沭阳县怀文中学2022届九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份沭阳县怀文中学2022届九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县怀文中学九年级（上）
第一次月考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2x＝x2+1 B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝1 D．x2﹣2xy﹣3y2＝0
2．已知，⊙O的半径为1，点P与O的距离为d，且方程x2﹣2x+d＝0无实数根，则点P在⊙O（　　）
A．内 B．上 C．外 D．无法确定
3．一元二次方程x2+6x+c＝0通过配方后为（x+b）2＝16，则b，c的值分别为（　　）
A．3，﹣7 B．﹣3，7 C．﹣3，﹣7 D．3，﹣2
4．三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．11 B．12 C．11或 13 D．13
5．给出下列命题：①弦是直径；②半圆是弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆上两点间的线段叫弧；⑤过圆心的线段是直径；⑥直角三角形的三个顶点在同一个圆上．其中正确的个数为（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片，如果班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．2x（x+1）＝1980
7．把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（　　）
A．（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 B．10（2x﹣10）（x﹣10）＝1500
C．10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 D．10（x﹣10）（x﹣20）＝1500
8．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．请把正确答案填在答题纸相应的横线上）
9．若（m+1）x2﹣mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　 　．
10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b＝　 　．
11．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为　 　．
12．为了践行“绿水青山就是金山银山”，蜀山区计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是　 　．
13．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝78°，则∠E等于 　 　．

14．设m、n是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 　 　．
15．若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2＝4，则a2+b2的值是　 　．
16．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　 　．
17．已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于　 　．
18．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点对称，当线段AB最短时，点A的坐标为 　 　．

三、解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要文字说明、证明或演算步骤）
19．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣2＝0；
（2）（x+1）2＝3（x+1）．


20．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x2﹣x﹣6＝0．


21．（8分）如图，已知AB为⊙O的弦，且AC＝DB，求证：△OCD是等腰三角形．



22．（8分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最小整数时，求方程的根．


23．（10分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，求p的值．


24．（10分）在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，已知a＝3，b、c分别是方程x2﹣12x+m＝0的两个根，试求△ABC的周长．


25．（10分）我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝　 　＝　 　．﹣a2+12a＝　 　＝　 　．
（2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
（3）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．



26．（10分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　 　；（只填写序号即可）
①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．



27．（12分）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克．请回答：
（1）若该专卖店单价降10元，此时每天的销售量为 　 　千克；
（2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（3）该专卖店销售这种核桃每天能获得最大利润是多少？此时应降价多少元？



28．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．
（1）几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2；
（2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，PQ为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
（3）在点P、Q的运动过程中，几秒后△DPQ是直角三角形？请直接写出答案．

参考答案
1-5 CCADC 6-8 ACD
9. m≠﹣1
10. 2020
11. 25或36
12. 20%
13. 26°
14. 2021
15. 4
16. ﹣3或4
17. 11
18. （﹣3，0）
19．解：（1）∵2x2﹣3x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（2x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或2x+1＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣；
（2）∵（x+1）2＝3（x+1），
∴（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
∴（x+1）（x+1﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x+1﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2．
20．【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝•
＝•
＝，
∵x2﹣x﹣6＝0，
∴x＝3或x＝﹣2，
由分式有意义的条件可知：x不能取﹣2，
故x＝3，
∴原式＝＝﹣．
21．【解答】证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴OC＝OD，
∴△OCD是等腰三角形．
22．【解答】解：（1）由题意得：（2m）2﹣4（m﹣2）（m﹣3）＞0，
解得：且m≠2；
（2）由（1）知，m最小整数为3，
此时方程为：x2+6x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣6．
23．【解答】解：（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0．
∵Δ＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p．
又∵x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝3p2+1，
∴52﹣3（6﹣p2﹣p）＝3p2+1，
∴25﹣18+3p2+3p＝3p2+1，
∴3p＝﹣6，
∴p＝﹣2．
24．【解答】解：当3为腰长时，b＝3或c＝3，将x＝3代入方程得：9﹣36+m＝0，即m＝27，
方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣9）＝0，
解得：x＝3或x＝9，
此时三角形三边为3，3，9，
∵3+3＜9，构不成三角形，舍去；
当3为底时，b＝c，此时Δ＝122﹣4m＝0，
解得：m＝36，
方程为x2﹣12x+36＝0，即x1＝x2＝6，
此时三角形三边为6，6，3，周长为6+6+3＝15，
综上，△ABC的周长为15．
25．【解答】解：（1）根据题意得：a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4；﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36；
故答案为：a2﹣4a+4﹣4；（a﹣2）2﹣4；﹣（a2﹣12a+36）+36；﹣（a﹣6）2+36；
（2）存在，理由为：
∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36≤36，
∴当a＝2时，代数式a2﹣4a存在最小值为﹣4；
（3）根据题意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，
则x＝3时，S最大值为9．
26．【解答】解：（1）①（x﹣1）2＝9
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
②x2+4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝﹣2，
③（x+4）（x﹣2）＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2
所以，属于“同伴方程”的有①②
故答案是：①②；
（2）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为x1＝0，x2＝2，
当相同的根是x＝0时，则m﹣1＝0，解得m＝1；
当相同的根是x＝2时，则4+6+m﹣1＝0，解得m＝﹣9；
综上，m的值为1或﹣9；
（3）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x2＝1，x2＝﹣1；
∵（x+2）（x﹣n）＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝n，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，
∴n＝1或﹣1．
27．【解答】解：（1）∵单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，
∴当专卖店单价降10元时，则平均每天的销售可增加10×10＝100千克，
此时每天销售量为100+100＝200千克，
故答案为：200；
（2）设每千克核桃应降价x元，
根据题意，得：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得：x1＝4，x2＝6，
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60﹣6＝54（元），×100%＝90%．
答：该店应按原售价的九折出售；
（3）设每天获得的利润为W，每千克核桃应降价x元，则
W＝（60﹣x﹣40）（100+10x）
＝﹣10x2+100x+2000
＝﹣10（x﹣5）2+2250．
∵﹣10＜0，
当x＝5时，W有最大值，最大值为2250，
答：该专卖店销售这种核桃每天能获得最大利润是2250元，此时应降价5元．
28．【解答】解：（1）设运动x秒钟后△DPQ的面积为28cm2，则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm，
S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ，
＝AB•BC﹣AD•AP﹣CD•CQ﹣BP•BQ，
＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x）•2x，
＝x2﹣6x+36＝28，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：运动2秒或4秒后△DPQ的面积为28cm2．
（2）假设运动开始后第x秒时，QP＝QD，
∵QP2＝PB2+BQ2＝（6﹣x）2+（2x）2，QD2＝QC2+CD2＝（12﹣2x）2+62，
∴（12﹣2x）2+62＝（6﹣x）2+（2x）2，
整理，得：x2+36x﹣144＝0，
解得：x＝﹣18±6，
∵0＜6﹣18＜6，
∴运动开始后第（6﹣18）秒时，以Q为圆心，PQ为半径的圆正好经过点D．
（3）存在，
①若∠PQD＝90°，则∠DQC+∠PQB＝90°，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠DQC+∠QDC＝90°，
∴∠PQB＝∠QDC，
∴△DQC∽△QPB，
∴，即，
解得：t＝；
②若∠DPQ＝90°，则∠APD+∠BPQ＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠APD+∠ADP＝90°，
∴∠BPQ＝∠ADP，
∴△ADP∽△BPQ，
∴，即，
解得：t＝﹣18（舍）；
③若∠PDQ＝90°，显然不成立；
④当t＝6时，P与B重合，Q与C重合，此时△DPQ是直角三角形；
故当t＝或6时，△DPQ是直角三角形．