝mv＋0，即va＝，选项B正确；a、b的先后受力分析如图所示．
由a的受力图可知，a下落过程中，其加速度大小先小于g后大于g，选项C错误；当a落地前b的加速度为零(即轻杆对b的作用力为零)时，b的机械能最大，a的机械能最小，这时b受重力、支持力，且FNb＝mg，由牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，选项D正确．
【答案】 BD
2. (多选)如图所示在一个固定的十字架上(横竖两杆连结点为O点)，小球A套在竖直杆上，小球B套在水平杆上，A、B两球通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接，并竖直静止。由于微小扰动，B球从O点开始由静止沿水平杆向右运动。A、B两球的质量均为m，不计一切摩擦，小球A、B视为质点。在A球下滑到O点的过程中，下列说法中正确的是( )
A．在A球下滑到O点之前轻杆对B球一直做正功
B．小球A的机械能先减小后增大
C．A球运动到O点时的速度为
D．B球的速度最大时，B球对水平杆的压力大小为2mg
【解析】 当A球到达O点时，B球的速度为零，故B球的速度先增大后减小，动能先增大后减小，由动能定理可知，轻杆对B球先做正功，后做负功，故选项A错误；A、B两球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，而B球的机械能先增大后减小，所以小球A的机械能先减小后增大，所以选项B正确；因A球到达O点时，B球的速度为零，由系统机械能守恒可得：mgL＝mvA2，计算得出vA＝，所以选项C正确；当A球的机械能最小时，B球的机械能最大，则B球的动能最大，速度最大，此时B球的加速度为零，轻杆对B球水平方向无作用力，故B球对水平杆的压力大小为mg，选项D错误。
【答案】 BC
命题点2 绳连接物体系统机械能守恒问题
3. 如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m。现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2。若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
【解析】 圆环下降3 m后的速度可以按如图所示分解，故可得vA＝vcos θ＝，A、B和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h＝3 m时，根据机械能守恒可得mgh＝MghA＋mv2＋MvA2，其中hA＝－l，联立可得＝，故A正确。
【答案】 A
4.如图所示，物块A与物块B通过一轻绳相连处在定滑轮两侧，物块A套在一光滑水平横杆上，用手按住A，此时轻绳与杆夹角为30°，物块B静止，现释放物块A，让其向右滑行，已知A、B质量均为m，定滑轮中心距横杆高度为h，忽略定滑轮大小，B始终未与横杆触碰，则下列说法中正确的为( )
A．B在下落过程中机械能守恒
B．A物块的最大速度为
C．物块向右滑行过程中，绳对A的拉力的功率一直增大
D．物块B的机械能最小时，物块A的动能最大
【解析】 B下落过程中，绳的拉力对B做负功，机械能不守恒，A错；当物体A到达滑轮正下方时，速度达到最大，此时vB＝0，vA最大且沿水平方向，C错；A、B组成的系统机械能守恒：mg(2h－h)＝mv，vA＝，此时B机械能最小，A动能最大，B、D对．
【答案】 BD
命题点3 含弹簧类机械能守恒问题
5.如图所示，半径R＝0.4 m的光滑圆弧轨道BC固定在竖直平面内，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角θ＝30°，下端点C为轨道的最低点且与粗糙水平面相切，一根轻质弹簧的右端固定在竖直挡板上．质量m＝0.1 kg的小物块(可视为质点)从空中A点以v0＝2 m/s的速度被水平抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，经过C点后沿水平面向右运动至D点时，弹簧被压缩至最短，C、D两点间的水平距离L＝1.2 m，
小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2.求：
(1)小物块经过圆弧轨道上B点时速度vB的大小；
(2)小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力大小；
(3)弹簧的弹性势能的最大值Epm.
【解析】 (1)小物块恰好从B点沿切线方向进入轨道，由几何关系有vB＝＝4 m/s.
(2)小物块由B点运动到C点，由机械能守恒定律有
mgR(1＋sin θ)＝mv－mv
在C点处，由牛顿第二定律有FN－mg＝m，解得FN＝8 N
根据牛顿第三定律，小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力FN′大小为8 N.
(3)小物块从B点运动到D点，由能量守恒定律有
Epm＝mv＋mgR(1＋sin θ)－μmgL＝0.8 J.
【答案】 (1)4 m/s (2)8 N (3)0.8 J
6. 如图所示，在倾角为θ＝30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端固定在挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg 的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住物体B使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放。取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度的大小。
【解析】 (1)弹簧恢复原长时，
对B：mg－T＝ma
对A：T－mgsin 30°＝ma
代入数据可求得：T＝30 N。
(2)初态弹簧压缩量x1＝＝10 cm
当A速度最大时有mg＝kx2＋mgsin 30°
弹簧伸长量x2＝＝10 cm
所以A沿斜面向上运动x1＋x2＝20 cm时获得最大速度。
(3)因x1＝x2，故弹簧弹性势能的改变量ΔEp＝0
由机械能守恒定律有
mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝×2mv2
解得v＝1 m/s。
【答案】 (1)30 N (2)20 cm (3)1 m/s
考点四 用机械能守恒定律解决非质点问题
【知识梳理】
在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理．
物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒．一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初末状态物体重力势能的变化列式求解．
【命题突破】
命题点1 匀质软绳类
1．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳的重力势能减少了mgl
C．物块重力势能的减少量等于软绳机械能的增加量
D．软绳重力势能减少量小于其动能的增加量
【解析】 细线对物块做负功，物块的机械能减少，细线对软绳做功，软绳的机械能增加，故软绳重力势能的减少量小于其动能增加量，A错误，D正确；物块重力势能的减少量一部分转化为软绳机械能，另一部分转化为物块的动能，故C错误；从开始运动到软绳刚好全部离开斜面，软绳的重心下移了，故其重力势能减少了mgl，B正确．
【答案】 BD
命题点2 匀质液体类
2.如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A. B．
C. D．
【解析】 当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有mg·h＝mv2，解得：v＝ .
【答案】 A
命题点3 匀质链条类
3.如图所示，一条长为L的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0，已知重力加速度为g，L
【解析】 链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以平台所在位置为零势能面，则
－x0g·x0sin α＝mv2－xg·xsin α
解得v＝
所以当斜面上链条长为x时，链条的速度为
【答案】
【考能提升·对点演练】
1．长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为( )
A. B．
C. D．
【解析】 链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功，整根链条总的机械能守恒，设整根链条质量为m，由机械能守恒定律得
mg·L＋mg·L＝mv2
解得v＝ ，故选C.
【答案】 C
2.如图所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)．初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态．剪断轻绳后，A自由下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块( )
A．速度的变化量大小相等
B．机械能的变化量不同
C．重力势能的变化量相同
D．重力做功的平均功率不同
【解析】 两物块着地时速度大小相等，方向不同，落地时间不同，故速度变化量大小相等，A对；机械能都守恒，变化量为零也相同，B错；mAg＝mBgsin θ，质量不同，重力势能变化量不同，C错；t＝ ，＝，＝也相同，D错．
【答案】 A
3.如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．下列说法正确的是( )
A．斜面倾角α＝60°
B．A获得最大速度为2g
C．C刚离开地面时， B的加速度最大
D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能一直守恒
【解析】 刚开始时，对于B球有：mg＝kx1，x1＝，当A达到最大速度时有：4mgsin α＝T，T＝2mg，所以α＝30°，A错；由于此时C恰好离开地面，所以对于C有：mg＝kx2，x2＝，x1＝x2，在此过程中，弹簧弹性势能不变，故A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒：4mg(x1＋x2)sin α－mg(x1＋x2)＝(4m＋m)v2，v＝2g，B对；刚开始时，B的加速度最大，C错；从释放A到C刚离开地面此过程中，弹簧对B做功，故A、B组成的系统机械能不守恒，D错．
【答案】 B
4．取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为( )
A. B．
C. D．
【解析】 建立平抛运动模型，设物体水平抛出的初速度为v0，抛出时的高度为h.根据题意，由mv＝mgh，有v0＝；由于竖直方向物体做自由落体运动，则落地的竖直速度vy＝，所以落地时速度方向与水平方向的夹角tan θ＝＝＝1，则θ＝，选项B正确．
【答案】 B
5．如图所示，一小球从光滑的水平面以速率v0进入固定在竖直面内的S形轨道，S形轨道由半径分别为r和R的两个光滑圆弧构成，圆弧交接处的距离略大于小球的直径，忽略空气阻力．如果小球能够到达S形轨道最高点，则 ( )
A．在最高点，小球处于失重状态
B．在最高点，小球处于超重状态
C．当v0≥时，小球才能到达最高点
D．当v0≥时，小球才能到达最高点
【解析】 小球在最高点时，mg＝m，向心力全部由重力提供，小球处于失重状态，A对，B错；小球以v0射入轨道恰好至最高点，此过程由机械能守恒得：mv＝mg(R＋r)＋mv2，而v＝，解得v0＝，故C错，D对．
【答案】 AD
6.如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O与质量为mB的小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上质量为mA的小物块A连接，杆两端固定且足够长，物块A由静止从图示位置释放后，先沿杆向上运动．设某时刻物块A运动的速度大小为vA，加速度大小为aA，小球B运动的速度大小为vB，轻绳与杆的夹角为θ.则( )
A．vB＝vAcos θ
B．aA＝－g
C．小球B减小的重力势能等于物块A增加的动能
D．当物块A上升到与滑轮等高时，它的机械能最大
【解析】 将vA分解为沿绳方向的速度大小即为vB、垂直于绳方向的速度，则vB＝vA·cos θ，
设绳中张力为T，则Tcos θ－mAg＝mAaA，
T－mBg＝mBaB，故A对，B错；小球B减小的重力势能等于A增加的重力势能与系统增加的动能之和，C错；A上升到与滑轮等高时，机械能最大，D对．
【答案】 AD
7.如图所示，长度为l的细线，一端固定于O点，另一端拴一小球，先将细线拉直呈水平状态，使小球位于P点，然后无初速度释放小球，当小球运动到最低点时，细线遇到在O点正下方水平固定着的钉子K，不计任何阻力，若要求小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，则K与O点的距离可能是( )
A.l B．l
C.l D．l
【解析】 设K与O点的距离为x，则根据机械能守恒有mgl＝mv，若恰能完成完整的圆周运动，则mv＝mg·2(l－x)＋mv2，且mg＝，整理得x＝l，因此K与O点的距离至少为l，因此A、B正确，C、D错误．
【答案】 AB
8．由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是( )
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移为 2
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移为 2
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H＞2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R
【解析】 设小球从A端水平抛出的速度为vA，由机械能守恒得mgH＝mg·2R＋mv，得vA＝，设空中运动时间为t，由2R＝gt2，得t＝2，水平位移s水＝vAt＝·2＝2，故B正确，A错误；小球能从细管A端水平抛出的条件是D点应比A点高，即H＞2R，C正确，D错误．
【答案】 BC
9．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
【解析】 圆环在下落过程中弹簧的弹性势能增加，由能量守恒定律可知圆环的机械能减少，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，故A、D错误；圆环下滑到最大距离时速度为零，但是加速度不为零，即合外力不为零，故C错误；圆环重力势能减少了mgL，由能量守恒定律知弹簧弹性势能增加了mgL，故B正确．
【答案】 B
10．如图所示，两块三角形的木板B、C竖直放在水平桌面上，它们的顶点连接在A处，底边向两边分开．一个锥体置于A处，放手之后，奇特的现象发生了，锥体自动地沿木板滚上了B、C板的高处，不计一切阻力．下列说法正确的是( )
A．锥体在滚动过程中重心逐渐升高
B．锥体在滚动过程中重心保持不变
C．锥体在滚动过程中机械能逐渐增大
D．锥体在滚动过程中机械能保持不变
【解析】 因为锥体在自动地沿木板滚上B、C板的高处的过程中，只有重力做功，锥体的重力势能转化为动能，但锥体的机械能守恒，随着锥体运动的速度增大，动能增大，重力势能减小，高度虽然逐渐上升，但重心逐渐降低，D正确．
【答案】 D
11.如图所示，B是质量为2m的物块，其内壁为半径为R的光滑半球形，B放在光滑的水平桌面上．A是质量为m的细长直杆，光滑套管D被固定在竖直方向，A可以自由上下运动，物块C的质量为m，紧靠B放置．初始时，A被握住，使其下端正好与B的半球面的上边缘接触．然后从静止开始释放A，A、B、C便开始运动．重力加速度大小为g.则( )
A．A的下端运动到B内壁的最低点时竖直方向的速度为零
B．A的下端运动到B内壁的最低点时，B、C水平方向的速度相等，均为
C．A的下端运动到B内壁的最低点时，B、C速度均为零
D．在B内壁左侧A的下端能上升到的最高点距离B内壁最低点的高度为
【解析】 A的下端运动到B内壁的最低点时，A在竖直方向的速度为0，B、C水平方向的速度相等，A正确；由机械能守恒定律得mgR＝×3mv2，所以vB＝vC＝，B正确，C错误；A的下端上升到所能达到的最高点时，A在竖直方向的速度为0，B的水平速度亦为零，由机械能守恒定律得×2mv＝mgh，解得h＝，D正确．
【答案】 ABD
12．2014年春晚中开心麻花团队打造的创意形体秀《魔幻三兄弟》给观众留下了很深的印象，该剧采用了“斜躺”的表演方式，三位演员躺在倾角为30°的斜面上完成一系列动作，摄像机垂直于斜面拍摄，让观众产生演员在竖直墙面前表演的错觉．如图所示，演员甲被演员乙和演员丙“竖直向上”抛出，到最高点后恰好悬停在“空中”，已知演员甲的质量m＝60 kg，该过程中观众看到演员甲上升的“高度”为0.8 m．设演员甲和斜面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力．则该过程中，下列说法不正确的是( )
A．演员甲被抛出的初速度为4 m/s
B．演员甲运动的时间为0.4 s
C．演员甲的重力势能增加了480 J
D．演员乙和演员丙对甲做的功为480 J
【解析】 因为演员甲到达最高点后，恰好悬停，则有mgsin 30°＝μmgcos 30°，向上滑动的过程中，加速度a＝－＝－2gsin 30°＝－10 m/s2.根据0－v＝2ax得，初速度v0＝＝4 m/s，故A的说法正确．演员甲的运动时间t＝＝0.4 s，故B的说法正确．演员甲的重力势能增加量ΔEp＝mgxsin 30° ＝240 J，故C的说法错误，演员乙和演员丙对甲做的功W＝mv＝480 J，故D的说法正确．
【答案】 C
13．如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L.B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长．现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°.A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此下降过程中( )
A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于mg
B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于mg
C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下
D．弹簧的弹性势能最大值为mgL
【解析】 A对：取A、B、C整体研究，三个小球皆静止时，地面对B、C球的弹力各为mg.当A球下降时，只要A球未达最大速度，有竖直向下的加速度，A球就处于失重状态，地面对B球的支持力小于mg.
B对：A球的动能最大时，aA＝0，系统在竖直方向上F合＝0，则地面对B球的弹力为mg.
C错：弹簧的弹性势能最大时，对应着弹簧伸长量最大，A球运动到最低点，此时vA＝0，但aA≠0，加速度方向竖直向上．
D错：两杆间夹角由60°变为120°，A球下落的距离h＝Lsin 60°－Lsin 30°＝L，A球重力势能的减少量为ΔEp＝mgL.由能量转化知，弹簧的弹性势能最大值为mgL.
【答案】 AB
14．如图所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)，a站于地面，b从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员b摆至最低点时，a刚好对地面无压力，则演员a质量与演员b质量之比为( )
A．1∶1
B．2∶1
C.3∶1
D．4∶1
【解析】 设b摆至最低点时的速度为v，由机械能守恒定律可得：mgl(1－cos 60°)＝mv2，解得v＝.设b摆至最低点时绳子的拉力为FT，由圆周运动知识得：FT－mbg＝mb，解得FT＝2mbg，对演员a有FT＝mag，所以，演员a质量与演员b质量之比为2∶1.
【答案】 B
15．如图所示，固定在地面上的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号如图．斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r.现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦．则在各小球运动过程中，下列说法正确的是( )
A．球1的机械能守恒
B．球6在OA段机械能增大
C．球6的水平射程最大
D．有三个球落点位置相同
【解析】 6个小球全在斜面上时，加速度相同，相互之间没有作用力，每个小球机械能守恒．球6加速距离最小，球6刚运动到OA段时，球5、4、3、2、1仍在斜面上加速，对球6有向左的作用力，对球6做正功，故球6机械能增加，B正确；而依次滑到OA段的小球对其右上侧的小球有沿斜面向上的作用力，并对其右上侧的小球做负功，只要有小球运动到OA段，球2与球1之间产生作用力，球2对球1做负功，故球1的机械能减少，A错误；当6、5、4三个小球在OA段的时候速度相等，球6离开OA后，球4继续对球5做正功，所以球5离开OA时速度大于球6的速度，同理，球4离开OA时的速度大于球5的速度，所以球6离开OA时的水平速度最小，水平射程最小，故C错误；3、2、1三个小球到OA时，斜面上已经没有小球，故这三个小球之间没有相互作用的弹力，离开OA的速度相等，水平射程相同，落地点相同，D正确．
【答案】 BD
16．如图所示，两个半径均为R的四分之一圆弧构成的光滑细圆管轨道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线O1O2水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为m的小球接触(不拴接，小球的直径略小于管的内径)，长为R的薄板DE置于水平面上，板的左端D到管道右端C的水平距离为R.开始时弹簧处于锁定状态，具有一定的弹性势能，重力加速度为g.解除弹簧锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从C点抛出．已知小球在C点时所受弹力大小为mg.
(1)求弹簧在锁定状态下的弹性势能Ep；
(2)若换用质量为m1的小球用锁定弹簧发射(弹簧的弹性势能不变)，小球质量m1满足什么条件时，从C点抛出的小球才能击中薄板DE?
【解析】 (1)从解除弹簧锁定到小球运动到C点的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能和重力势能，设小球到达C点的速度大小为v1，根据机械能守恒定律可得Ep＝2mgR＋mv
又小球经C点时所受的弹力的大小为mg，分析可知弹力方向只能向下，根据向心力公式得
mg＋mg＝m，联立解得Ep＝mgR.
(2)小球离开C点后做平抛运动，根据平抛运动规律有2R＝gt2，x＝v2t
若要小球击中薄板，应满足R≤x≤2R，弹簧的弹性势能Ep＝mgR＝2m1gR＋m1v
解得m≤m1≤m
故小球质量满足m≤m1≤m时，小球能击中薄板DE.
【答案】 (1)mgR (2)m≤m1≤m
17. 如图所示，竖直面内两段半径均为R的圆形轨道和一段直轨道相连在一起．其中ab部分为圆弧，bc部分为弧长为的一段圆弧，两段圆弧在b点的切线为同一条水平线；直线轨道cd的c点与圆弧相切，d点固定在水平地面上．一表面光滑质量为m的小圆环套在轨道上并从a点由静止释放后，圆环可沿轨道自由下滑．已知b点与地面相距R，重力加速度大小为g，求：
(1)圆环通过ab圆弧的最低点b时所受轨道的支持力大小；
(2)圆环在直轨道cd上运动的时间．
【解析】 (1)小圆环由a到b机械能守恒
则有：mgR＝mv
在最低端b点时由牛顿第二定律得：F－mg＝m
解得：F＝3mg.
(2)由题意知，设bc的弧长为S，θ＝＝
xcd＝＝R；
小圆环由a到c机械能守恒
mgR(2－cos θ)＝mv－0
又a→d机械能守恒mg·2R＝mv－0
小圆环由c到d的平均速度v＝
小圆环由c到d运动的时间
t＝＝(4－2) .
【答案】 (1)3mg (2)(4－2)
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