2022-2023学年湖南师大附中梅溪湖中学八年级（上）第一次入学数学试卷（Word解析版）

2022-2023学年湖南师大附中梅溪湖中学八年级（上）第一次入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个实数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是(    )

A. 了解某批次灯泡的使用寿命情况
B. 了解全班同学每天完成书面家庭作业的时间
C. 企业招聘，对应聘人员的面试
D. 在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测

4. 若，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 过点向边作垂线段，下列画法中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 若一个正多边形的一个内角是度，则这个多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设三角形三边之长分别为，，，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知，，不能判定≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 玩具车间每天能生产甲种玩具零件个或乙种玩具零件个，若甲种玩具零件个与乙种玩具零件个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件天，乙种玩具零件天，则有(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，已知平分，于，，则下列结论：；；；；其中正确结论的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 已知点在轴上，则点的坐标是______ ．
13. 已知关于的不等式的解如图所示，则的值为______．

14. 在平面直角坐标系中，点，先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的点的坐标为______．
15. 将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为______．

16. 中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米秒，则当与全等时，的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：；
    求中的值．
18. 本小题分
    解方程组；
    解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

19. 本小题分
    已知中，．
    如图，用直尺和圆规在的内部作射线，使，我们可以通过以下步骤作图：
    以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，分别于点，；
    以为圆心，的长为半径作弧，交于点；
    以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点．
    做射线；
    请回答：这种作“”的方法的依据是______填序号．
    
    如图，当时，中的射线交于点，已知，，，求的长．

20. 本小题分
    在建党周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为，，，四个等级，随机抽取了部分学生的成绩讲行调查，将获得的数据绘制成两幅不整的统计图．
    
    根据统计图提供的信息，解答下列问题：
    在这次调查中一共抽取了______名学生；
    请补全条形统计图；
    扇形统计图中，等级对应的圆心角度数是______度；
    根据抽样调查的结果，请你估计该校名学生中有多少名学生的成绩评定为等级．
21. 本小题分
    如图，在边长为的正方形网格中，三角形中任意一点经平移后对应点为，已知，，，将三角形作同样的平移得到三角形．
    直接写出坐标；______，______，______，______，______，______；
    三角形的面积为______；
    已知点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的一半，求点坐标．

22. 本小题分
    为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进种图书本和种图书本，共需元；若同时购进种图书本和种图书本，共需元．
    求、两种图书的单价各是多少元？
    若学校计划购买这两种图书共本，要求每种都要购买，且种图书的数量少于种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过元，请问学校共有哪几种购买方案？
23. 本小题分
    如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，连接、交于点．
    求证：≌．
    直线、是否互相垂直，请说明理由．
    求证：平分．

24. 本小题分
    若不等式组只有个正整数解为自然数，则称这个不等式组为阶不等式组．
    我们规定：当时，这个不等式组为阶不等式组．
    例如：不等式只有个正整数解，因此称其为阶不等式．
    不等式组只有个正整数解，因此称其为阶不等式组．
    请根据定义完成下列问题：
    是______阶不等式；是______阶不等式组；
    若关于的不等式组是阶不等式组，求的取值范围；
    关于的不等式组的正整数解有，，，，其中
    如果是阶不等式组，且关于的方程的解是的正整数解，请求出的值以及的取值范围．
25. 本小题分
    已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上．
    如图若于垂直轴，垂足为点点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标．
    如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
    如图，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于，在滑动的过程中，两个结论为定值；为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论并求出定值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像两个之间依次多一个，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：点坐标为，它的横坐标为正，纵坐标为负，故它位于第四象限，
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：了解某批次灯泡的使用寿命情况，最适合采用抽样调查；
B.了解全班同学每天完成书面家庭作业的时间，最适合采用全面调查；
C.企业招聘，对应聘人员的面试，最适合采用全面调查；
D.在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测，最适合采用全面调查；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点判断即可．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
；；，．
故选：．
利用不等式的性质对各选项进行判断．
本题考查了不等式的性质：应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题是一道作图题，考查了垂线段的作法，是基础知识要熟练掌握．
【解答】
解：是过点作边上的垂线段，故错误；
B.是过点做的垂线段，故错误；
C.是过点作的垂线段，故正确；
D.是过作的垂线段，故错误．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：正多边形的每个内角为，
正多边形的每个外角为，
多边形的外角和为，
多边形的边数为．
故选：．
先求出正多边形每个外角的度数，然后利用多边形外角和除以外角度数即可得到多边形的边数．
本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是由外角和求正多边形的边数．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，即；
所以的取值范围是观察选项，只有选项B符合题意．
故选：．
已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”列出关于的不等式，然后解不等式即可．
本题主要考查了三角形的三边关系．要注意构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
 

8.【答案】 

【解析】解：、加上不能证明≌，故此选项符合题意；
B、加上可得出，可利用定理证明≌，故此选项不合题意；
C、加上，可利用定理证明≌，故此选项不合题意；
D、加上可证明，可利用定理证明≌，故此选项不合题意；
故选：．
利用三角形全等的条件分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、，直角三角形还有．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据总天数是天，可得；根据乙种零件应是甲种零件的倍，可列方程为．
则可列方程组为．
故选：．
根据每天能生产甲种玩具零件个或乙种玩具零件个，则天能够生产个甲种零件，天能够生产个乙种零件．
此题中的等量关系有：
总天数是天；
根据甲种玩具零件一个与乙种玩具零件个能组成一个完整的玩具，则乙种零件应是甲种零件的倍，可列方程为．
此题的难点在于列第二个方程，注意甲种玩具零件一个与乙种玩具零件个能组成一个完整的玩具，说明生产的乙种零件是甲种零件的倍，要列方程，则应让少的倍，方可列出方程．
 

10.【答案】 

【解析】解：在取点，使，

，，
，
，
，
故正确；
在上取点，使，连接．
在与中，
，，，
≌，
．
垂直平分，
，
．
又，
，
，故正确；
由知，≌，
，
又，
，故正确；


延长过做辅助线，
易得≌，
故AD，
又，即可得，
 ，故不正确．
故选C．

在取点，使利用已知条件，可得，进而证出；
在上取点，使，连接先由证明≌，得出；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出；
根据全等三角形的对应边相等得出，根据线段垂直平分线的性质性质得出，从而；
由于≌，可推得，进而表示所求三角形面积即可得出结论错误．
本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，邻补角定义等知识点的应用，正确作辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：．
故答案为：．
根据二次根式进行解答即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
解得：，
，
则点的坐标是：．
故答案为：．
直接利用关于轴上点的坐标特点得出的值，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确得出的值是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：解不等式
得由图可得，
则
解之得，．
由数轴可以得到不等式的解集是，根据已知的不等式可以用关于的式子表示出不等式的解集．就可以得到一个关于的方程，可以解方程求得．
注意数轴上的空心表示不包括，即并且本题是不等式与方程相结合的综合题．
 

14.【答案】 

【解析】解：点，先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的点的坐标为，即，
故答案为：．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
本题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，，，

，
，
，
，
．
故答案为：．
由平角的定义可求，再利用三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，等腰直角三角形，掌握三角形的内接和定理是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当时，与全等，
点为的中点，
，
，
，
点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，
运动时间时，
≌，
，
；
当时，≌，
，，
，
，
，
运动时间为，
，
故答案为：或．
此题要分两种情况：当时，与全等，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求；当时，≌，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：、、、、．
 

17.【答案】解：

；
，
，
，
或，
，． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用平方根的意义，即可解答．
本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
解得，
方程组的解为；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】利用加减消元法求解即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：作图是依据是．
故答案为：；

如图中，取的中点，连接．

，，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
根据作图步骤判断即可；
如图中，取的中点，连接证明是等边三角形，可得结论．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】   

【解析】解：名，
故答案为：；
等级的学生为：名，补全条形图如下，

等级所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：；
名，
答：估计该校学生中有名学生的成绩评定为等级．
由两个统计图可知“等级”的有人，占调查人数的，根据频率可求答案；
求出“等级”的人数即可补全条形统计图；
求出“等级”的学生人数占调查人数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
求出样本中“等级”的学生占调查学生总数的百分比，即可估计总体中“等级”的学生所占的百分比，进而求出总体“等级”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
 

21.【答案】             

【解析】解：，，；
三角形的面积；
故答案为，；，；，；；
设，
三角形作同样的平移得到三角形．
三角形的面积三角形的面积，
三角形的面积等于三角形面积的一半，
，解得或，
点坐标为或．

利用点和的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律得到、、的坐标；
用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算三角形的面积；
设，利用三角形面积公式得到，然后求出得到点坐标．
本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

22.【答案】解：设种图书单价元，种图书单价元，
根据题意得：，
解得：，
答：种图书单价元，种图书单价元；
设购买种图书本，种图书本，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
可取、、，
或或，
共有三种购买方案：
方案一、购买种图书本，购买种图书本；
方案二、购买种图书本，购买种图书本；
方案三、购买种图书本，购买种图书本． 

【解析】设种图书单价元，种图书单价元，由题意：同时购进种图书本和种图书本，共需元；同时购进种图书本和种图书本，共需元．列出方程组，解方程组即可；
设购买种图书本，种图书本，由题意：种图书的数量少于种图书的数量，购买总金额不能超过元，列出不等式组，求出正整数解即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，列出二元一次方程组；找出不等关系，列出一元一次不等式组．
 

23.【答案】解：
，
，即，
又，，
在与中

≌；
．
理由是：
≌






如图，作于，于，

≌
，，
，
，
平分． 

【解析】由题意可得，，由，可得到，从而可证≌；
由可得，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；
作于，于，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：没有正整数解，
是阶不等式；
由得，
有个正整数解，
是阶不等式组，
故答案为：，；
解不等式组得：，
由题意得：有个正整数解，为：，，，，
，
解得：；
由题意得，是正整数，且有个正整数解，
，，
．
根据题目中的定义进行分析；
根据题目中的定义进行分析，可知整数解为，，，，从而可得出的范围；
分析题意，可以利用特殊值法，看是从第几个整数开始的，从而求解．
本题考查了一元一次不等式组的正整数解，理解题中的新定义是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图中，

，
又，，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；

结论：．
理由：如图中，延长、交于点，

轴平分，轴，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌
，
，
；

为定值．
理由：如图中，作于，

，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，

是定值，
，而与的关系不知，
不是定值．
即：为定值． 

【解析】先判断出，，从而得出≌，求出，即可；
先利用等腰三角形的判定得出，同的方法判断出≌，得出即可；
作，同方法判断出≌得出，最后结合图形求出个结论是定值．
此题是三角形综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解本题的关键是判断出≌．