2021-2022学年黑龙江省大庆市重点中学高二下学期2月开学考试数学试题含答案

黑龙江省大庆市重点中学2021-2022学年高二下学期2月开学考试数学试卷

试题说明：1、本试题满分    150   分，答题时间   120   分钟。         

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

第Ⅰ卷  选择题部分

一、选择题（每小题只有一个选项正确，共12小题，每小题5分，共60分。）

1.两直线和互相垂直，则的值是（   ）

A.0 B. 1 C. 0或1 D. 1或-1

2. 等比数列中，，，则（    ）

A.90 B.120 C.240 D.480

3.函数是上的单调函数，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

4．函数的图像大致是（     ）

A． B．

C． D．

5.曲线与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（   ）

A．         B．        C．          D．

6.在四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（   ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

7.等差数列的首项为正数，其前n项和为.下列说法错误的是（  ）

A. 若有最大值，则数列的公差小于0  

B. 若，则使的最大的n为18

C. 若，，则中最大  

D. 若，，则数列中的最小项是第9项

8．若函数恰有两个零点，则在上的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．

9. 如图所示，已知是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为3，则椭圆的方程为（    ）

A.      B.  

 C.     D.

10. 已知函数，，若在单调递增，的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

11.已知点，分别为双曲线的左，右焦点，为的左支上一点，，若圆与直线相切，则的离心率为（     ）

A． B． C．  D．

12.已知函数，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C          D．

第II卷  主观题部分

二、填空题（每小题5分，共20分。）

13. 已知函数，是函数的一个极值点，则a=__________.

14. 已知直线过抛物线的焦点，并交抛物线于，两点，，则弦AB中点的横坐标是　___________　.

15.设双曲线的左右两个焦点分别为，P为双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为Q，则OQ的长度为____________

16. 设函数,若正项等比数列满足，则=

____________

三 解答题 （17题10分，其余每小题12分，共70分。）

17. 已知等差数列的公差，，且成等比数列.

(1)求的通项公式   

(2)设,求数列的前2项和.

18. 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：当时，.

19．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成

夹角的正弦值最小.

20.已知数列的前项和为，且

（1）证明:数列为等比数列 ； 

（2）若 ，求证：的前项的和.

21.已知椭圆C：的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求（O为坐标原点）的面积的最大值．

22. 已知．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在上有1个零点，求实数a的取值范围．

大庆市重点中学2021-2022学年高二下学期2月开学考试

数学试题答案

一、1-6 CBDBDD   BADDAC

二、13 -1    14       15  5    16  

三、17.（1）由已知，有，解得

所以

（2）因为，所以

所以

18.（1）依题意知函数定义域为{x|x>0}，∵f′(x)＝2x-2=，由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0<x<1 ，∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)

（2）设g(x)＝f（x）-3x+4=x2－2lnx-3x+4，  ∴g′(x)＝2x-2--3=，

∵当x>2时，g′(x)>0， ∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数， ∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0，

∴当x>2时， x2-2lnx>3x-4,   即当x>2时..

19. 解：因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以

因为，，所以，

又，所以平面．所以两两垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

所以，

．由题设（）．

（1）因为，

所以，所以．

（2）设平面的法向量为，

因为，

所以，即．令，则

因为平面的法向量为，

设平面与平面的夹角为，

则．

当时，取最小值为，此时取最大值为．

所以，此时．

20.（1）证明：当；

，两式相减得：

又，所以数列为以1为首项，3为工笔的等比数列

（2），由此可得

因为n为正整数，所以>0所以

21. 解：（1）椭圆C的离心率为，由过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的弦长为1，

将代入椭圆C方程，得，即，

所以解得椭圆C的方程为；

（2）由题意可知直线l的斜率不为0，

则设直线l的方程为，，，

联立得，

，，，

面积，，

设，，，

，当，时取得“=”，所以，，

所以面积的最大值为1．

22（1）函数的定义域为R，求导得：

当时，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，

当时，令，得，

若，即时，，则有在R上单调递增，

若，即时，当或时，，当时，，

则有在，上都单调递增，在上单调递减，

若，即时，当或时，，当时，，

则有在，上都单调递增，在上单调递减，

所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，

当时，在，上都单调递增，在上单调递减，

当时，R上单调递增，

当时，在，上都单调递增，在上单调递减.

（2）依题意，，，当时，，

当时，，，则函数在上单调递增，有，无零点，

当时，，，函数在上单调递减，，无零点，

当时，，使得，而在上单调递增，当时，，当时，，

因此，在上单调递增，在上单调递减，又，

若，即时，无零点，若，即时，有一个零点，

综上可知，当时，在有1个零点