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天津市东丽区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)
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这是一份天津市东丽区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
天津市东丽区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题
(附答案与解析)
一、选择题（共10题，共50分）
1．（5分）估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
2．（5分）已知a＝3+，b＝3﹣，则代数式的值是（ ）
A．24 B．±2 C．2 D．2
3．（5分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
4．（5分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
5．（5分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
6．（5分）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是（ ）
A．0点时气温达到最低
B．最低气温是零下4℃
C．0点到14点之间气温持续上升
D．最高气温是8℃
7．（5分）甲、乙两人以相同的路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习，图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分钟）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了6千米后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（5分）歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响（ ）
A．平均分 B．众数 C．中位数 D．极差
9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B、C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE﹣GF）的值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．（5分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共2题，共10分）
11．（5分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为 ．
12．（5分）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是 ．（请写出正确结论的序号）．
三、解答题（共8题，共90分）
13．（8分）计算：．
14．（10分）若a、b、c为△ABC的三边长，且a、b、c满足等式（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，求△ABC的面积．
15．（10分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．
16．（10分）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
17．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形沿AC折叠后，点D落在点E处，且CE与AB交于F．
（1）判断△AFC的形状，并说明理由．
（2）求△AFC的面积．
18．（12分）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升10微克，接着逐步衰减，8小时时血液中含药量为每毫升6微克，每毫升血液中含药量y（微克），随时间x（小时）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，
（1）求y与x之间的解析式；
（2）如果每毫升血液中含药量不低于5微克时，在治疗疾病时是有效的，那么该药的有效时间是多少？
19．（14分）如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（16分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（3，0），AB＝6，作∠DBO＝∠ABO，点H为y轴上的点，∠CAH＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．
（1）证明：△ABE为等边三角形；
（2）若CD⊥AB于点F，求线段CD的长；
（3）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1个单位长度每秒，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A路线运动，速度为2个单位长度每秒，到A点处停止运动．两点同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间时△OPM与△OQN全等？
天津市东丽区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，共50分）
1．（5分）估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
【解答】解：∵＝4+，而4＜＜5，
∴原式运算的结果在8到9之间；
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
2．（5分）已知a＝3+，b＝3﹣，则代数式的值是（ ）
A．24 B．±2 C．2 D．2
【分析】首先把原式变为，再进一步代入求得答案即可．
【解答】解：∵a＝3+，b＝3﹣，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴
＝
＝
＝2．
故选：C．
【点评】此题考查二次根式的化简求值，抓住式子的特点，灵活利用完全平方公式变形，使计算简便．
3．（5分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
【分析】直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案．
【解答】解：A、∵1+2＝3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12＝（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是＝，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°＝3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．
4．（5分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．
5．（5分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】由菱形的性质得出AB∥CD，∠BAD＝2∠1，求出∠BAD＝30°，即可得出∠1＝15°．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，
∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠1＝15°；
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
6．（5分）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是（ ）
A．0点时气温达到最低
B．最低气温是零下4℃
C．0点到14点之间气温持续上升
D．最高气温是8℃
【分析】根据齐齐哈尔市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
【解答】解：A、由函数图象知4时气温达到最低，此选项错误；
B、最低气温是零下3℃，此选项错误；
C、4点到14点之间气温持续上升，此选项错误；
D、最高气温是8℃，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键．
7．（5分）甲、乙两人以相同的路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习，图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分钟）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了6千米后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确；
②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度＝10÷＝15（千米/时）；故②正确；
④设乙出发x分钟后追上甲，则有：×x＝×（18+x），
解得x＝6，故④正确；
③由④知：乙第一次遇到甲时，所走的距离为：6×＝6（km），故③正确；
所以正确的结论有4个：①②③④，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义结合图象上点的坐标得出是解题关键．
8．（5分）歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响（ ）
A．平均分 B．众数 C．中位数 D．极差
【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：C．
【点评】本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义．
9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B、C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE﹣GF）的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】设AE＝x，则AB＝x，由矩形的性质得出∠BAD＝∠D＝90°，CD＝AB，证明△ADG是等腰直角三角形，得出AG＝AD＝，同理得出CD＝AB＝x，CG＝CD﹣DG＝x﹣1，CG＝GF，得出GF，即可得出结果．
【解答】解：设AE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠D＝90°，CD＝AB，
∵AG平分∠BAD，∴∠DAG＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴DG＝AD＝1，
∴AG＝AD＝，
同理：BE＝AE＝x，CD＝AB＝x，
∴CG＝CD﹣DG＝x﹣1，
同理：CG＝FG，
∴FG＝CG＝x﹣，
∴AE﹣GF＝x﹣（x﹣）＝．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．（5分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【解答】解：当0≤t＜2时，S＝×2t××（4﹣t）＝﹣t2+2t；
当2≤t＜4时，S＝×4××（4﹣t）＝﹣t+4；
只有选项D的图形符合．
故选：D．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
二、填空题（共2题，共10分）
11．（5分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为 16 ．
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．
【解答】解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA＝1，
∴AA1＝OA＝1，OA1＝OA＝；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4．
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8．
∴OA8的长度为＝16．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
12．（5分）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是 ①② ．（请写出正确结论的序号）．
【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE＝∠CBF＝60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF＝AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF＝AD，AE＝DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB＝AC，∠BAC＝120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．
【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF＝AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；
∴∠FEA＝∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB＝∠ADF+∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
．
∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；
若AB＝AC，∠BAC＝120°，则有AE＝AD，∠EAD＝120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，
故答案为：①②．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
三、解答题（共8题，共90分）
13．（8分）计算：．
【分析】首先计算开方、零指数幂和负整数指数幂，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝9﹣2×+1+×2
＝9﹣+1+
＝10．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
14．（10分）若a、b、c为△ABC的三边长，且a、b、c满足等式（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，求△ABC的面积．
【分析】首先根据非负数的性质可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13，
∵52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝×5×12＝30．
【点评】此题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理以及三角形的面积，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
15．（10分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO＝10，BO＝5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k＝；当l2，l3平行时，k＝2；当l1，l3平行时，k＝﹣；故k的值为或2或﹣．
【解答】解：（1）把C（m，4）代入一次函数y＝﹣x+5，可得
4＝﹣m+5，
解得m＝2，
∴C（2，4），
设l2的解析式为y＝ax，则4＝2a，
解得a＝2，
∴l2的解析式为y＝2x；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2，
y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO＝10，BO＝5，
∴S△AOC﹣S△BOC＝×10×4﹣×5×2＝20﹣5＝15；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，
∴当l3经过点C（2，4）时，k＝；
当l2，l3平行时，k＝2；
当l1，l3平行时，k＝﹣；
故k的值为或2或﹣．
【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
16．（10分）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
【分析】（1）由折线图得出选择交通监督的人数，除以总人数得出选择交通监督的百分比，再乘以360°即可求出扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）用选择环境保护的学生总人数减去A，B，C三个班选择环境保护的学生人数即可得出D班选择环境保护的学生人数，进而补全折线图；
（3）用2500乘以样本中选择文明宣传的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）选择交通监督的人数是：12+15+13+14＝54（人），
选择交通监督的百分比是：×100%＝27%，
扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数是：360°×27%＝97.2°；
（2）D班选择环境保护的学生人数是：200×30%﹣15﹣14﹣16＝15（人）．
补全折线统计图如图所示；
（3）2500×（1﹣30%﹣27%﹣5%）＝950（人），
即估计该校选择文明宣传的学生人数是950人．
【点评】本题考查折线统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
17．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形沿AC折叠后，点D落在点E处，且CE与AB交于F．
（1）判断△AFC的形状，并说明理由．
（2）求△AFC的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得出CD＝AB＝8，AB∥CD，∠B＝90°，由折叠的性质得出∠DCA＝∠ECA，CE＝CD＝16，证出∠BAC＝∠ECA，即可得出AF＝CF；
（2）设AF＝x，则CF＝x，BF＝AB﹣AF＝8﹣x，在Rt△BCF中，利用勾股定理，即可得方程x2＝（8﹣x）2+62，解此方程即可求得AF的长，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）△AFC是等腰三角形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠DCA＝∠BAC，
由折叠的性质可得：∠DCA＝∠ECA，CE＝CD＝8，
∴∠BAC＝∠ECA，
∴AF＝CF，
∴△AFC是等腰三角形；
（2）设AF＝x，则CF＝x，BF＝AB﹣AF＝8﹣x，
在Rt△BCF中，CF2＝BF2+BC2，
即x2＝（8﹣x）2+62，
解得：x＝，
∴S△AFC＝AF•BC＝××6＝．
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
18．（12分）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升10微克，接着逐步衰减，8小时时血液中含药量为每毫升6微克，每毫升血液中含药量y（微克），随时间x（小时）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，
（1）求y与x之间的解析式；
（2）如果每毫升血液中含药量不低于5微克时，在治疗疾病时是有效的，那么该药的有效时间是多少？
【分析】（1）直接根据图象上的点的坐标利用待定系数法解得；
（2）根据图象可知每毫升血液中含药量为5微克是在两个函数图象上都有，所以把y＝5，分别代入y＝5x，，求出x的值即可解决问题．
【解答】解：（1）当x≤2时，设y＝k1x，
把（2，10）代入上式，得k1＝5，
∴x≤2时，y＝5x；
当x＞2时，设y＝k2x+b，
把（2，10），（8，6）代入上式，
，解得，
∴；
（2）把y＝5代入y＝5x，得x1＝1；
把y＝5代入，得x2＝，
则x2﹣x1＝小时．
答：这个有效时间为8.5小时．
【点评】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．
19．（14分）如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△CHB≌△BOA（AAS），即可求解；
（2）求出B、E、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣）、（1，﹣1），即可求解；
（3）S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，S△BPN＝NB×k＝NB，即可求解．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣1，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，
∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得：，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝x+2；
（2）同理可得直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣…①，则点E（0，﹣），
直线AD的表达式为：y＝﹣3x+2…②，
联立①②并解得：x＝1，即点D（1，﹣1），
点B、E、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣）、（1，﹣1），
故点E是BD的中点，即BE＝DE；
（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝，
直线AC的表达式为：y＝x+2，则点M（﹣6，0），
S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，
S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝NB，
解得：NB＝，
故点N（﹣，0）或（，0）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、函数表达式得求解、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
20．（16分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（3，0），AB＝6，作∠DBO＝∠ABO，点H为y轴上的点，∠CAH＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．
（1）证明：△ABE为等边三角形；
（2）若CD⊥AB于点F，求线段CD的长；
（3）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1个单位长度每秒，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A路线运动，速度为2个单位长度每秒，到A点处停止运动．两点同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间时△OPM与△OQN全等？
【分析】（1）由“ASA”证得△AOB≌△EOB，得出AO＝EO＝3，BE＝AB＝6，即可得出结论；
（2）由（1）知∠ABE＝∠BEA＝∠EAB＝60°，求得∠AOF＝30°，得出AF＝OA＝，求出AO＝AC，CF＝，BF＝，BD＝9，由勾股定理求得DF＝，即可得出结果；
（3）设运动的时间为t秒，①当点P、Q分别在y轴、x轴上时，②当点P、Q都在y轴上时，③当点P在x轴上，Q在y轴且二者都没有提前停止时，④当点P在x轴上，Q在y轴且点Q提前停止时，列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：在△AOB与△EOB中，，
∴△AOB≌△EOB （ASA），
∴AO＝EO＝3，BE＝AB＝6，
∴AE＝BE＝AB＝6，
∴△ABE为等边三角形；
（2）解：由（1）知∠ABE＝∠BEA＝∠EAB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠AOF＝30°，
∴AF＝OA＝，
∴在Rt△AOF中，OF＝＝＝，
∵∠CAH＝∠BAO＝60°，
∴∠CAF＝60°，∠ACF＝∠AOF＝30°，
∴OA＝2AF，AC＝2AF，
∴AO＝AC，又CD⊥AB，
∴CF＝＝＝，
∵AB＝6，AF＝，
∴BF＝，
在Rt△BDF中，∠DBF＝60°，∠D＝30°，
∴BD＝9，
由勾股定理得：DF＝＝＝，
∴CD＝DF+CF＝+＝；
（3）解：设运动的时间为t秒，
①当点P、Q分别在y轴、x轴上时，，PO＝QO得：，解得（秒）；
②当点P、Q都在y轴上时，，PO＝QO得：，解得（秒）；
③当点P在x轴上，Q在y轴且二者都没有提前停止时，则PO＝QO得：，解得（秒）不合题意，舍去；
④当点P在x轴上，Q在y轴且点Q提前停止时，有t﹣3＝3，解得t＝6（秒）；
综上所述：当两动点运动时间为、、6秒时，△OPM与△OQN全等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质，熟练掌握勾股定理与正确理解题意是解题的关键．
天津市东丽区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题
(附答案与解析)
一、选择题（共10题，共50分）
1．（5分）估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
2．（5分）已知a＝3+，b＝3﹣，则代数式的值是（ ）
A．24 B．±2 C．2 D．2
3．（5分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
4．（5分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
5．（5分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
6．（5分）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是（ ）
A．0点时气温达到最低
B．最低气温是零下4℃
C．0点到14点之间气温持续上升
D．最高气温是8℃
7．（5分）甲、乙两人以相同的路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习，图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分钟）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了6千米后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（5分）歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响（ ）
A．平均分 B．众数 C．中位数 D．极差
9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B、C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE﹣GF）的值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．（5分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共2题，共10分）
11．（5分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为 ．
12．（5分）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是 ．（请写出正确结论的序号）．
三、解答题（共8题，共90分）
13．（8分）计算：．
14．（10分）若a、b、c为△ABC的三边长，且a、b、c满足等式（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，求△ABC的面积．
15．（10分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．
16．（10分）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
17．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形沿AC折叠后，点D落在点E处，且CE与AB交于F．
（1）判断△AFC的形状，并说明理由．
（2）求△AFC的面积．
18．（12分）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升10微克，接着逐步衰减，8小时时血液中含药量为每毫升6微克，每毫升血液中含药量y（微克），随时间x（小时）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，
（1）求y与x之间的解析式；
（2）如果每毫升血液中含药量不低于5微克时，在治疗疾病时是有效的，那么该药的有效时间是多少？
19．（14分）如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（16分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（3，0），AB＝6，作∠DBO＝∠ABO，点H为y轴上的点，∠CAH＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．
（1）证明：△ABE为等边三角形；
（2）若CD⊥AB于点F，求线段CD的长；
（3）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1个单位长度每秒，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A路线运动，速度为2个单位长度每秒，到A点处停止运动．两点同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间时△OPM与△OQN全等？
天津市东丽区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，共50分）
1．（5分）估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
【解答】解：∵＝4+，而4＜＜5，
∴原式运算的结果在8到9之间；
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
2．（5分）已知a＝3+，b＝3﹣，则代数式的值是（ ）
A．24 B．±2 C．2 D．2
【分析】首先把原式变为，再进一步代入求得答案即可．
【解答】解：∵a＝3+，b＝3﹣，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴
＝
＝
＝2．
故选：C．
【点评】此题考查二次根式的化简求值，抓住式子的特点，灵活利用完全平方公式变形，使计算简便．
3．（5分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
【分析】直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案．
【解答】解：A、∵1+2＝3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12＝（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是＝，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°＝3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．
4．（5分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．
5．（5分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】由菱形的性质得出AB∥CD，∠BAD＝2∠1，求出∠BAD＝30°，即可得出∠1＝15°．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，
∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠1＝15°；
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
6．（5分）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是（ ）
A．0点时气温达到最低
B．最低气温是零下4℃
C．0点到14点之间气温持续上升
D．最高气温是8℃
【分析】根据齐齐哈尔市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
【解答】解：A、由函数图象知4时气温达到最低，此选项错误；
B、最低气温是零下3℃，此选项错误；
C、4点到14点之间气温持续上升，此选项错误；
D、最高气温是8℃，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键．
7．（5分）甲、乙两人以相同的路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习，图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分钟）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了6千米后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确；
②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度＝10÷＝15（千米/时）；故②正确；
④设乙出发x分钟后追上甲，则有：×x＝×（18+x），
解得x＝6，故④正确；
③由④知：乙第一次遇到甲时，所走的距离为：6×＝6（km），故③正确；
所以正确的结论有4个：①②③④，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义结合图象上点的坐标得出是解题关键．
8．（5分）歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响（ ）
A．平均分 B．众数 C．中位数 D．极差
【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：C．
【点评】本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义．
9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B、C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE﹣GF）的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】设AE＝x，则AB＝x，由矩形的性质得出∠BAD＝∠D＝90°，CD＝AB，证明△ADG是等腰直角三角形，得出AG＝AD＝，同理得出CD＝AB＝x，CG＝CD﹣DG＝x﹣1，CG＝GF，得出GF，即可得出结果．
【解答】解：设AE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠D＝90°，CD＝AB，
∵AG平分∠BAD，∴∠DAG＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴DG＝AD＝1，
∴AG＝AD＝，
同理：BE＝AE＝x，CD＝AB＝x，
∴CG＝CD﹣DG＝x﹣1，
同理：CG＝FG，
∴FG＝CG＝x﹣，
∴AE﹣GF＝x﹣（x﹣）＝．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．（5分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【解答】解：当0≤t＜2时，S＝×2t××（4﹣t）＝﹣t2+2t；
当2≤t＜4时，S＝×4××（4﹣t）＝﹣t+4；
只有选项D的图形符合．
故选：D．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
二、填空题（共2题，共10分）
11．（5分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为 16 ．
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．
【解答】解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA＝1，
∴AA1＝OA＝1，OA1＝OA＝；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4．
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8．
∴OA8的长度为＝16．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
12．（5分）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是 ①② ．（请写出正确结论的序号）．
【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE＝∠CBF＝60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF＝AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF＝AD，AE＝DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB＝AC，∠BAC＝120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．
【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF＝AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；
∴∠FEA＝∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB＝∠ADF+∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
．
∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；
若AB＝AC，∠BAC＝120°，则有AE＝AD，∠EAD＝120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，
故答案为：①②．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
三、解答题（共8题，共90分）
13．（8分）计算：．
【分析】首先计算开方、零指数幂和负整数指数幂，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝9﹣2×+1+×2
＝9﹣+1+
＝10．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
14．（10分）若a、b、c为△ABC的三边长，且a、b、c满足等式（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，求△ABC的面积．
【分析】首先根据非负数的性质可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13，
∵52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝×5×12＝30．
【点评】此题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理以及三角形的面积，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
15．（10分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO＝10，BO＝5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k＝；当l2，l3平行时，k＝2；当l1，l3平行时，k＝﹣；故k的值为或2或﹣．
【解答】解：（1）把C（m，4）代入一次函数y＝﹣x+5，可得
4＝﹣m+5，
解得m＝2，
∴C（2，4），
设l2的解析式为y＝ax，则4＝2a，
解得a＝2，
∴l2的解析式为y＝2x；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2，
y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO＝10，BO＝5，
∴S△AOC﹣S△BOC＝×10×4﹣×5×2＝20﹣5＝15；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，
∴当l3经过点C（2，4）时，k＝；
当l2，l3平行时，k＝2；
当l1，l3平行时，k＝﹣；
故k的值为或2或﹣．
【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
16．（10分）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
【分析】（1）由折线图得出选择交通监督的人数，除以总人数得出选择交通监督的百分比，再乘以360°即可求出扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）用选择环境保护的学生总人数减去A，B，C三个班选择环境保护的学生人数即可得出D班选择环境保护的学生人数，进而补全折线图；
（3）用2500乘以样本中选择文明宣传的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）选择交通监督的人数是：12+15+13+14＝54（人），
选择交通监督的百分比是：×100%＝27%，
扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数是：360°×27%＝97.2°；
（2）D班选择环境保护的学生人数是：200×30%﹣15﹣14﹣16＝15（人）．
补全折线统计图如图所示；
（3）2500×（1﹣30%﹣27%﹣5%）＝950（人），
即估计该校选择文明宣传的学生人数是950人．
【点评】本题考查折线统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
17．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形沿AC折叠后，点D落在点E处，且CE与AB交于F．
（1）判断△AFC的形状，并说明理由．
（2）求△AFC的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得出CD＝AB＝8，AB∥CD，∠B＝90°，由折叠的性质得出∠DCA＝∠ECA，CE＝CD＝16，证出∠BAC＝∠ECA，即可得出AF＝CF；
（2）设AF＝x，则CF＝x，BF＝AB﹣AF＝8﹣x，在Rt△BCF中，利用勾股定理，即可得方程x2＝（8﹣x）2+62，解此方程即可求得AF的长，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）△AFC是等腰三角形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠DCA＝∠BAC，
由折叠的性质可得：∠DCA＝∠ECA，CE＝CD＝8，
∴∠BAC＝∠ECA，
∴AF＝CF，
∴△AFC是等腰三角形；
（2）设AF＝x，则CF＝x，BF＝AB﹣AF＝8﹣x，
在Rt△BCF中，CF2＝BF2+BC2，
即x2＝（8﹣x）2+62，
解得：x＝，
∴S△AFC＝AF•BC＝××6＝．
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
18．（12分）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升10微克，接着逐步衰减，8小时时血液中含药量为每毫升6微克，每毫升血液中含药量y（微克），随时间x（小时）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，
（1）求y与x之间的解析式；
（2）如果每毫升血液中含药量不低于5微克时，在治疗疾病时是有效的，那么该药的有效时间是多少？
【分析】（1）直接根据图象上的点的坐标利用待定系数法解得；
（2）根据图象可知每毫升血液中含药量为5微克是在两个函数图象上都有，所以把y＝5，分别代入y＝5x，，求出x的值即可解决问题．
【解答】解：（1）当x≤2时，设y＝k1x，
把（2，10）代入上式，得k1＝5，
∴x≤2时，y＝5x；
当x＞2时，设y＝k2x+b，
把（2，10），（8，6）代入上式，
，解得，
∴；
（2）把y＝5代入y＝5x，得x1＝1；
把y＝5代入，得x2＝，
则x2﹣x1＝小时．
答：这个有效时间为8.5小时．
【点评】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．
19．（14分）如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△CHB≌△BOA（AAS），即可求解；
（2）求出B、E、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣）、（1，﹣1），即可求解；
（3）S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，S△BPN＝NB×k＝NB，即可求解．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣1，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，
∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得：，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝x+2；
（2）同理可得直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣…①，则点E（0，﹣），
直线AD的表达式为：y＝﹣3x+2…②，
联立①②并解得：x＝1，即点D（1，﹣1），
点B、E、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣）、（1，﹣1），
故点E是BD的中点，即BE＝DE；
（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝，
直线AC的表达式为：y＝x+2，则点M（﹣6，0），
S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，
S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝NB，
解得：NB＝，
故点N（﹣，0）或（，0）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、函数表达式得求解、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
20．（16分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（3，0），AB＝6，作∠DBO＝∠ABO，点H为y轴上的点，∠CAH＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．
（1）证明：△ABE为等边三角形；
（2）若CD⊥AB于点F，求线段CD的长；
（3）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1个单位长度每秒，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A路线运动，速度为2个单位长度每秒，到A点处停止运动．两点同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间时△OPM与△OQN全等？
【分析】（1）由“ASA”证得△AOB≌△EOB，得出AO＝EO＝3，BE＝AB＝6，即可得出结论；
（2）由（1）知∠ABE＝∠BEA＝∠EAB＝60°，求得∠AOF＝30°，得出AF＝OA＝，求出AO＝AC，CF＝，BF＝，BD＝9，由勾股定理求得DF＝，即可得出结果；
（3）设运动的时间为t秒，①当点P、Q分别在y轴、x轴上时，②当点P、Q都在y轴上时，③当点P在x轴上，Q在y轴且二者都没有提前停止时，④当点P在x轴上，Q在y轴且点Q提前停止时，列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：在△AOB与△EOB中，，
∴△AOB≌△EOB （ASA），
∴AO＝EO＝3，BE＝AB＝6，
∴AE＝BE＝AB＝6，
∴△ABE为等边三角形；
（2）解：由（1）知∠ABE＝∠BEA＝∠EAB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠AOF＝30°，
∴AF＝OA＝，
∴在Rt△AOF中，OF＝＝＝，
∵∠CAH＝∠BAO＝60°，
∴∠CAF＝60°，∠ACF＝∠AOF＝30°，
∴OA＝2AF，AC＝2AF，
∴AO＝AC，又CD⊥AB，
∴CF＝＝＝，
∵AB＝6，AF＝，
∴BF＝，
在Rt△BDF中，∠DBF＝60°，∠D＝30°，
∴BD＝9，
由勾股定理得：DF＝＝＝，
∴CD＝DF+CF＝+＝；
（3）解：设运动的时间为t秒，
①当点P、Q分别在y轴、x轴上时，，PO＝QO得：，解得（秒）；
②当点P、Q都在y轴上时，，PO＝QO得：，解得（秒）；
③当点P在x轴上，Q在y轴且二者都没有提前停止时，则PO＝QO得：，解得（秒）不合题意，舍去；
④当点P在x轴上，Q在y轴且点Q提前停止时，有t﹣3＝3，解得t＝6（秒）；
综上所述：当两动点运动时间为、、6秒时，△OPM与△OQN全等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质，熟练掌握勾股定理与正确理解题意是解题的关键．
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