2021-2022学年山东省泰安市东平县七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2021-2022学年山东省泰安市东平县七年级（下）期中数学试卷（五四学制）

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 下列方程组为二元一次方程组的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列命题为真命题的是

A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 在同一平面内，若，，则
C. 的算术平方根是
D. 点一定在第四象限

3. 端午节那天，欢欢回家看到桌上有一盆粽子，其中豆沙馅粽子个，板栗馅粽子个，五花肉馅粽子个，这些粽子除馅外无其它差别．欢欢从盆中随机取出个粽子，是豆沙馅粽子的概率是

A.  B.  C.  D.

4. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则可表示为

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是

A.
B.
C.
D.

6. 已知是二元一次方程组的解，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 若与互为相反数，则的值是

A.  B.  C.  D.

8. 将与两边平行的纸条按如图所示折叠，则的度数为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，平分，平分，有下列条件：；；；；其中能判定的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，，且那么图中与相等的角不包括的个数是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，已知，，，则、、三者之间的关系是

A.  B.
C.  D.

12. 如图，在中，设，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则是度．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．
     

14. 当______时，方程是二元一次方程．
15. 如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则______．
    
     

16. 一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼、鲫鱼出现的频率是和，则这个水塘里大约有鲢鱼______ 尾．
17. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是____．
    
     

18. 如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点下列结论：；；  ；；其中正确的是______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）

19. 解下列方程组：
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 已知方程组和方程组的解相同，求的值．
21. 八月底，八年级班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为、、、、五类，其中表示“次”、类表示“次”、类表示“次”、类表示“次”、类表示“次及以上”并制成了如下不完整的条形统计和扇形统计图如图所示．
    
    请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
    填空：______；
    补全条形统计图，并求出扇形统计图中类的扇形所占圆心角的度数；
    从全班去过该图书馆的同学中随机抽取人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“次及以上”的同学的概率．
22. 已知：如图，，，．
    求证：；
    若，求的度数．

23. 问题背景
    ，点、分别在、上运动不与点重合．
    
    问题思考
    如图，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，______．
    如图，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．
    若，则______
    随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
    问题拓展
    在图的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动如图，______用含的代数式表示
24. 为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改善学校的办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需元，建造新校舍每平方米需元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆、建的总面积．
    求原计划拆、建面积各多少平方米？
    为了鼓励增加城市绿化，该市园林部门有规定：若绿公面积不超过平方米，按每平方米元收费，若绿化面积超过平方米，超过部分按每平方米元收费，那么在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？
25. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为．
    求一次函数表达式；
    求点的坐标；
    求的面积；
    不解关于、的方程组，直接写出方程组的解．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．，第个方程中的次数是，此选项不符合题意；
B.，此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
C.，此选项第个方程不是整式方程，此选项不符合题意；
D.，此方程含有个未知数，此选项不符合题意；
故选：．
根据二元一次方程组的定义求解即可．
本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：
方程组中的两个方程都是整式方程．
方程组中共含有两个未知数．
每个方程都是一次方程．
 

2.【答案】

【解析】解：、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
B、在同一平面内，如果，，则，原命题是真命题；
C、的算术平方根是，原命题是假命题；
D、若，则，则点在轴上，故原命题是假命题；
故选：．
直接利用平行线的判定和性质、算术平方根的定义以及点的坐标特点分别判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

3.【答案】

【解析】解：豆沙馅粽子个，板栗馅粽子个，五花肉馅粽子个，
随机取出个粽子，是豆沙馅粽子的概率是．
故选：．
用豆沙馅的粽子个数除以所有粽子的个数即可利用概率公式求得概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】

【解析】解：，
．
．
．
即．
故选：．
根据等式的性质，等式两边减去，得等式两边同时除以，得，即，故选A．
本题主要考查利用等式的性质对等式进行变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：设阴影部分的面积是，则整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是，
故选：．
先设阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

6.【答案】

【解析】解：是二元一次方程组的解，
，
解得，
．
故选：．
根据方程组解的定义，方程组的解适合方程组中的每个方程，转化为关于、的方程组即可解决问题．
本题考查二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解决问题的关键，属于基础题，中考常考题型．
 

7.【答案】

【解析】解：与互为相反数，
，
即，
，得，
即，
故选：．
根据互为相反数的两个数的和为得出，即，即可求出答案．
本题考查了绝对值和偶次方的非负性，相反数和解二元一次方程组等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：一张长方形纸条折叠，
，
，
，
故选：．
根据折叠的性质得出，利用平行线的性质进行解答即可．
本题考查了平行线的性质、翻折变换折叠问题正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】分析
考查平行线的判定问题，可由同位角相等，内错角相等及同旁内角互补等，判定两直线平行．
此题主要考查平行线的判定定理，难度不大，属于基础题．
详解
解：平分，平分，
，，
，
，同旁内角相等，并不能判定两直线平行，故不能；
，
，即同旁内角互补，可得与平行，故能；
、、同，皆由同旁内角互补，可判定与平行，
综上所述能判定．
故选C．
 

10.【答案】

【解析】解：，
，
，
，，
，
，
与相等的角有：，，，，，共个．
故选：．
直接利用平行线的性质分别分析，即可得出与相等的角不包括的个数．
此题主要考查了平行线的性质，正确把握平行线的性质是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】解：如图所示，延长交于，
，
，
，，
，，
，即，
，
故选：．
延长交于，依据平行线的性质，即可得到，即，进而得到．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握平行线性质定理：两直线平行，内错角相等．
 

12.【答案】

【解析】解：是三角形的外角，是的外角，
，，
和分别是和的角平分线，
，，
，
同理可得，，，，
，
故选：．
先由三角形的外角性质得，，再由角平分线的定义得到，，从而可以得到，同样的道理可得，，，，最后得到的度数．
本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义，解题的关键是熟练应用三角形外角的性质定理．
 

13.【答案】

【解析】解：游戏板的面积为，其中黑色区域为，
小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是，
故答案是：．
利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
 

14.【答案】

【解析】解：方程是二元一次方程，
，
解得．
故答案为：．
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程，据此解答即可．
此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】解：三角形的外角和的平分线交于点，
，；
又已知，三角形内角和定理，
外角定理，
．
故答案为：．
根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得；最后在中利用三角形内角和定理可以求得的度数．
此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】解：根据题意可得这个水塘里有鲢鱼尾，
故答案为：．
根据频率、频数的关系：频数频率数据总和，可分别求鲤鱼，卿鱼的尾数，再根据各小组频数之和等于数据总和，可求鲢鱼的尾数．
本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于频率、频数的关系：频率频数数据总和．
 

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查一次函数图象的交点与方程组的解的关系，属于基础题．
由交点坐标 ，先求出 ，再求出方程组的解即可．
【解答】
解： 的图象经过 ，
，
，
一次函数 与 的图象相交于点 ，
方程组 的解是 ，
故答案为 ．   

18.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
，故正确；

平分，
，
，
，

，即，故正确；

，
，
，
，，
，
，故正确，

，
，
，
，
由得，，
，
；故正确；
故答案为，
根据，和，证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
证明，根据的结论，证明结论正确；
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：
得：，
得：，
得：，
，
把代入得：
，
，
；
设，，则原方程组变为：
，
得：，
，
把代入得：，
，
，
；
，
得：，
，
把代入得：，
，
；
，
由得：，
把代入得：，
，
把代入得：，
．

【解析】先把每个方程去分母变形，再用加减消元法消去，解得的值，再代入可得的值；
设，，先解得、的值，再解、的方程组求出、的值；
用加减消元法消去，解一元一次方程求出，再代入可得的值；
用代入消元法先消去，即可解出方程组的解．
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法和加减消元法，把二元转化为一元．
 

20.【答案】解；方程组和方程组的解相同，
可得，
解第一个方程组得，
把代入第二个方程组得，
解得

．

【解析】根据方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得方程组的解，根据方程组的解满足方程，把解代入，可得关于、的方程组，根据解方程组，可得、的值，根据乘方，可得幂．
本题考查了二元一次方程组的解，先组合成新的方程组，分别求出两个方程组的解，最后求幂．
 

21.【答案】

【解析】解：调查的总人数为人，
所以，即；
故答案为；
类人数为人，
条形统计图为：

扇形统计图中类的扇形所占圆心角的度数为；
恰好抽中去过“次及以上”的同学的概率．
先利用类人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，然后计算出类人数所占的百分比即可得到的值；
先计算出类人数，再补全条形统计图，然后用类人数所占百分比乘以得到扇形统计图中类的扇形所占圆心角的度数；
利用类人数除以总人数得到恰好抽中去过“次及以上”的同学的概率．
本题考查了条形统计图与扇形统计图的应用，同时也考查了利用概率公式求简单事件的概率．
 

22.【答案】证明：已知，
两直线平行，内错角相等，
已知，
等量代换，
已知，
等式的性质，
即，
等量代换，
同位角相等，两直线平行；
解：，，，
，
，
，
，
，，
，
．

【解析】根据平行线的判定和性质即可解决问题．
根据三角形内角和求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：，
，
、分别是和角的平分线，
，，
，
；
故答案为：；
   ，，
，，
是的平分线，
，
平分，
，
，
故答案为：；
的度数不随、的移动而发生变化，
设，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
；
设，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
；
故答案为：．
根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
由的思路可得结论；
在的基础上，将换成即可．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：设原计划拆除校舍平方米，新建校舍平方米，
根据题意得：，
解得：．
答：设原计划拆除校舍平方米，新建校舍平方米．
设在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化平方米校园，
根据题意得：，
解得：．
答：在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化平方米的校园．

【解析】设原计划拆除校舍平方米，新建校舍平方米，根据计划与实际均拆、建校舍共平方米，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化平方米校园，根据扩大绿化所需的费用等于拆、建校舍节余的资金，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据扩大绿化所需的费用等于拆、建校舍节余的资金，列出关于的一元一次方程．
 

25.【答案】解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
，，
．
把和代入一次函数，
得，
解得，，
一次函数解析式是；

由知一次函数表达式是，
令，则，
即点；

由知一次函数解析式是，
令，得，解得，
点，
，
，
的面积；

由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
所以方程组的解为．

【解析】将点代入，求出，得到把、两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
根据一次函数的解析式即可求出点的坐标；
根据三角形的面积公式列式即可求出的面积；
两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．