苏教版 (2019)选择性必修第一册2.2 直线与圆的位置关系巩固练习
展开2.2直线与圆的位置关系 苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第一册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 动直线：与圆：交于点，，则弦最短为( )
A. B. C. D.
- 曲线：与直线：有两个交点，则实数的取值范围．( )
A. B.
C. D.
- 已知为直线上的点，过点作圆：的切线，切点为，，若，则这样的点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
- 已知圆，直线，设圆上到直线的距离为的点的个数为，当时，则的可能取值共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
- 已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则为( )
A. B. C. D.
- 过点且与平行的直线与圆：交于，两点，则的长为( )
A. B. C. D.
- 若直线与圆：相交于、两点，且，则实数取值的集合为( )
A. B.
C. D.
- 关于的方程有解，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 已知圆方程为：与直线，下列选项正确的是( )
A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切
- 关于曲线，下列说法正确的是( )
A. 若曲线表示圆，则
B. 若，曲线表示两条直线
C. 若，过点与曲线相切的直线有两条
D. 若，则直线被曲线截得弦长等于
- 已知实数满足方程，则下列说法错误的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
- 已知点在圆上运动，则下列选项正确的是( )
A. 的最大值为，最小值为
B. 的最大值为，最小值为
C. 的最大值为，最小值为
D. 的最大值为，最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，，切点分别为，，若为锐角，则的取值范围为 ．
- 如图，正方形的边长为米，圆的半径为米，圆心是正方形的中心，点、分别在线段、上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以米秒的速度从出发向移动，同时，点以米秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长为__________秒．
- 过圆外一点，引圆的两条切线，切点为，，则直线的方程为 ．
- 已知点，，，点为圆上的动点，则的取值范围 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
已知：，，点在轴上方，且，的外接圆的圆心为设为圆上的动点，且点在第一象限，圆在点处的切线交圆于两点．
求的外接圆的方程；
求的长度的取值范围；
求的最小值．
- 本小题分
已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点，
求圆的方程；
若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
设直线与圆交于，两点，过点的直线垂直平分弦，这样的实数是否存在，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
- 本小题分
已知圆：及直线：．
证明：不论取什么实数，直线与圆总相交；
求直线被圆截得的弦长的最小值及此时的直线方程．
- 本小题分
如图，某海面上有、、三个小岛面积大小忽略不计，岛在岛的北偏东方向且距岛千米处，岛在岛的正东方向且距岛千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系圆经过、、三点．
求圆的方程
若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向且距岛千米的处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险请说明理由．
- 本小题分
滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为千米一“直角型” 公路即关于对称且与滴水湖圆相切，如图建立平面直角坐标系．
求直线的方程；
现欲在湖边和“直角型”公路围成的封闭区域内修建圆形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心面积最大？求出此时圆心到湖中心的距离．
- 本小题分
已知两点，，圆以线段为直径．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ已知直线：，
若直线与圆相切，求直线的方程；
若直线与圆相交于，不同的两点，是否存在横坐标为的点，使点恰好为线段的中点，若不存在说明理由，若存在求出值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线过定点及与圆的弦有关的问题，属于基础题目．
由已知可得直线过定点，则当圆心与的连线与垂直时，最小，由勾股定理和两点间距离公式求解即可．
【解答】
解： 因为的方程可以写成，
所以由，得直线过定点，
又圆：的标准方程为，
所以圆心， 半径，
当与垂直时，最小，
所以．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
分直线与半圆相切和直线与半圆相交且只有一个交点两种情况，利用数形结合进行求解即可．
【解答】
解：由曲线：可知，得，即，则，作出曲线的图象如图：
当直线经过点时，直线直线和曲线有两个交点，此时，交点，
当直线与曲线相切时，圆心到直线的距离，即，解得，舍去或，此时直线和曲线只有一个交点，
所以满足条件的的取值范围为，
故满足条件的的取值范围为，
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
求出圆的圆心到直线的距离，然后判断选项即可．
【解答】
解：圆：圆的半径为，圆的圆心到直线的距离为：，
当直线上的点到圆心距离最小时，切线夹角最大，最大为
故若要满足为直线上的点，过点作圆：的切线，切点为，，，
则只有一个．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
由圆上到直线的距离为，分情况讨论当时，当时，当时，圆上到直线的距离为的点的个数情况．
解：因为圆上到直线的距离为，
所以当时，圆上到直线的距离为的点的个数为
当时，圆上到直线的距离为的点的个数为
当时，圆上到直线的距离为的点的个数为
则的可能取值共有种．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于中档题．
求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线：经过圆的圆心，求得的值，可得点的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得的值．
【解答】
解：圆：，
即，
表示以为圆心、半径等于的圆．
由题意可得，直线：经过圆的圆心，
故有，
，点．
，，
切线的长．
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线距离的综合运算，属于中档题．
根据题干先求出直线方程，再求弦心距，再求弦长．
【解答】
解：设直线，
过点，
，
则直线，
即圆的标准方程为，
圆心为，半径，
圆心到直线距离，
即，
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．
根据面积求出或，分别求出对应的．
【解答】
解：因为圆：的圆心为，半径为，
又因为，
所以，
所以或，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以实数取值的集合为
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程与直线方程的综合应用，属于中档题；
根据直线与圆的位置关系解题，首先先根据方程解的问题转化直线与半圆有交点问题，
作出直线，与半圆的图像，即可求出结果；
【解答】
解：关于的方程有解，即直线与半圆有交点，
另，为半径为，原点为圆心的半圆，
另，直线恒过，，当斜率不存在时，，有一个交点，满足条件；
当斜率存在，如图：
，
若直线与半圆有交点，
则的范围为，
故选A
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的综合问题，属中档题．
依题意，直线过定点，而在圆内，进而可判断各个选项．
【解答】
解：直线过定点，
又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，
所以A正确，，D错误，
因为圆心与点间的距离为，圆半径为．
所以最短弦长为 ，
故C正确，
故选AC．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查曲线与方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．
根据圆的标准方程，直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式逐项判断即可．
【解答】
解：，
，
若曲线表示圆，则，A正确；
若，曲线，不是两条直线，B错误；
若，曲线，即，圆心，半径为，
，所以点在圆外，
则过点与曲线相切的直线有两条，C正确；
若，曲线，即，圆心，半径为，
圆心到直线的距离为，则根据勾股定理易得直线被曲线截得弦长等于，D正确．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的位置关系，是中档题．
令，则三条直线都与该圆有公共点，根据点到直线的距离判断，表示圆上的点到原点的距离的平方，由此判断．
【解答】
解：实数，满足方程，即，
表示以为圆心，以为半径的圆；
令，则三条直线都与该圆有公共点，
所以，，，
解得，，，
所以的最大值为，的最大值为，的最大值为，
所以选项A正确，、D错误；
原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为，
所以，即，
所以的最大值为，项正确．
故选CD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
由的几何意义为过点与上动点连线的斜率求解的最值；，由该直线与圆相切求解的值可得的范围．
本题考查直线与圆的关系问题，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：设过的直线方程为，即．
由，解得，
的最大值为，最小值为，故A错误，B正确；
令，即，
由，解得，
的最大值为，最小值为，故C正确，D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线和圆的位置关系，主要是相切，注意运用切线的性质和点到直线的距离公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
作出直线和圆，，为圆的两条切线，连接，，，由为锐角，可得，运用解直角三角形可得恒成立，由勾股定理可得，求得的最小值，可得的最小值，解不等式即可得到所求的范围．
【解答】
解：圆，圆心，半径为，
作出直线和圆，，为圆的两条切线，连接，，，
由圆心到直线的距离为，
可得直线和圆相离．
由为锐角，可得，即，
在中，，可得恒成立，
由勾股定理可得，
当时，取得最小值，且为，即有，
解得．
故的取值范围为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
可设，，
可得直线的方程为，
圆的方程为，
由直线与圆有交点，可得
，
化为，
解得，
即有点在点的盲区中的时长约为秒．
故答案为：．
以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，求得，的坐标和直线的方程，圆方程，运用点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的条件，解不等式即可得到所求时长．
本题考查直线和圆的方程的应用，考查直线和圆的位置关系，考查坐标法和二次不等式的解法，属于中档题
15.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由直线与圆的位置关系求出和的值，分析可得、在以为圆心，为半径为圆上，求出该圆的方程，进而分析可得直线的是圆与圆的公共弦，联立两个圆的方程，即可得公共弦的方程，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于中档题．
【解答】
解：根据题意，圆的圆心为，半径，
设该圆的圆心为，
又由，，
则，
则、在以为圆心，为半径为圆上，
该圆的方程为，
则直线的是圆与圆的公共弦，
则有，
两式相减可得：；
即直线的方程为；
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，设，用表示可得，结合正弦函数的性质分析可得答案．
本题考查与圆有关的知识，涉及三角函数的化简求值，属于中档题．
【解答】
解：根据题意，点为圆上的动点，则设，
则，
，
，
则，
故的取值范围为；
故答案为：．
17.【答案】解：在圆中，因为，所以，
因为圆过点、，点在轴上方，所以圆心在轴的正半轴上，
即，
又在直角三角形中，因为，所以，．
所以的外接圆的方程为．
设，，，则，，
又因为， 所以，
又直线过点，所以直线的方程为，
过点， 垂足为，
则，
所以，
因为，所以
中点的横坐标为，
因为，所以，
即直线的方程为，
又直线的方程为，
联立方程组得，，
得，
因为当且仅当时取等号
所以，
所以，
即的最小值为．
【解析】本题考查圆的标准方程的求法，直线与圆的弦长问题及利用基本不等式求最值，属于中档题．
在圆中，因为，所以，因为圆过点、，点在轴上方，所以圆心在轴的正半轴上，即，又在直角三角形中，因为，所以，，即可求解
由可得，由的坐标可得直线的斜率，进而求出直线的斜率，因为为切点，求出直线的方程，过作可得，为的中点，由点到直线的距离公式，求出的值，所以，再由的纵坐标的范围求出的范围
由可得为的中点可得的坐标与，坐标的关系，将直线，的方程联立求出的横坐标，进而可得，的横坐标之和，又在圆上，由均值不等式可得的范围，进而可得的最小值．
18.【答案】解：圆的圆心在直线上且与轴切于点，
设圆心坐标为，则，
解得，，
圆心，半径，
故圆的方程为，
即．
点，直线过点，
设直线的斜率为存在，则方程为
又圆的圆心为，半径，
由弦长为，故弦心距，
由，解得
所以直线方程为，即 ．
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件．
故的方程为或．
把直线，即代入圆的方程，
消去，整理得
由于直线交圆于，两点，
故，即，解得．
设符合条件的实数存在，
由于垂直平分弦，故圆心必在上．
所以的斜率，而，所以
由于，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．
【解析】本题考查圆的方程和直线方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和直线方程的合理运用．
设圆心坐标为，由已知，由此能求出圆的方程．
设直线的斜率为存在则方程为由弦长为，故弦心距，由此利用点到直线距离公式求出，从而求出直线方程，当的斜率不存在时，的方程为也满足条件．
把直线代入圆的方程，由，得，从而能求出不存在实数使得过点的直线垂直平分弦．
19.【答案】证明：把直线的方程改写成，
由方程组，解得，
所以直线总过定点．
圆的方程可写成，
所以圆的圆心为，半径为．
定点到圆心的距离为，
即点在圆内．
所以过点的直线总与圆相交，即不论取什么实数，直线与圆总相交．
解：设直线与圆交于、两点．当直线过定点且垂直于过点的圆的半径时，
被截得的弦长最短．
因为，
此时，所以直线的方程为，即．
故直线被圆截得的弦长最小值为，
此时直线的方程为．
【解析】本题考查直线与圆总相交的证明，考查圆的方程、直线与圆的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．
求出直线过定点，圆的圆心为，半径为定点到圆心的距离小于半径，从而得到点在圆内，由此能证明不论取什么实数，直线与圆总相交．
设直线与圆交于、两点．当直线过定点且垂直于过点的圆的半径时，被截得的弦长最短．
20.【答案】解：由题意得、，
设过、、三点的圆的方程为，
则
解得，，，
所以圆的方程为．
由题意得，且该船的航线所在的直线的斜率为，
故该船的航线为直线，
由知圆心为，半径，
因为圆心到直线的距离 ，
所以该船有触礁的危险．
【解析】本题考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
由圆过点、、，设圆的方程为，再将点、、的坐标代入运算即可得解
由题意可得该船航行方向为直线：，再结合点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，得解．
21.【答案】解：如图，建立平面直角坐标系．
因为“直角型”公路关于对称，
所以直线的斜率为．
设直线的方程为：，
因为直角形公路与滴水湖圆相切，且圆半径
约为，
所以圆心到直线的距离，
解得．
因为，所以，
所以直线的方程为
要使得旅游集散中心面积最大，圆与圆相外切，与直线和直线相切，
所以圆心在轴上，设圆的圆心坐标为，半径为，则
，解得
所以圆心到湖中心的距离约为千米时，旅游集散中心面积最大．
【解析】本题考查圆在实际生活中的应用，属于中档题．
设直线的方程为：，由圆心到直线的距离，求，即可解决；
要使得旅游集散中心面积最大，圆与圆相外切，与直线和直线相切，得，求．
22.【答案】解：Ⅰ圆的直径，故半径为．
圆心坐标为线段的中点，
圆的方程为；
Ⅱ直线：，若直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，解得或，
直线的方程为或；
由方程组，
消去整理得，
若直线与圆相交于，不同的两点，
则，可得或，
设，，则，
若，解得舍或，
存在横坐标为的点，使点恰好为线段的中点，此时．
【解析】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
Ⅰ由已知求出圆的半径及圆心坐标，则圆的方程可求；
Ⅱ直线：，若直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求，则直线方程可求；
联立直线方程与圆的方程，整理后化为关于的一元二次方程，由判别式大于求得的范围，然后结合根与系数的关系及已知求得值得答案．
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