还剩10页未读，
继续阅读
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第1课时教案设计
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第1课时教案设计
§1.2 空间向量基本定理第1课时 空间向量基本定理学习目标 1.掌握空间向量基本定理. 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解 .知识点一 空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．思考 零向量能否作为基向量？答案 不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面．知识点二 空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．( × )2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．( √ )3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( √ )4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.( × )一、空间的基底例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq \o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq \o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．解 假设eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))共面．则存在实数λ，μ使得eq \o(OA,\s\up6(→))＝λeq \o(OB,\s\up6(→))＋μeq \o(OC,\s\up6(→))，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1))此方程组无解，∴eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))不共面，∴{eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))}可以作为空间的一个基底．反思感悟 基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．跟踪训练1 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A．1个 B．2个C．3个 D．0个答案 B解析 因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．如图，令a＝eq \o(AB,\s\up6(→))，b＝eq \o(AA1,\s\up6(→))，c＝eq \o(AD,\s\up6(→))，则x＝eq \o(AB1,\s\up6(→))，y＝eq \o(AD1,\s\up6(→))，z＝eq \o(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝eq \o(AC1,\s\up6(→)).可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.答案 0解析 因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝－z，,1＝z.))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))所以x＋y＝0.二、空间向量基本定理例2 如图，在三棱柱ABC －A′B′C′中，已知eq \o(AA′,\s\up6(——→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，eq \o(AC,\s\up6(→))＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量eq \o(AM,\s\up6(→))，eq \o(AN,\s\up6(→)).解 连接A′N(图略)．eq \o(AM,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(BC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CC′,\s\up6(——→)))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(CC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \o(AA′,\s\up6(——→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AA′,\s\up6(——→))＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)．eq \o(AN,\s\up6(→))＝eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \o(A′N,\s\up6(———→))＝eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)(eq \o(A′B′,\s\up6(———→))＋eq \o(A′C′,\s\up6(———→)))＝eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.延伸探究若把本例中“eq \o(AA′,\s\up6(——→))＝a”改为“eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝a”，其他条件不变，则结果是什么？解 因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，所以eq \o(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC′,\s\up6(——→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.eq \o(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB′,\s\up6(——→))＋eq \o(AC′,\s\up6(——→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BB′,\s\up6(——→))＋eq \o(AC′,\s\up6(——→)))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(CC′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AC′,\s\up6(——→))－eq \o(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC′,\s\up6(——→))－eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b＋a－eq \f(1,2)c.反思感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．跟踪训练2 如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OC,\s\up6(→))＝b，eq \o(OP,\s\up6(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq \o(BF,\s\up6(→))，eq \o(BE,\s\up6(→))，eq \o(AE,\s\up6(→))，eq \o(EF,\s\up6(→)).解 连接BO，则eq \o(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BO,\s\up6(→))＋eq \o(OP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(AO,\s\up6(→))＋eq \o(OP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(c－b－a)＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)eq \o(CP,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)(eq \o(CO,\s\up6(→))＋eq \o(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \o(AP,\s\up6(→))＋eq \o(PE,\s\up6(→))＝eq \o(AO,\s\up6(→))＋eq \o(OP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(PO,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq \f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a.1．下列结论错误的是( )A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底D．若eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面答案 C解析 由基底的概念可知A，B，D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误．2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2aC．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c答案 C解析 对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面．故选C.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是( )A.eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→)) B.eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AA1,\s\up6(—→))，eq \o(AB1,\s\up6(—→))C.eq \o(D1A1,\s\up6(—→))，eq \o(D1C1,\s\up6(—→))，eq \o(D1D,\s\up6(—→)) D.eq \o(AC1,\s\up6(—→))，eq \o(A1C,\s\up6(—→))，eq \o(CC1,\s\up6(—→))答案 C解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，只有C中的三个向量eq \o(D1A1,\s\up6(—→))，eq \o(D1C1,\s\up6(—→))，eq \o(D1D,\s\up6(—→))不共面，可以作为空间的一个基底．4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq \o(AO1,\s\up6(—→))，eq \o(AO2,\s\up6(—→))，eq \o(AO3,\s\up6(—→))}为基底，eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \o(AO1,\s\up6(—→))＋yeq \o(AO2,\s\up6(—→))＋zeq \o(AO3,\s\up6(—→))，则( )A．x＝y＝z＝eq \f(1,2) B．x＝y＝z＝1C．x＝y＝z＝eq \f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2答案 B解析 eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BB′,\s\up6(——→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AA′,\s\up6(——→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AB′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)eq \o(AD′,\s\up6(——→))＝eq \o(AO1,\s\up6(—→))＋eq \o(AO2,\s\up6(—→))＋eq \o(AO3,\s\up6(—→))，对比eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \o(AO1,\s\up6(—→))＋yeq \o(AO2,\s\up6(—→))＋zeq \o(AO3,\s\up6(—→))，得x＝y＝z＝1.5．在四面体O－ABC中，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \o(OE,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)答案 eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c解析 eq \o(OE,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)×(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.1．知识清单：(1)空间的基底．(2)空间向量基本定理．2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件．(2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心．1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案 B解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇏q，q⇒p.2．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量eq \o(MA,\s\up6(→))，eq \o(MB,\s\up6(→))，eq \o(MC,\s\up6(→))成为空间的一个基底的是( )A.eq \o(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OC,\s\up6(→))B.eq \o(MA,\s\up6(→))＝eq \o(MB,\s\up6(→))＋eq \o(MC,\s\up6(→))C.eq \o(OM,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))D.eq \o(MA,\s\up6(→))＝2eq \o(MB,\s\up6(→))－eq \o(MC,\s\up6(→))答案 C解析 对于选项A，由eq \o(OM,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OB,\s\up6(→))＋zeq \o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知eq \o(MA,\s\up6(→))，eq \o(MB,\s\up6(→))，eq \o(MC,\s\up6(→))共面；对于选项B，D，易知eq \o(MA,\s\up6(→))，eq \o(MB,\s\up6(→))，eq \o(MC,\s\up6(→))共面，故选C.3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \o(OD,\s\up6(→))可用a，b，c表示为( )A．a－b＋2cB．a－b－2cC．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋cD.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c答案 D解析 eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c.4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则( )A．a，p，q是空间的一组基底B．b，p，q是空间的一组基底C．c，p，q是空间的一组基底D．p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底答案 C解析 假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得(k1＋k2)a＋(k1－k2)b－c＝0，这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一组基底，故选C.5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AA1,\s\up6(—→))＝c，eq \o(BC,\s\up6(→))＝b，则下列向量与eq \o(BM,\s\up6(→))相等的是( )A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋cB.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋cC．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋cD.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c答案 A解析 eq \o(BM,\s\up6(→))＝eq \o(BB1,\s\up6(—→))＋eq \o(B1M,\s\up6(—→))＝eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \o(B1A1,\s\up6(—→))＋eq \o(B1C1,\s\up6(—→)))＝eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b)＋c＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.6．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq \o(GE,\s\up6(→))＝________.答案 －eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,12)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \o(AD,\s\up6(→))解析 设AC的中点为F，则eq \o(GE,\s\up6(→))＝eq \o(GB,\s\up6(→))＋eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(FB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \o(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→)))＋eq \f(3,4)eq \o(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up6(→))－2eq \o(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(3,4)(eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,12)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \o(AD,\s\up6(→)).7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(AB1,\s\up6(→))，eq \o(AD1,\s\up6(—→))作为基向量，则eq \o(AC1,\s\up6(—→))＝____________.答案 eq \f(1,2)(eq \o(AD1,\s\up6(—→))＋eq \o(AB1,\s\up6(—→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))解析 ∵2eq \o(AC1,\s\up6(—→))＝2eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋2eq \o(AD,\s\up6(→))＋2eq \o(AB,\s\up6(→))＝(eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＋(eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋eq \o(AB,\s\up6(→)))＋(eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→)))＝eq \o(AD1,\s\up6(—→))＋eq \o(AB1,\s\up6(—→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))，∴eq \o(AC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AD1,\s\up6(—→))＋eq \o(AB1,\s\up6(—→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))．8.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝1，四边形ABCD为正方形，以{eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(AP,\s\up6(→))}为基底，则eq \o(MN,\s\up6(→))＝________.答案 eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AP,\s\up6(→))解析 eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \o(MA,\s\up6(→))＋eq \o(AP,\s\up6(→))＋eq \o(PN,\s\up6(→))＝eq \o(MA,\s\up6(→))＋eq \o(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AP,\s\up6(→)).9．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，且eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OC,\s\up6(→))＝b，eq \o(OO′,\s\up6(——→))＝c.(1)用a，b，c表示向量eq \o(AC′,\s\up6(——→))；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq \o(GH,\s\up6(→)).解 (1)eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CC′,\s\up6(——→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OO′,\s\up6(——→))＝b＋c－a.(2)eq \o(GH,\s\up6(→))＝eq \o(GO,\s\up6(→))＋eq \o(OH,\s\up6(→))＝－eq \o(OG,\s\up6(→))＋eq \o(OH,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC′,\s\up6(——→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(OB′,\s\up6(——→))＋eq \o(OO′,\s\up6(——→)))＝－eq \f(1,2)(a＋b＋c＋b)＋eq \f(1,2)(a＋b＋c＋c)＝eq \f(1,2)(c－b)．10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up6(—→))＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．(1)用基底{a，b，c}表示向量eq \o(DB1,\s\up6(—→))，eq \o(BE,\s\up6(→))，eq \o(AF,\s\up6(→))；(2)化简eq \o(DD1,\s\up6(—→))＋eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))，并在图中标出化简结果．解 (1)eq \o(DB1,\s\up6(—→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))＋eq \o(CB1,\s\up6(—→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))＋eq \o(BB1,\s\up6(—→))－eq \o(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c.eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋eq \o(A1E,\s\up6(—→))＝－a＋eq \f(1,2)b＋c.eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BF,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)(b＋c)＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.(2)eq \o(DD1,\s\up6(—→))＋eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \o(DD1,\s\up6(—→))＋(eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→)))＝eq \o(DD1,\s\up6(—→))＋eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \o(DD1,\s\up6(—→))＋eq \o(D1A1,\s\up6(—→))＝eq \o(DA1,\s\up6(—→)).如图，连接DA1，则eq \o(DA1,\s\up6(—→))即为所求．11．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且eq \o(PM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(PC,\s\up6(→))，eq \o(PN,\s\up6(→))＝eq \o(ND,\s\up6(→))，则满足eq \o(MN,\s\up6(→))＝xeq \o(AB,\s\up6(→))＋yeq \o(AD,\s\up6(→))＋zeq \o(AP,\s\up6(→))的实数x，y，z的值分别为( )A．－eq \f(2,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,6) B.eq \f(2,3)，－eq \f(1,6)，eq \f(1,6)C．－eq \f(2,3)，eq \f(1,6)，－eq \f(1,6) D．－eq \f(2,3)，－eq \f(1,6)，eq \f(1,6)答案 D解析 取PC的中点E，连接NE，则eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \o(EN,\s\up6(→))－eq \o(EM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(CD,\s\up6(→))－(eq \o(PM,\s\up6(→))－eq \o(PE,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(PC,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(PC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \o(PC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)(－eq \o(AP,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AP,\s\up6(→))，比较知x＝－eq \f(2,3)，y＝ －eq \f(1,6)，z＝eq \f(1,6)，故选D.12.如图，点M为OA的中点，{eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))，eq \o(OD,\s\up6(→))}为空间的一个基底，eq \o(DM,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OC,\s\up6(→))＋zeq \o(OD,\s\up6(→))，则有序实数组(x，y，z)＝________.答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0， －1))解析 eq \o(DM,\s\up6(→))＝eq \o(OM,\s\up6(→))－eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OD,\s\up6(→))，所以有序实数组(x，y，z)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0， －1)).13．已知四面体ABCD中，eq \o(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq \o(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则eq \o(EF,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)答案 3a＋3b－5c解析 如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \o(GF,\s\up6(→))－eq \o(GE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(5a＋6b－8c)＋eq \f(1,2)(a－2c)＝3a＋3b－5c.14．如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \o(OG,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)答案 eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c解析 eq \o(OG,\s\up6(→))＝eq \o(OM,\s\up6(→))＋eq \o(MG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(MA,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BN,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))－\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up6(→))－\o(OB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,6)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c.15．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq \o(OG,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OB,\s\up6(→))＋zeq \o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为( )A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))答案 A解析 如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up6(→))－2eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))，eq \o(AG1,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(OB,\s\up6(→))－2eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))，∵eq \o(OG,\s\up6(→))＝3eq \o(GG1,\s\up6(—→))＝3(eq \o(OG1,\s\up6(—→))－eq \o(OG,\s\up6(→)))，∴eq \o(OG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \o(OG1,\s\up6(—→))＝eq \f(3,4)(eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AG1,\s\up6(—→)))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,4)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \o(OC,\s\up6(→))，故选A.16.如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，用向量a，b，c表示向量eq \o(GH,\s\up6(→)).解 因为eq \o(OG,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AG,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(OD,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)，又eq \o(OH,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(b＋c)，所以eq \o(GH,\s\up6(→))＝eq \o(OH,\s\up6(→))－eq \o(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(b＋c)－eq \f(1,3)(a＋b＋c)＝－eq \f(1,3)a.
§1.2 空间向量基本定理第1课时 空间向量基本定理学习目标 1.掌握空间向量基本定理. 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解 .知识点一 空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．思考 零向量能否作为基向量？答案 不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面．知识点二 空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．( × )2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．( √ )3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( √ )4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.( × )一、空间的基底例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq \o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq \o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．解 假设eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))共面．则存在实数λ，μ使得eq \o(OA,\s\up6(→))＝λeq \o(OB,\s\up6(→))＋μeq \o(OC,\s\up6(→))，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1))此方程组无解，∴eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))不共面，∴{eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))}可以作为空间的一个基底．反思感悟 基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．跟踪训练1 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A．1个 B．2个C．3个 D．0个答案 B解析 因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．如图，令a＝eq \o(AB,\s\up6(→))，b＝eq \o(AA1,\s\up6(→))，c＝eq \o(AD,\s\up6(→))，则x＝eq \o(AB1,\s\up6(→))，y＝eq \o(AD1,\s\up6(→))，z＝eq \o(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝eq \o(AC1,\s\up6(→)).可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.答案 0解析 因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝－z，,1＝z.))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))所以x＋y＝0.二、空间向量基本定理例2 如图，在三棱柱ABC －A′B′C′中，已知eq \o(AA′,\s\up6(——→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，eq \o(AC,\s\up6(→))＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量eq \o(AM,\s\up6(→))，eq \o(AN,\s\up6(→)).解 连接A′N(图略)．eq \o(AM,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(BC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CC′,\s\up6(——→)))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(CC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \o(AA′,\s\up6(——→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AA′,\s\up6(——→))＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)．eq \o(AN,\s\up6(→))＝eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \o(A′N,\s\up6(———→))＝eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)(eq \o(A′B′,\s\up6(———→))＋eq \o(A′C′,\s\up6(———→)))＝eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.延伸探究若把本例中“eq \o(AA′,\s\up6(——→))＝a”改为“eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝a”，其他条件不变，则结果是什么？解 因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，所以eq \o(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC′,\s\up6(——→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.eq \o(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB′,\s\up6(——→))＋eq \o(AC′,\s\up6(——→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BB′,\s\up6(——→))＋eq \o(AC′,\s\up6(——→)))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(CC′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AC′,\s\up6(——→))－eq \o(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC′,\s\up6(——→))－eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b＋a－eq \f(1,2)c.反思感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．跟踪训练2 如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OC,\s\up6(→))＝b，eq \o(OP,\s\up6(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq \o(BF,\s\up6(→))，eq \o(BE,\s\up6(→))，eq \o(AE,\s\up6(→))，eq \o(EF,\s\up6(→)).解 连接BO，则eq \o(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BO,\s\up6(→))＋eq \o(OP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(AO,\s\up6(→))＋eq \o(OP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(c－b－a)＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)eq \o(CP,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)(eq \o(CO,\s\up6(→))＋eq \o(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \o(AP,\s\up6(→))＋eq \o(PE,\s\up6(→))＝eq \o(AO,\s\up6(→))＋eq \o(OP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(PO,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq \f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a.1．下列结论错误的是( )A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底D．若eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面答案 C解析 由基底的概念可知A，B，D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误．2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2aC．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c答案 C解析 对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面．故选C.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是( )A.eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→)) B.eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AA1,\s\up6(—→))，eq \o(AB1,\s\up6(—→))C.eq \o(D1A1,\s\up6(—→))，eq \o(D1C1,\s\up6(—→))，eq \o(D1D,\s\up6(—→)) D.eq \o(AC1,\s\up6(—→))，eq \o(A1C,\s\up6(—→))，eq \o(CC1,\s\up6(—→))答案 C解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，只有C中的三个向量eq \o(D1A1,\s\up6(—→))，eq \o(D1C1,\s\up6(—→))，eq \o(D1D,\s\up6(—→))不共面，可以作为空间的一个基底．4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq \o(AO1,\s\up6(—→))，eq \o(AO2,\s\up6(—→))，eq \o(AO3,\s\up6(—→))}为基底，eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \o(AO1,\s\up6(—→))＋yeq \o(AO2,\s\up6(—→))＋zeq \o(AO3,\s\up6(—→))，则( )A．x＝y＝z＝eq \f(1,2) B．x＝y＝z＝1C．x＝y＝z＝eq \f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2答案 B解析 eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BB′,\s\up6(——→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AA′,\s\up6(——→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(AA′,\s\up6(——→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AB′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)eq \o(AD′,\s\up6(——→))＝eq \o(AO1,\s\up6(—→))＋eq \o(AO2,\s\up6(—→))＋eq \o(AO3,\s\up6(—→))，对比eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \o(AO1,\s\up6(—→))＋yeq \o(AO2,\s\up6(—→))＋zeq \o(AO3,\s\up6(—→))，得x＝y＝z＝1.5．在四面体O－ABC中，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \o(OE,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)答案 eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c解析 eq \o(OE,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)×(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.1．知识清单：(1)空间的基底．(2)空间向量基本定理．2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件．(2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心．1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案 B解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇏q，q⇒p.2．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量eq \o(MA,\s\up6(→))，eq \o(MB,\s\up6(→))，eq \o(MC,\s\up6(→))成为空间的一个基底的是( )A.eq \o(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OC,\s\up6(→))B.eq \o(MA,\s\up6(→))＝eq \o(MB,\s\up6(→))＋eq \o(MC,\s\up6(→))C.eq \o(OM,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))D.eq \o(MA,\s\up6(→))＝2eq \o(MB,\s\up6(→))－eq \o(MC,\s\up6(→))答案 C解析 对于选项A，由eq \o(OM,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OB,\s\up6(→))＋zeq \o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知eq \o(MA,\s\up6(→))，eq \o(MB,\s\up6(→))，eq \o(MC,\s\up6(→))共面；对于选项B，D，易知eq \o(MA,\s\up6(→))，eq \o(MB,\s\up6(→))，eq \o(MC,\s\up6(→))共面，故选C.3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \o(OD,\s\up6(→))可用a，b，c表示为( )A．a－b＋2cB．a－b－2cC．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋cD.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c答案 D解析 eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c.4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则( )A．a，p，q是空间的一组基底B．b，p，q是空间的一组基底C．c，p，q是空间的一组基底D．p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底答案 C解析 假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得(k1＋k2)a＋(k1－k2)b－c＝0，这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一组基底，故选C.5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AA1,\s\up6(—→))＝c，eq \o(BC,\s\up6(→))＝b，则下列向量与eq \o(BM,\s\up6(→))相等的是( )A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋cB.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋cC．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋cD.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c答案 A解析 eq \o(BM,\s\up6(→))＝eq \o(BB1,\s\up6(—→))＋eq \o(B1M,\s\up6(—→))＝eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \o(B1A1,\s\up6(—→))＋eq \o(B1C1,\s\up6(—→)))＝eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b)＋c＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.6．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq \o(GE,\s\up6(→))＝________.答案 －eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,12)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \o(AD,\s\up6(→))解析 设AC的中点为F，则eq \o(GE,\s\up6(→))＝eq \o(GB,\s\up6(→))＋eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(FB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \o(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→)))＋eq \f(3,4)eq \o(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up6(→))－2eq \o(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(3,4)(eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,12)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \o(AD,\s\up6(→)).7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(AB1,\s\up6(→))，eq \o(AD1,\s\up6(—→))作为基向量，则eq \o(AC1,\s\up6(—→))＝____________.答案 eq \f(1,2)(eq \o(AD1,\s\up6(—→))＋eq \o(AB1,\s\up6(—→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))解析 ∵2eq \o(AC1,\s\up6(—→))＝2eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋2eq \o(AD,\s\up6(→))＋2eq \o(AB,\s\up6(→))＝(eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＋(eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋eq \o(AB,\s\up6(→)))＋(eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→)))＝eq \o(AD1,\s\up6(—→))＋eq \o(AB1,\s\up6(—→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))，∴eq \o(AC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AD1,\s\up6(—→))＋eq \o(AB1,\s\up6(—→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))．8.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝1，四边形ABCD为正方形，以{eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(AP,\s\up6(→))}为基底，则eq \o(MN,\s\up6(→))＝________.答案 eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AP,\s\up6(→))解析 eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \o(MA,\s\up6(→))＋eq \o(AP,\s\up6(→))＋eq \o(PN,\s\up6(→))＝eq \o(MA,\s\up6(→))＋eq \o(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AP,\s\up6(→)).9．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，且eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OC,\s\up6(→))＝b，eq \o(OO′,\s\up6(——→))＝c.(1)用a，b，c表示向量eq \o(AC′,\s\up6(——→))；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq \o(GH,\s\up6(→)).解 (1)eq \o(AC′,\s\up6(——→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CC′,\s\up6(——→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OO′,\s\up6(——→))＝b＋c－a.(2)eq \o(GH,\s\up6(→))＝eq \o(GO,\s\up6(→))＋eq \o(OH,\s\up6(→))＝－eq \o(OG,\s\up6(→))＋eq \o(OH,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC′,\s\up6(——→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(OB′,\s\up6(——→))＋eq \o(OO′,\s\up6(——→)))＝－eq \f(1,2)(a＋b＋c＋b)＋eq \f(1,2)(a＋b＋c＋c)＝eq \f(1,2)(c－b)．10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up6(—→))＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．(1)用基底{a，b，c}表示向量eq \o(DB1,\s\up6(—→))，eq \o(BE,\s\up6(→))，eq \o(AF,\s\up6(→))；(2)化简eq \o(DD1,\s\up6(—→))＋eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))，并在图中标出化简结果．解 (1)eq \o(DB1,\s\up6(—→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))＋eq \o(CB1,\s\up6(—→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))＋eq \o(BB1,\s\up6(—→))－eq \o(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c.eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(AA1,\s\up6(—→))＋eq \o(A1E,\s\up6(—→))＝－a＋eq \f(1,2)b＋c.eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BF,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)(b＋c)＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.(2)eq \o(DD1,\s\up6(—→))＋eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \o(DD1,\s\up6(—→))＋(eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→)))＝eq \o(DD1,\s\up6(—→))＋eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \o(DD1,\s\up6(—→))＋eq \o(D1A1,\s\up6(—→))＝eq \o(DA1,\s\up6(—→)).如图，连接DA1，则eq \o(DA1,\s\up6(—→))即为所求．11．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且eq \o(PM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(PC,\s\up6(→))，eq \o(PN,\s\up6(→))＝eq \o(ND,\s\up6(→))，则满足eq \o(MN,\s\up6(→))＝xeq \o(AB,\s\up6(→))＋yeq \o(AD,\s\up6(→))＋zeq \o(AP,\s\up6(→))的实数x，y，z的值分别为( )A．－eq \f(2,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,6) B.eq \f(2,3)，－eq \f(1,6)，eq \f(1,6)C．－eq \f(2,3)，eq \f(1,6)，－eq \f(1,6) D．－eq \f(2,3)，－eq \f(1,6)，eq \f(1,6)答案 D解析 取PC的中点E，连接NE，则eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \o(EN,\s\up6(→))－eq \o(EM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(CD,\s\up6(→))－(eq \o(PM,\s\up6(→))－eq \o(PE,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(PC,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(PC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \o(PC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)(－eq \o(AP,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AP,\s\up6(→))，比较知x＝－eq \f(2,3)，y＝ －eq \f(1,6)，z＝eq \f(1,6)，故选D.12.如图，点M为OA的中点，{eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))，eq \o(OD,\s\up6(→))}为空间的一个基底，eq \o(DM,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OC,\s\up6(→))＋zeq \o(OD,\s\up6(→))，则有序实数组(x，y，z)＝________.答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0， －1))解析 eq \o(DM,\s\up6(→))＝eq \o(OM,\s\up6(→))－eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OD,\s\up6(→))，所以有序实数组(x，y，z)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0， －1)).13．已知四面体ABCD中，eq \o(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq \o(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则eq \o(EF,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)答案 3a＋3b－5c解析 如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \o(GF,\s\up6(→))－eq \o(GE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(5a＋6b－8c)＋eq \f(1,2)(a－2c)＝3a＋3b－5c.14．如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \o(OG,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)答案 eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c解析 eq \o(OG,\s\up6(→))＝eq \o(OM,\s\up6(→))＋eq \o(MG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(MA,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BN,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))－\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up6(→))－\o(OB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,6)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c.15．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq \o(OG,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OB,\s\up6(→))＋zeq \o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为( )A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))答案 A解析 如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up6(→))－2eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))，eq \o(AG1,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(OB,\s\up6(→))－2eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))，∵eq \o(OG,\s\up6(→))＝3eq \o(GG1,\s\up6(—→))＝3(eq \o(OG1,\s\up6(—→))－eq \o(OG,\s\up6(→)))，∴eq \o(OG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \o(OG1,\s\up6(—→))＝eq \f(3,4)(eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AG1,\s\up6(—→)))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,4)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \o(OC,\s\up6(→))，故选A.16.如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，用向量a，b，c表示向量eq \o(GH,\s\up6(→)).解 因为eq \o(OG,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AG,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(OD,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)，又eq \o(OH,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(b＋c)，所以eq \o(GH,\s\up6(→))＝eq \o(OH,\s\up6(→))－eq \o(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(b＋c)－eq \f(1,3)(a＋b＋c)＝－eq \f(1,3)a.
相关教案
人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精品教案设计： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精品教案设计，共8页。
选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第1课时教学设计： 这是一份选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第1课时教学设计，共3页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，课外作业等内容，欢迎下载使用。
高中人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理教案： 这是一份高中人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理教案，共11页。教案主要包含了情境导学，探究新知，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。
