北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理4 二项式定理4.2 二项式系数的性质备课ppt课件

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1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数.
2.理解二项式系数的性质并灵活运用.
3.掌握“赋值法”并会灵活应用.
被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1,2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右.
问题1　根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二项式系数.可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
提示　1,7,21,35,35,21,7,1
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数______；(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之___，即 ＝_________.
　　 (1)在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是A.第n－k项 B.第n－k－1项C.第n－k＋1项 D.第n－k＋2项
故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同.
(2)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是A.8 B.6 C.4 D.2
由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.
解决与杨辉三角有关问题的一般思路(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察.(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律.(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.
　　　(1)在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则n为A.4 B.6 C.8 D.10
由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，
(2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于A.20 B.21 C.22 D.23
由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.
二项式系数的增减性与最值
问题2　怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？
(2)最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数 最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值.
(1)当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项；(2)当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项.
　　已知f(x)＝( ＋3x2)n展开式中的二项式系数和为32.求展开式中二项式系数最大的项.
由题意得，2n＝32，解得n＝5.
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
　　　(1)在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n等于A.5 B.6 C.7 D.8
A.120 B.252 C.210 D.45
由题意，得2n＝10，易知n＝5，
二项展开式的系数和问题
　　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
令x＝0，则a0＝－1.令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384.
求展开式的各项系数之和常用赋值法“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值.①一般地，要使二项展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和.②三项的可以直接令x＝1，也可以转化二项之后再赋值.③有两个变量x，y的可以令x＝y＝1得所有项系数之和.
　　　若(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2等于A.－32 B.32 C.－243 D.243
设f(x)＝(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，由已知可得f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243，因此，(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)＝243.
1.知识清单： (1)杨辉三角. (2)二项式系数的增减性与最值. (3)二项展开式的系数和问题.2.方法归纳：赋值法.3.常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数.
1.在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是A.第15项 B.第16项C.第17项 D.第18项
A.第3项 B.第6项C.第6,7项 D.第5,7项
即第6,7项的二项式系数相等，且最大.
3.(x－1)11的展开式中，x的奇次幂项的系数之和是A.2 048 B.－1 023C.－1 024 D.1 024
(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，①令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，②由①②，得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1 024，即为所求系数之和.
4.(2x－1)6的展开式中各项系数的和为___，各项的二项式系数的和为___.
令x＝1，得各项系数的和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.
1.在(1＋x)n(n∈N＋)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为A.8 B.9 C.10 D.11
由题意得，展开式共有11项，所以n＝10.
2.若(x＋3y)n展开式的各项系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为A.5 B.8 C.10 D.15
(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5.
3.(2x－3)10的展开式中，奇数项的二项式系数和为
A.1 B.±1 C.2 D.±2
令15－5k＝0，得k＝3.
5.如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为A.530 B.502 C.503 D.505
6.(多选)设(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论正确的是A.a2＋a5＝588B.a1＋a2＋…＋a7＝1C.a1＋a3＋a5＋a7＝D.|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37－1
又(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，
令x＝1，则(2－1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝1，令x＝0，则(0－1)7＝a0＝－1，令x＝－1，则(－2－1)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－37，故a1＋a2＋…＋a7＝1－a0＝2，即B错误；
|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)＋a0＝37－1，即D正确.
令10－5k＝0，得k＝2.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，
9.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a1＋a2＋a3＋a4；
由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，令x＝0，得(0－3)4＝a0，所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝(2－3)4－81＝－80.
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0＝313＋312－81＝544.
10.在(3x－2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；
二项式系数最大的项是第11项.
(2)系数绝对值最大的项；
设系数绝对值最大的项是第k＋1项，于是
因为k∈N，所以k＝8，
11.若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为A.10 B.45 C.－9 D.－45
x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，
A.330 B.462 C.682 D.792
∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1 024，
(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022，令x＝0，得a0＝1，
A.2 B.0 C.－2 D.－1
设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数的性质，可得
则第n(n≥3)行第3个数字是__________________________.
16.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角.
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数.试用含有m，k(m，k∈N＋)的数字公式表示上述结论，并给予证明.