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江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-09解答题（提升题）
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江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-09解答题（提升题）
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•常州一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点D（m，），过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB＝4．
（1）点A的坐标为 （用含m的式子表示）；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）设直线AD的解析式为y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）．则不等式﹣（ax+b）＞0的解集是 ．
三．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2022•海陵区一模）如图，动点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y＝的图象于点A、B，连接AB、OA、OB，设点P横坐标为a．
（1）直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；
（2）点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在平面内有一点Q（，1），且点Q始终在△PAB的内部（不包含边），求a的取值范围．
四．二次函数综合题（共9小题）
4．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
5．（2022•崇川区一模）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴纵对称．其中一点叫做另一点关于x轴的纵对称点．如，点（﹣2，3），（1，﹣3）关于x轴纵对称．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1）．
（1）下列各点中，与点A关于x轴纵对称的点是 （只填序号）；
①（3，﹣1）；
②（﹣2，1）；
③（2，﹣1）；
④（﹣1，﹣1）．
（2）若点A关于x轴的纵对称点B恰好落在直线y＝kx+3k+1上，△AOB的面积为3，求k的值；
（3）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，且这两个点之间的距离不超过6，请直接写出a的取值范围．
6．（2022•滨湖区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），抛物线的顶点为P，对称轴交BC于点M，连接PC、PB，△PCM与△PBM的面积比为1：2；
（1）①抛物线的对称轴是 ；②求抛物线的函数表达式．
（2）若点Q为抛物线第一象限图象上的一点，作QN⊥x轴交BC于点N，当QN+NB取得最大值时，求以Q、N、B、G为顶点的平行四边形顶点G的坐标．
7．（2022•邳州市一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），且OB＝OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）如图2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接写出点N的坐标．
8．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点B（3，0），P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线BC．
（1）点A的坐标为 ；
（2）若射线CB平分∠PCO，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，如果点D（m，0）是线段AB（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线BC和抛物线于E、F两点，当m为何值时，△CEF为直角三角形？
9．（2022•仪征市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）．
（1）若二次函数解析式为y＝﹣x2+1，此函数图象经过A（x1，m）、B（x2，n），且m＞n，则x1＝ ，x2＝ ；（找出一组符合条件的x1、x2的值即可）
（2）若b＝﹣4a＜0，函数图象经过P（，y1）、Q（，y2）、R（﹣，y3），请直接写出y1、y2、y3的大小关系（用“＜”连接）；
（3）若a：b：c＝1：（﹣4）：3，函数图象经过D（x1，m）、E（x2，m）、F（0，3），且x1＜x2，当2≤x2﹣x1≤3，求m的取值范围．
10．（2022•锡山区一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2022•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a，c为常数）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C，点D在线段BC上，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；
（3）M是抛物线对称轴上一点，N在抛物线上，直接写出所有以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时的N的坐标，并把其中一个求N坐标的过程写出来．
12．（2022•常州一模）在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）．连接OM，作CD∥OM交AM的延长线于点D．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）直线AM上是否存在点P，使得△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2？如果存在请求出点P的坐标，如果不存在请说明理由．
五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•武进区一模）如图，▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE，CF．
（1）求证：∠DAE＝∠BCF．
（2）连接AC交于BD点O，求证：AC，EF互相平分．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•仪征市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
七．四边形综合题（共7小题）
15．（2022•江都区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）．
（1）在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；
（2）连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD；
（3）在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝ ．
16．（2022•宜兴市一模）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（8，0），点B（0，6），点P在BC边上从点B运动到点C（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B'和折痕OP．
（1）如图①，连接CB'，当CB'长度最小时，求点P的坐标；
（2）①如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB'上，得点C'和折痕PQ，请问AQ的长度有没有最小值，若有，诸求出这个最小值以及此时点P的坐标；若无，请说明理由．②请直接写出点Q的运动路径长．
17．（2022•鼓楼区一模）一道作图题：“求作一个▱ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线平分∠BAD．”
小明的思考：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．
例如，假设▱ABCD即为所求作，则AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
又AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE．
∴∠BAE＝∠BEA．
∴BA＝BE．（①）
∵E是边BC的中点，
∴……
再倒过来，只要作出的▱ABCD满足BC＝②BA即可．
（1）填空：① （填推理依据）；② ．
（2）参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个▱ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线与对角线BD垂直；（要求：保留作图的痕迹，无需写出文字说明．）
（3）问题（2）所作的▱ABCD中的BC和BA是否也有和（1）类似的数量关系？设BC＝kBA（k是常数），若k是定值，直接写出k的值；若不是，试直接写出k的取值范围．
18．（2022•扬州一模）【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
【知识方法】
（1）如图1，AE＝DE，BE＝CE，DE⊥AC交AC于点E，则AB与CD的关系是 ；
【类比迁移】
（2）四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点P是AD边上的一个动点．
①如图2，过点C作CE⊥CP，CE：CP＝1：2，连接BP、DE．判断线段BP与DE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②如图3，以CP为边在CP的右侧作正方形CPFE，连接DF、DE，则△DEF面积的最小值为 ；
【拓展应用】
（3）四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点P是CD边上的一个动点（与点C、D不重合），连接BP，将BP绕点P顺时针旋转90°到EP，EP交AD于点G，将CP绕点P顺时针旋转90°到FP，连接AF、GF．求四边形AEGF面积的最小值．
19．（2022•锡山区一模）【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】（1）如图1，对余四边形中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC，若AC＝AB，则cos∠ABC＝ ，sin∠CAD＝ ．
（2）如图2，凸四边形中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．
【拓展提升】（3）在平面直角坐标中，A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围 ．
20．（2022•海陵区一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m（m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC于点G．
（1）求证：EG＝BG；
（2）若m＝2．
①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；
②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；
（3）随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BG﹣AE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
21．（2022•兴化市一模）已知矩形ABCD中，AB＝6，M是AB的中点，N是BC边上一动点，直线m垂直平分MN，垂足为O，如图1，当点N与点C重合时，直线m恰好经过点D．
（1）求BC长；
（2）如图2，过点N作BC的垂线n，分别交直线m、AD于点E、F．
①当BN＝4时，求EN长；
②如图3，连接DM，交直线n于点G，在点N由B向C运动的过程中，求GE长的最大值．
八．切线的性质（共2小题）
22．（2022•崇川区一模）如图，AB是⊙O直径，CG是⊙O的切线，C为切点，BD⊥CG于D，DB的延长线交⊙O于点E，连接BC，CE．
（1）求证：BC平分∠ABD；
（2）若AB＝10，sinE＝，求CD长．
23．（2022•常州一模）如图（1），∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．
九．圆的综合题（共2小题）
24．（2022•秦淮区一模）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．
【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是 ，依据是 ．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝1，BC＝2，∠B＝90°，则PM的长为 ．
25．（2022•玄武区一模）旋转的思考
【探索发现】
（1）已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．小美，小丽探索发现了下列结论．
小美的发现如图①，连接对应点BB′，CC′，则＝．
小丽的发现如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B′C′与⊙A相切．
（ⅰ）请证明小美所发现的结论．
（ⅱ）如图②，小丽过点A作AD′⊥B′C′，垂足为D′．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【问题解决】
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝，AC＝2，M是AC的中点，将△ABC绕点M逆时针旋转得到△A'B'C'．
（ⅰ）如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB'，则BB'的长为 ．
（ⅱ）在旋转过程中，若边B'C'所在直线l恰好经过点B，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法）
【拓展研究】
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB'，CC'交于点P，则BP的最大值为 ．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
26．（2022•崇川区一模）矩形ABCD中，AB＜BC，AB＝6，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上．
（1）如图，当点E在边CD上时，若BC＝10，DF的长为 ；若AF•DF＝9时，求DF的长；
（2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长．
一十一．相似形综合题（共2小题）
27．（2022•常州一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”；
（2）请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．
28．（2022•邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线OM、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．
（1）如图1所示，当点G在ED上，若OG＝DE，则∠EDF＝ °；
（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；
（3）若DG＝2，AG＝4，求DF的长．
江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-09解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•常州一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点D（m，），过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB＝4．
（1）点A的坐标为 （m﹣2，4） （用含m的式子表示）；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）设直线AD的解析式为y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）．则不等式﹣（ax+b）＞0的解集是 0＜x＜1或x＞3 ．
【解答】解：（1）D（m，），BC＝2，
∴OB＝m﹣2，
又∵AB＝4，AB⊥OC，
∴A（m﹣2，4），
故答案为：（m﹣2，4）；
（2）反比例函数y＝（x＞0）的图象上有A，D两点，
∴k＝4×（m﹣2）＝m，
解得m＝3，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（3）∵A（1，4），D（3，），
∴不等式﹣（ax+b）＞0的解集为0＜x＜1或x＞3．
故答案为：0＜x＜1或x＞3．
三．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2022•海陵区一模）如图，动点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y＝的图象于点A、B，连接AB、OA、OB，设点P横坐标为a．
（1）直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；
（2）点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在平面内有一点Q（，1），且点Q始终在△PAB的内部（不包含边），求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵点P在函数y＝（x＞0）的图象上，点P横坐标为a．
∴P（a，），
∵PA∥x轴，PB∥y轴，
∴B（a，﹣），A（﹣）；
（2）是定值，理由如下：
∵PA＝a﹣（﹣）＝，PB＝﹣（﹣）＝，
∴△APB的面积为×PA×PB＝＝，
∵S四边形AOBP＝3+1＝4，
∴△AOB的面积为定值4﹣＝；
（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点B（a，﹣），A（﹣）代入得，
k＝﹣，b＝，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣，
当x＝时，y＝﹣，
∵点Q始终在△PAB的内部，
∴﹣＜1，且＞1，且a＞，
解得a≠1，且＜a＜3，
综上：＜a＜3且a≠1．
四．二次函数综合题（共9小题）
4．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为 7 ；
（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴y≥0，
∴y＝x2+2x+1没有上界函数；
∵y＝2x﹣3（x≤5），
∴y≤7，
∴y＝2x﹣3（x≤5）有上界函数，上确界为7，
故答案为：②，7；
（2）∵y＝（a≤x≤b，a＞0），
∴当x＝a时，y有最大值，当x＝b时，y有最小值，
∴≤y≤，
∵函数上确界是b+1，
∴＝b+1，
∵函数的最小值为2，
∴＝2，
∴b＝3，
∴a＝；
（3）∵y＝﹣x2+2ax+2＝﹣（x﹣a）2+a2+2，
∴当x＝a时，y有最大值a2+2，
①a≤﹣1时，x＝﹣1，y有最大值1﹣2a，
∵6为上确界，
∴1﹣2a＝6，
∴a＝﹣；
②a≥3时，x＝3时，y有最大值6a﹣7，
∵6为上确界，
∴6a﹣7＝6，
∴a＝（舍）；
③﹣1＜a＜3时，x＝a时，y有最大值a2+2，
∵6为上确界，
∴a2+2＝6，
∴a＝2或a＝﹣2（舍）；
综上所述：a的值为﹣或2．
5．（2022•崇川区一模）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴纵对称．其中一点叫做另一点关于x轴的纵对称点．如，点（﹣2，3），（1，﹣3）关于x轴纵对称．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1）．
（1）下列各点中，与点A关于x轴纵对称的点是 ①④ （只填序号）；
①（3，﹣1）；
②（﹣2，1）；
③（2，﹣1）；
④（﹣1，﹣1）．
（2）若点A关于x轴的纵对称点B恰好落在直线y＝kx+3k+1上，△AOB的面积为3，求k的值；
（3）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，且这两个点之间的距离不超过6，请直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：与点A关于x轴纵对称的点的纵坐标为﹣1，横坐标为不等于2，
∴②③不是点A关于x轴纵对称的点，①④是点A关于x轴纵对称的点，
故答案为：①④；
（2）由题意可得点B的纵坐标为﹣1，设点B的坐标为（x，﹣1），
①当x＞0时，如图，分别过点A、点B作AM⊥y轴于M，作BN⊥y轴于N，
∴S△AOB＝S梯形AMNB﹣S△AOM﹣S△BON＝（2+x）×（1+1）﹣×2×1﹣x•1＝3，
∴x＝4，
∴点B的坐标为（4，﹣1），
∵点B恰好落在直线y＝kx+3k+1上，
∴4k+3k+1＝﹣1，解得k＝﹣，
∴k的值为﹣；
②当x＜0时，如图，分别过点A、点B作AM⊥x轴，作BN⊥y轴于N，AM、BN交于点M，
∴S△AOB＝S△ABM﹣S梯形AMNO﹣S△BON＝（2﹣x）×（1+1）﹣×（1+1+1）×2﹣（﹣x）×1＝3，
∴x＝﹣8，
∴点B的坐标为（﹣8，﹣1），
∵点B恰好落在直线y＝kx+3k+1上，
∴﹣8k+3k+1＝﹣1，解得k＝，
∴k的值为；
综上，k的值为﹣或；
（3）令y＝﹣1，则ax2﹣2ax﹣3a＝﹣1，
∴ax2﹣2ax﹣3a+1＝0，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+1）＝16a2﹣4a＞0，
∴4a2﹣a＞0，
设两个点的横坐标分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝∴|x1﹣x2|≤6，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2≤36，
∴4﹣4×≤36，
∴1﹣≤9，
①当a＞0时，
1﹣≤9，且4a2﹣a＞0，
解得a≥﹣，且a＞，
∴a＞；
∵与点A（2，1）关于x轴纵对称，
∴这两个点不能是（2，﹣1），
将（2，﹣1）代入ax2﹣2ax﹣3a＝0得，
4a﹣4a﹣3a＝﹣1，解得a＝，
∴a≠，
∴a＞且a≠；
②当a＜0时，
1﹣≤9，且4a2﹣a＞0，
解得a≤﹣，且a＜，
∴a≤﹣；
综上，a的取值范围为a＞且a≠或a≤﹣．
6．（2022•滨湖区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），抛物线的顶点为P，对称轴交BC于点M，连接PC、PB，△PCM与△PBM的面积比为1：2；
（1）①抛物线的对称轴是 直线x＝1 ；②求抛物线的函数表达式．
（2）若点Q为抛物线第一象限图象上的一点，作QN⊥x轴交BC于点N，当QN+NB取得最大值时，求以Q、N、B、G为顶点的平行四边形顶点G的坐标．
【解答】解：（1）①∵y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣＝1，
即抛物线的对称轴是直线x＝1，
故答案为：直线x＝1；
②∵C（0，4），
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+4，
∵△PCM与△PBM的面积比为1：2，
∴PM×（xB﹣1）＝2×PM×（1﹣xC），
∴xB﹣1＝2，
∴xB＝3，
∴B（3，0），
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴A（﹣1，0），
将B（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣2ax+4中，
得：9a﹣6a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+4．
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，4）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+4，
设Q（t，﹣t2+t+4），则N（t，t+4），
∴QN＝﹣t2+t+4﹣（t+4）＝﹣t2+4t，
设QN与x轴交于H，则H（t，0），
∴NH＝t+4，BH＝3﹣t，
∵QN⊥x轴，
∴∠BHN＝∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∵sin∠CBO＝＝，
∴＝，
∴NB＝（t+4）＝t+5，
∴QN+NB＝﹣t2+4t+（t+5）＝﹣t2+t+5＝﹣（t﹣）2+，
∵＜0，
∴当t＝时，QN+NB取得最大值，
∴﹣t2+t+4＝﹣×（）2+×+4＝，
此时，Q（，），N（，），
①当BQ为▱BNQG的对角线时，BG∥QN，BG＝QN，
∵QN＝﹣＝，QN∥y轴，
∴BG＝，BG∥y轴，
∴G1（3，）；
②当BN为▱BQNG的对角线时，BG∥QN，BG＝QN，
∵QN＝﹣＝，QN∥y轴，
∴BG＝，BG∥y轴，
∴G2（3，﹣）；
③当QN为▱BQGN的对角线时，BN∥GQ，BN＝GQ，
∵BH＝3﹣＝，HN＝，
∴BN向左平移个单位，向上平移个单位，得到线段GQ，
∴点G的横坐标为：﹣＝﹣，点G的纵坐标为：+＝，
∴G3（﹣，）；
综上所述，顶点G的坐标为G1（3，）或G2（3，﹣）或G3（﹣，）．
7．（2022•邳州市一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），且OB＝OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）如图2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接写出点N的坐标．
【解答】解：（1）∵点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵OB＝OC
∴OB＝3，
∴点B（3，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），点B（3，0），
∴，解得，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）把C向上移1个单位得点C′，再作C′关于抛物线的对称轴的对称点C″，连接AC″，与对称轴交于点E，再在对称轴上E点下方取点D，使得DE＝1，连接CD，则CD＝C′E＝C″E，此时四边形ACDE的周长最小，
∵C（0，﹣4），
∴C′（0，﹣3），
∵y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴C″（2，﹣3），A（﹣1，0），
∴AC＝＝，
AC″＝＝3，
∴AE+DE+CD+AC＝AE+1+C″E+＝1++AE+C″E＝1++AC″＝1++3的值最小，
∴四边形ACDE的周长的最小值为1++3；
（3）如图，设直线CN交x轴于点E，
直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，
又∵S△NCB：S△NCA＝EB×（yN﹣yC）：AE×（yN﹣yC）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：3或3：1，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
则AE＝3或1，
即：点E的坐标为（2，0）或（0，0），
∵当点E的坐标为（0，0）时，直线CE与抛物线不可能交于点N，故不合题意，舍去，
当点E的坐标为（2，0）时，设直线CN的表达式：y＝kx﹣4，
∴2k﹣4＝0，解得k＝2，
∴直线CN的表达式：y＝2x﹣4，
联立y＝x2﹣x﹣4并解得：x＝或0（不合题意，舍去），
故点N的坐标为（，3）．
8．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点B（3，0），P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线BC．
（1）点A的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）若射线CB平分∠PCO，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，如果点D（m，0）是线段AB（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线BC和抛物线于E、F两点，当m为何值时，△CEF为直角三角形？
【解答】解：（1）把B（3，0）代入入y＝ax2+bx﹣3a，得0＝9a+3b﹣3a，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
当y＝0时，
ax2﹣2ax﹣3a＝0，
∵a＜0，
∴x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．
∴A（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）；
（2）由（1）知，b＝﹣2a，
∴对称轴为直线x＝1．
设对称轴与BC交于点G，
∵y＝ax2+bx﹣3a＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴P（1，﹣4a），
当x＝0时，y＝ax2+bx﹣3a＝﹣3a，
∴C（0．﹣3a），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴y＝ax﹣3a，
当x＝1时，y＝ax﹣3a＝﹣2a，
∴G（1，﹣2a）．
∵CB平分∠PCO，
∴∠PCG＝∠OCG，
∵CO∥PG，
∴∠OCG＝∠CGP，
∴∠PCG＝∠CGP，
∴PC＝PG，
∵P（1，﹣4a），C（0，﹣3a），G（1，﹣2a）．
∴PC2＝PG2，即1+a2＝4a2，
∴a＝±，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+；
（3）∵DE⊥x轴，
∴∠EDB＝90°，∠DEB＜90°，
∵∠CEF＝∠DEB，
∴∠CEF≠90°，
①当∠CFE＝90°时，CF∥OB，
∵对称轴为直线x＝1，
∴此时m＝2；
②当∠ECF＝90°时，设直线CF交x轴于点H，
当x＝0时，y＝﹣x2+x+＝，
∴C（0，），
∵B（3，0），
∴tan∠OCB＝，
∴∠OCB＝60，
∴∠HCO＝30°．
∵tan∠ACO＝＝，
∴∠ACO＝30°，
∴H与A重合，
∴此时m＝﹣1；
综上，当m＝2或﹣1时，△CEF为直角三角形．
9．（2022•仪征市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）．
（1）若二次函数解析式为y＝﹣x2+1，此函数图象经过A（x1，m）、B（x2，n），且m＞n，则x1＝ 0 ，x2＝ 1 ；（找出一组符合条件的x1、x2的值即可）
（2）若b＝﹣4a＜0，函数图象经过P（，y1）、Q（，y2）、R（﹣，y3），请直接写出y1、y2、y3的大小关系（用“＜”连接）；
（3）若a：b：c＝1：（﹣4）：3，函数图象经过D（x1，m）、E（x2，m）、F（0，3），且x1＜x2，当2≤x2﹣x1≤3，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+1是开口向下的抛物线，对称轴是y轴，
∴设m＝1，n＝0，
则x1＝0，x2＝1，
故答案为：0，1；
（2）∵b＝﹣4a＜0，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴函数图象是开口向上，对称轴是直线x＝2的抛物线，
∴Q（，y2）关于对称轴直线x＝2的对称点为Q′（，y2），
∵＜＜，且图象在对称轴的左边时，y随x的增大而减小，
∴y1、y2、y3的大小关系为：y1＜y2＜y3；
（3）将点F（0，3）代入函数解析式y＝ax2+bx+c，得c＝3，
∵a：b：c＝1：（﹣4）：3，
∴a＝1，b＝﹣4，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3，对称轴为直线x＝2，
∵D（x1，m）与E（x2，m）的纵坐标相同，
∴点D和点E关于对称轴直线x＝2对称，
∴＝2，
∴x1+x2＝4，故x2＝4﹣x1，
∵2≤x2﹣x1≤3，
∴2≤4﹣x1﹣x1≤3，
∴2≤4﹣2x1≤3，
∴≤x1≤1，
∴x1在函数对称轴的左边，此时y随x的增大而减小，
当x1＝时，m＝，
当x1＝1时，m＝0，
∴m的取值范围为0≤m≤．
10．（2022•锡山区一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，则0＝x﹣2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0．
∴x＝﹣1或x＝4．
∴点A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴OB＝4，OC＝2．
∴＝．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC．
Ⅰ、当△PNC∽△AOC时，∠PCN＝∠ACO，
∴∠PCN＝∠OBC．
∴CP∥OB．
∴点P的纵坐标为﹣2．
∴m2﹣m﹣2＝﹣2．
∴m＝0（舍）或m＝3．
∴P（3，﹣2）；
Ⅱ、当△PNC∽△COA时，∠PCN＝∠CAO，
∴∠OCB＝∠PCD．
∵PD∥OC，
∴∠OCB＝∠CDP．
∴∠PCD＝∠PDC．
∴PC＝PD．
由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵C（0，﹣2），
∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝．
∴2m﹣m2＝．
∴m＝或m＝0（不符合题意，舍去）．
∴P（，﹣）．
即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．
11．（2022•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a，c为常数）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C，点D在线段BC上，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；
（3）M是抛物线对称轴上一点，N在抛物线上，直接写出所有以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时的N的坐标，并把其中一个求N坐标的过程写出来．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）、B（4，0）两点分别代入抛物线y＝ax2﹣x+c中得：，
解得：，
所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）如图1，连接PC，过点P作PE∥y轴，交BC于E，
∵＝，
∴＝，
设BC的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得：，
∴BC的解析式为：y＝x﹣4，
设E（t，t﹣4），P（t，t2﹣t﹣4），
∴EP＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t，
∴S△CPB＝•PE•OB＝×4（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t2﹣4t+4﹣4）＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，△BCP的面积最大，且最大值是4，此时△BDP的面积最大值是；
（3）∵B（4，0），C（0，﹣4），＝，
∴D（，﹣），
抛物线的对称轴是：x＝1，
分三种情况：
①如图2，四边形ADNM是平行四边形，
∵A（﹣2，0），D（，﹣），点M的横坐标为1，
∴点N的横坐标为，
当x＝时，y＝×（）2﹣﹣4＝，
∴N（，）；
②如图3，四边形ADMN是平行四边形，
由平移得：点N的横坐标是﹣，
当x＝﹣时，y＝×（﹣）2+﹣4＝，
∴N（﹣，）；
③如图4，四边形ANDM是平行四边形，
由平移得：点N的横坐标为：﹣
当x＝﹣时，y＝×（﹣）2+﹣4＝﹣，
∴N（﹣，﹣）；
综上，点N的坐标为N（，）或（﹣，）或（﹣，﹣）．
12．（2022•常州一模）在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）．连接OM，作CD∥OM交AM的延长线于点D．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）直线AM上是否存在点P，使得△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2？如果存在请求出点P的坐标，如果不存在请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线对应的二次函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
即抛物线对应的二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴M（﹣1，4），
设OM的解析式为：y＝kx，
∴﹣k＝4，
∴k＝﹣4，
∴OM的解析式为：y＝﹣4x，
∵OM∥CD，
∴CD的解析式为：y＝﹣4x+3，
设AM的解析式为：y＝mx+b，
∴，
解得：，
∴AM的解析式为：y＝2x+6，
∴2x+6＝﹣4x+3，
∴x＝﹣，
∴D（﹣，5）；
（3）存在，
∵P在直线AM上，
∴设P（t，2t+6），
①当点P在x轴的上方时，如图1，
∵△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2，
∴S四边形POCM＝2S△POA，
∴S△OPE﹣S△CME＝2S△POA，
∴×6×（﹣t）﹣×3×1＝2××3（2t+6），
∴t＝﹣＝﹣，
∴P（﹣，）；
②如图2，当点P在x轴下方时，
∵S四边形POCM＝2S△POA，
∴S△OPE﹣S△CME＝2S△POA，
∴×6×（﹣t）﹣×3×1＝2××3（﹣2t﹣6），
∴t＝﹣5.5，
∴P（﹣5.5，﹣5）；
综上，点P的坐标为（﹣，）或（﹣5.5，﹣5）．
五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•武进区一模）如图，▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE，CF．
（1）求证：∠DAE＝∠BCF．
（2）连接AC交于BD点O，求证：AC，EF互相平分．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF．
（2）证明：连接AO交BD于点O，连接AF、CE．
由（1）得，△ABE≌△CDF，
∴∠AED＝∠CFB，AE＝CF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC、EF互相平分．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•仪征市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
【解答】（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AEF和△DEB中，，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：连接DF，如图所示：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝4，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积＝AC▪DF＝×3×4＝6．
七．四边形综合题（共7小题）
15．（2022•江都区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）．
（1）在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；
（2）连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD；
（3）在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝ ．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
当A′落在线段BC上时，由旋转得A′D＝AD＝4，
∴A′C＝＝＝，
∴A′B＝BC﹣A′C＝4﹣，
∴A′B的长为4﹣．
（2）如图2，点B′与点C在直线BD的同侧，作A′E⊥AD于点E，则∠A′EA＝90°，
由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，
∵∠BA′B'＝90°，
∴∠B′A′D+∠BA′B'＝180°，
∴点B、A′、D在同一条直线上，
∵∠A′ED＝∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝5，
∴＝＝＝sin∠ADB，＝＝＝cos∠ADB，
∴A′E＝A′D＝×4＝，ED＝A′D＝×4＝，
∴AE＝AD﹣ED＝4﹣＝，
∴tan∠A′AD＝＝＝3；
如图3，点B′与点C在直线BD的异侧，作A′E⊥AD交AD的延长线于点E，则∠E＝90°，
由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，
∵∠BA′B'＝90°，
∴∠B′A′D＝∠BA′B'，
∴A′D与A′B重合，
∴点B、A′、D在同一条直线上，
∵∠EDA′＝∠ADB，
∴＝sin∠EDA′＝sin∠ADB＝＝，＝cos∠EDA′＝cos∠ADB＝＝，
∴A′E＝A′D＝，ED＝A′D＝，
∴AE＝AD+ED＝4+＝，
∴tan∠A′AD＝＝＝，
综上所述，tan∠A′AD＝3或tan∠A′AD＝．
（3）如图4，在AD上截取DF＝，则＝＝，
作DH⊥AA′于点H，在DH上截取DG＝DH，连接FG、CG，则＝，
∵A′D＝AD，
∴H为AA′的中点，
∴DH为△DAA′的中线，
∴点G为△DAA′的重心，
∵＝，∠FDG＝∠ADH，
∴△DFG∽△DAH，
∴∠FGD＝∠AHD＝90°，
取DF的中点O，连接OC交⊙O于点P，连接OG，则OG＝OP＝OD＝DF＝×＝，
∴点G在以点O为圆心、半径为的圆上运动，
∵CG+OG≥OC，即CG+OG≥CP+OP，
∴CG+≥CP+，
∴CG≥CP，
∴当CG＝CP时，CG的长最小，
∵OC＝＝＝，
∴CP＝OC﹣OP＝﹣＝，
∴CG的最小值是，
故答案为：．
16．（2022•宜兴市一模）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（8，0），点B（0，6），点P在BC边上从点B运动到点C（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B'和折痕OP．
（1）如图①，连接CB'，当CB'长度最小时，求点P的坐标；
（2）①如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB'上，得点C'和折痕PQ，请问AQ的长度有没有最小值，若有，诸求出这个最小值以及此时点P的坐标；若无，请说明理由．②请直接写出点Q的运动路径长．
【解答】（1）解：设BP＝x，由题意，当CB'长度最小时，O，B'，C三点共线，
∵∠OBP＝90°，由翻折得，∠OB'P＝90°，
∴∠CB'P＝90°＝∠OBP，
∵∠B'CP＝∠OCB，OB＝6，BC＝8，
∴△B'CP∽△BCO，OC＝，
∴，
∴，
解得：x＝3，
∴点P的坐标为（3，6）；
（2）①解：∵△OB'P，△QC'P分别是由△OBP，△QCP折叠得到的，
∴∠OPB'＝∠OPB，∠QPC'＝∠QPC，
∵∠OPB'+∠OPB+∠QPC'+∠QPC＝180°，
∴∠OPB+∠QPC＝90°，
∵∠BOP+∠OPB＝90°，
∴∠BOP＝∠CPQ，
∵∠OBP＝∠C＝90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴，
由题意设BP＝x，BC＝8，AC＝6，则PC＝8﹣x，CQ＝6﹣AQ，
∴，
∴AQ＝（0＜x＜8），
∴当x＝4时，AQ最小为，点P的坐标为（4，6）；
②解：由①知，CQ＝6﹣AQ＝，其中，0＜x＜8，
当x＝4时，CQ取最大值，
在P从BC中点运动到C点的过程中，
CQ的长度从最大值减小为0，
故Q点运动路径长度为：．
17．（2022•鼓楼区一模）一道作图题：“求作一个▱ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线平分∠BAD．”
小明的思考：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．
例如，假设▱ABCD即为所求作，则AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
又AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE．
∴∠BAE＝∠BEA．
∴BA＝BE．（①）
∵E是边BC的中点，
∴……
再倒过来，只要作出的▱ABCD满足BC＝②BA即可．
（1）填空：① 等角对等边 （填推理依据）；② 2 ．
（2）参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个▱ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线与对角线BD垂直；（要求：保留作图的痕迹，无需写出文字说明．）
（3）问题（2）所作的▱ABCD中的BC和BA是否也有和（1）类似的数量关系？设BC＝kBA（k是常数），若k是定值，直接写出k的值；若不是，试直接写出k的取值范围．
【解答】解：（1）假设▱ABCD即为所求作，则AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
又AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE．
∴∠BAE＝∠BEA．
∴BA＝BE．（等角对等边）
∵E是边BC的中点，
∴BC＝2BA，
故答案为：等角对等边，2；
（2）方法一：①作线段BC的垂直平分线，取BC的中点E，以E为圆心，BE的长为半径作⊙E，在圆上任取一点G，连接CG，BG，则CG⊥GB，
②取EC的中点F，以FB为半径，F为圆心作弧，交BG的延长线于点D，则FD＝FB，作B点的垂直平分线交BD于O，交AD于K，则FO⊥BD，OB＝OD，
③以O为圆心OC长为半径作⊙O，延长CO，交⊙O于点A，则OA＝OC，连接AB、AD、DC，则四边形ABCD是平行四边形，
④连接AE，此时AE∥FK，FK⊥BD，即AE⊥BD；
方法二：①作BE＝EC，任作射线BP（角度要小），
②作EH⊥BP于点H，在射线EH上截HA＝2EH，
③以点A为圆心作AD＝BC交BP于点D，
④连接AB，CD即可；
（3）由作图可知，问题（2）所作的▱ABCD中的BC和BA也有和（1）类似的数量关系，BC＝kBA，
∵EB＝EC，EF＝FC，设BC＝4a，则BE＝2a，EF＝FC＝a，
∵EO＝EB，FB＝FD，
∴∠EOB＝∠EBO，∠FDB＝∠FBD，
∴∠EOB＝∠FDB，
∴EG∥FD，
∴＝＝，
即BD＝BG，
根据三角形三边关系得|BD﹣BC|＜CD＜|BD+BC|，
∵点G是⊙E上的一动点，则0＜BG＜2BC，
即0＜BG＜4a，
∴0＜BD＜6a，
∵|BD﹣BC|＜CD＜|BD+BC|，BC＝4a，
∴2a＜CD＜4a，
∵AB＝CD，
∴2a＜AB＜4a，
∵BC＝4a，
∴1＜＜2，
即1＜k＜2．
18．（2022•扬州一模）【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
【知识方法】
（1）如图1，AE＝DE，BE＝CE，DE⊥AC交AC于点E，则AB与CD的关系是 AB＝CD，AB⊥CD ；
【类比迁移】
（2）四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点P是AD边上的一个动点．
①如图2，过点C作CE⊥CP，CE：CP＝1：2，连接BP、DE．判断线段BP与DE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②如图3，以CP为边在CP的右侧作正方形CPFE，连接DF、DE，则△DEF面积的最小值为 ；
【拓展应用】
（3）四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点P是CD边上的一个动点（与点C、D不重合），连接BP，将BP绕点P顺时针旋转90°到EP，EP交AD于点G，将CP绕点P顺时针旋转90°到FP，连接AF、GF．求四边形AEGF面积的最小值．
【解答】解：（1）如图1，延长AB交CD于H，
∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEC＝90°，BE＝CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠CDE＝∠BAE，AB＝CD，
∵∠BAE+∠ACD＝∠ACE+∠CDE＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴AB⊥CD，
故答案为：AB＝CD，AB⊥CD；
（2）①，BP⊥DE，理由如下：
如图2，延长ED，BP交于点H，
∵AB＝2＝CD，BC＝4，
∴CD：BC＝1：2，
∵CE⊥CP，CE：CP＝1：2，
∴∠PCE＝90°＝∠BCD，＝，
∴∠BCP＝∠DCE，
∴△BCP∽△DCE，
∴，∠PBC＝∠CDE，
∴∠PBC+∠CDH＝∠CDE+∠CDH＝180°，
∴∠BCD+∠H＝180°，
∴∠H＝90°，
∴BP⊥DE；
②设PD＝x，
∴PC2＝x2+CD2＝4+x2，
∴正方形PCEF的面积＝PC2＝4+x2，
∴△DEF面积＝（4+x2）﹣×2×x＝（x﹣1）2+，
当x＝1时，△DEF面积的最小值为，
故答案为．
（3）如图，
由折叠的性质可得：BP＝PE，CP＝PF，∠CPF＝∠BPE＝90°，
∴∠CPB＝∠FPE，
∴△BCP≌△EFP（SAS），
∴EF＝BC＝4，∠C＝∠EFP＝90°，
∵∠FPC＝∠ADC＝90°，
∴AD∥PF，
∴AD⊥EF，
∴四边形AEGF面积＝×EF×AG＝2AG，
∵∠BPC+∠PBC＝90°＝∠BPC+∠DPG，
∴∠CBP＝∠DPG，
又∵∠C＝∠D＝90°，
∴△BCP∽△PDG，
∴，
∴DG＝＝，
∴当PC＝1时，DG有最大值，
即AG的最小值为，
∴四边形AEGF面积＝2×＝．
19．（2022•锡山区一模）【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】（1）如图1，对余四边形中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC，若AC＝AB，则cos∠ABC＝ ，sin∠CAD＝ ．
（2）如图2，凸四边形中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．
【拓展提升】（3）在平面直角坐标中，A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围 u＝（0＜t＜4） ．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝3，
∴cos∠ABC＝＝，
在Rt△AEB中，AE＝＝＝4，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠FCD＝90°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF＝，
∴sin∠CAD＝＝，
故答案为：，；
（2）如图2，结论：四边形ABCD是对余四边形．
理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∴∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，
∴CM2+CB2＝BM2，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
（3）如图3，过点D作DH⊥x轴于H．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），
∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ACE＝∠ADE，
∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ACE，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴u＝，
设D（x，t），
∵四边形ABCD是对余四边形，
可得BD2＝2CD2+AD2，
∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，
整理得（x+1）2＝4t﹣t2，
在Rt△ADH中，AD＝＝＝2，
∴u＝（0＜t＜4），
即u＝（0＜t＜4），
故答案为：u＝（0＜t＜4）．
20．（2022•海陵区一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m（m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC于点G．
（1）求证：EG＝BG；
（2）若m＝2．
①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；
②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；
（3）随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BG﹣AE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG，
∵△ABE与△FBE关于BE对称，
∴∠AEB＝∠BEF，
∴∠EBG＝∠BEF，
∴EG＝BG；
（2）解：①点G与C重合；
理由：如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝6．AE＝BH＝2，
设BG＝EG＝x，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+HG2，
∴x2＝62+（x﹣2）2，
∴x＝10，
∵BC＝AD＝10，BG＝10，
∴点G与C重合；
②如图2中，
由轴对称的性质可知AB＝BF，AE＝EF＝2，
∵＝＝，
∴＝，
∴可以假设AB＝k，BD＝4k，则DF＝3k，
在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2，
∴82＝22+（3k）2，
∴k＝（负根已经舍去），
∴AB＝；
（3）解：如图1中，设BG＝EG＝y，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+HG2，
∴y2＝AB2+（（y﹣m）2，
∴y＝•AB2+，
∴BG﹣AE＝AB2总成立，
∴•AB2+m﹣＝AB2，
∴m＝．
21．（2022•兴化市一模）已知矩形ABCD中，AB＝6，M是AB的中点，N是BC边上一动点，直线m垂直平分MN，垂足为O，如图1，当点N与点C重合时，直线m恰好经过点D．
（1）求BC长；
（2）如图2，过点N作BC的垂线n，分别交直线m、AD于点E、F．
①当BN＝4时，求EN长；
②如图3，连接DM，交直线n于点G，在点N由B向C运动的过程中，求GE长的最大值．
【解答】解：（1）如图1中，连接DM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD，
∵M是BC的中点，
∴AM＝BM＝3，
∵直线m垂直平分线段MN，
∴DM＝DC＝6，
∴AD＝＝＝3，
∴BC＝3；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△MBN中，∠B＝90°，
∴MN＝＝＝5，
∵直线m垂直平分线段MN，
∴ON＝MN＝，∠EON＝90°＝∠B，
∵直线n垂直BC，
∴∠ENB＝∠B＝90°，
∴AB∥EN，
∴△BMN∽△NOE，
∴＝，
∴EN＝＝＝．
②∵∠A＝∠B＝∠ENB＝90°，
∴四边形ABNF是矩形，
∴FN＝AB＝6，AF＝BN，
∵AB∥EN，
∴∠A＝∠DFG，
∴△DFG∽△DAM，
∴＝，
∴FG＝＝＝3﹣BN，
∵EN＝＝＝＝，
∴GE＝FN﹣FG﹣EN＝6﹣（3﹣BN）﹣＝﹣BN2+BN+＝﹣（BN﹣）2+2，
∵﹣＜0，
∴当BN＝﹣＝时，GE的长有最大值，最大值＝2．
八．切线的性质（共2小题）
22．（2022•崇川区一模）如图，AB是⊙O直径，CG是⊙O的切线，C为切点，BD⊥CG于D，DB的延长线交⊙O于点E，连接BC，CE．
（1）求证：BC平分∠ABD；
（2）若AB＝10，sinE＝，求CD长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CG是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CG，
∴∠OCD＝∠BDC＝90°，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠OBD；
（2）解：如图2，连接AC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠E，
∴sinA＝sinE＝，
在Rt△ABC中，sinA＝＝，AB＝10，
∴BC＝AB＝6，
∵∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴∠OBC+∠A＝∠DBC+∠BCD＝90°，
∵∠OBC＝∠DBC，
∴∠A＝∠BCD，
∴sin∠BCD＝sinA＝，
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝＝，BC＝6，
∴BD＝BC＝，
在Rt△BCD中，BC＝6，BD＝，
根据勾股定理得：CD＝＝．
23．（2022•常州一模）如图（1），∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．
【解答】解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．
理由如下：如图，设切点为F，连OF．则OF⊥BF，
在Rt△OBF中，OF＝2，OB＝4，
∴cos∠OBF＝＝，
∴∠OBF＝∠BOF＝45°，
∴∠ABF＝45°，
同理：当∠ABF＝135°时，AB与⊙O相切，
∴当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．
（2）过点O作OH⊥AB于点H，
∵射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，
∴∠ABC＝30°，
∴OH＝OB＝×4＝2，
在Rt△OMH中，OM＝2，
∴cos∠MOH＝＝，
∴∠MOH＝45°，
∴∠MON＝90°，
∴的长为：＝π．
九．圆的综合题（共2小题）
24．（2022•秦淮区一模）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．
【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是 互补 ，依据是 圆内接四边形的对角互补 ．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝1，BC＝2，∠B＝90°，则PM的长为 ．
【解答】解：（1）双圆四边形的对角的数量关系是互补，依据是圆内接四边形的对角互补；
故答案为：互补；圆内接四边形的对角互补；
（2）∵⊙P与四边形ABCD四边相切，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AB+CD＝AE+BE+DG+CG＝AH+BF+DH+CF＝AD+BC；
即双圆四边形的对边的和相等；
（3）证法一：
如图1，设HF和GE交点为N．连接HE，PE，PF，PG，PH，
∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，G，H为切点，
∴∠DHP＝∠DGP＝90°．
∴∠D+∠HPG＝180°．
同理∠B+∠EPF＝180°．
∴∠HPG+∠EPF＝180°．
∵∠HEG＝∠HPG，∠EHF＝∠EPF，
∴∠HEG+∠EHF＝（∠HPG+∠EPF）＝90°，
∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；
证法二：
如图2，设HF和GE交点为N．连接PH，延长HP交⊙P于点K，连接HG，GK，HE，EF，
∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H，G为切点，
∴DH＝DG，∠DHP＝90°，即∠DHG+∠GHP＝90°，
∴∠DHG＝∠DGH＝（180°﹣∠D），
∵HK是⊙P直径，
∴∠HGK＝90°，即∠GHP+∠K＝90°，
∴∠DHG＝∠K，
∵∠HEG＝∠K，
∴∠DHG＝∠HEG，
∴∠HEG＝（180°﹣∠D），
同理∠EHF＝（180°﹣∠B），
∴∠HEG+∠EHF＝（180°﹣∠D）+（180°﹣∠B）＝90°，
∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；
证法三：
如图3，设HF和GE交点为N．延长AB，DC，相交于点K，
∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H、G为切点，
∴KG＝KE，
∴∠KGE＝∠KEG，
∵∠KGE+∠DGE＝180°，
∴∠KEG+∠DGE＝180°，
同理∠DHF+∠BFH＝180°，
在四边形DHNG和四边形BFNE中，
∴∠HNG+∠FNE＝2×360°﹣3×180°＝180°，
∵∠HNG＝∠FNE，
∴∠HNG＝90°，即GE⊥HF；
（4）阴影区域如下图；
（5）如图4，连接AC，连接FM，ME，
∵∠B＝90°，
∴AC是⊙P的直径，
由（2）知：AB+CD＝BC+AD，
设AD＝x，则CD＝x+1，
∴AC2＝x2+（x+1）2＝12+22，
∴x1＝1，x2＝﹣2，
∴AD＝1，CD＝2，
∴AD＝AB，CD＝BC，
∵AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠ACB＝∠ACD，∠CAD＝∠CAB，
∴点M在AC上，
∴∠B＝∠BEM＝∠BFM＝90°，FM＝EM，
∴四边形BEMF是正方形，
∴EM＝FM，
∵EM∥BC，
∴∠AME＝∠ACB，
∴tan∠AME＝tan∠ACB，
∴＝，
设AE＝a，EM＝2a，
∴2a＝1﹣a，
∴a＝，
∴PM＝﹣＝．
故答案为：．
25．（2022•玄武区一模）旋转的思考
【探索发现】
（1）已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．小美，小丽探索发现了下列结论．
小美的发现如图①，连接对应点BB′，CC′，则＝．
小丽的发现如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B′C′与⊙A相切．
（ⅰ）请证明小美所发现的结论．
（ⅱ）如图②，小丽过点A作AD′⊥B′C′，垂足为D′．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【问题解决】
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝，AC＝2，M是AC的中点，将△ABC绕点M逆时针旋转得到△A'B'C'．
（ⅰ）如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB'，则BB'的长为 4 ．
（ⅱ）在旋转过程中，若边B'C'所在直线l恰好经过点B，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法）
【拓展研究】
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB'，CC'交于点P，则BP的最大值为 5 ．
【解答】（1）（ⅰ）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，
∴＝．
∵∠BAB′＝∠CAC′，
∴△ABB′∽△ACC′．
∴＝；
（ⅱ）证明：∵△ABC≌△AB′C′，
∴AB＝AB′，∠B＝∠B′
∵∠ADB＝∠AD′B′＝90°，
∴△ABD≌△AB′D′（AAS），
∴AD＝AD′，
∵AD′是⊙A的半径，AD′⊥B′C′，
∴B′C′是⊙A的切线．
故答案为：∠B＝∠B′，AD＝AD′；
（2）解：（ⅰ）如图3中，连接BM，MB′，过点M作MH⊥CC′于点H．
∵AB＝AM＝，∠A＝90°，
∴BM＝AB＝，
∵MC＝MC′＝，tanC′＝＝，
∴MH＝1，HC′＝CH＝2，
∴CC′＝2CH＝4，
由旋转变换的性质可知，MB＝MB′，∠BMB′＝∠CMC′，
∴△BMB′∽△MCC′，
∴＝，
∴＝，
∴BB′＝4．
故答案为：4；
（ⅱ）如图④中，直线l即为所求．
（3）如图⑤中，连接MB，MB′．
∵△MBB′∽△MCC′，
∴∠MB′B＝∠MC′C，
∵∠MB′B+∠PB′M＝180°，
∴∠MC′C+∠PBM＝180°，
∴∠BMC′+∠CPB＝180°，
∵A′M＝A′B，∠A′＝90°，
∴∠A′MB＝45°，
∴∠BMC′＝135°，
∴∠CPB′＝45°，
∵BC＝＝＝5＝定值，
∴点P的运动轨迹是圆，假设圆心为O，连接OB，OC，OP．
∴∠BOC＝2∠CPB＝90°，
∴OB＝OC＝OP＝，
∵PB≤OB+OP＝5，
∴BP的最大值为5．
故答案为：5．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
26．（2022•崇川区一模）矩形ABCD中，AB＜BC，AB＝6，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上．
（1）如图，当点E在边CD上时，若BC＝10，DF的长为 2 ；若AF•DF＝9时，求DF的长；
（2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长．
【解答】解：（1）当点E在边CD上时，
∵点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上，
∴BF＝BC＝10．
∴AF＝＝＝8．
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2．
故答案为：2；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF．
∴△FAB∽△EDF，
∴．
∴AF•DF＝AB•DE．
∵AF•DF＝9，AB＝6，
∴DE＝．
∴CE＝CD﹣DE＝．
∵点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上，
∴EF＝CE＝．
∴DF＝＝3；
（2）①点F在AD边上时，
过点M作MN⊥BF于点N，如图，
∵BM平分∠ABF，MA⊥AB，MN⊥BF，
∴MA＝MN．
∵∠A＝∠MNF＝90°，∠AFB＝∠NFM，
∴△FAB∽△FNM，
∴．
∵，BF＝BC，
∴．
∵AB＝6，
∴MN＝3．
在Rt△ABM和Rt△NBM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△NBM（HL）．
∴BN＝AB＝6．
设MF＝x，则BF＝BC＝2x，
∴FN＝2x﹣6，
在Rt△MNF中，
∵MN2+FN2＝MF2，
∴32+（2x﹣6）2＝x2，
解得：x＝5或x＝3（舍去），
∴BC＝2x＝10，
∴AD＝BC＝10．
∴DF＝AD﹣AM﹣MF＝2；
②点F在边DA的延长线时，
过点M作MN⊥BF于点N，如图，
同①可得：AM＝MN＝3，BN＝AB＝6，BC＝AD＝10．
∵BF＝BC＝10，
∴FN＝BF﹣BN＝10﹣6＝4．
∴MF＝＝＝5，
∴DF＝AD+AM+MF＝18．
综上，当时，DF的长为2或18．
一十一．相似形综合题（共2小题）
27．（2022•常州一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”；
（2）请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．
【解答】（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD为△ABC的“优美分割线”；
（2）解：如图，△ABC中，CD为“优美分割线”；
（3）解：①若AD＝CD时，如图，
此时∠A＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠A＝30°，
则∠ACB＝60°，
故∠B＝90°，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，
∴BC＝3，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝3，
∴BD＝BC•tan30°＝；
②若AC＝AD时，如图，作CE⊥AB于E，
则∠ACD＝∠ADC＝75°，∠BCD＝∠A＝30°，∠BDC＝105°，
此时∠ACB＝105°，∠B＝45°，
∵∠A＝30°，AC＝6，
∴EC＝3，AE＝3，
∵∠B＝45°，
∴EC＝BE＝3，AB＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝3，
③若AC＝CD时，图形不成立，
综上，BD＝或3﹣3．
28．（2022•邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线OM、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．
（1）如图1所示，当点G在ED上，若OG＝DE，则∠EDF＝ 60 °；
（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；
（3）若DG＝2，AG＝4，求DF的长．
【解答】（1）解：如图1中，
∵OM⊥ON，
∴∠EOF＝90°，
∵AE＝AF，
∴OA＝AE＝AF，
∵ED∥ON，
∴∠AGE＝∠AOF，
在△AGE和△AOF中，
，
∴△AGE≌△AOF（AAS），
∴AG＝OA，
∴EF＝OF，
∵DE＝DF，OG＝EF，
∴DE＝DF＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°．
故答案为：60；
（2）解：图形如图2所示．
理由：∵∠EOF＝90°，AE＝AF，
∴OA＝AF＝AE，
∴∠AOF＝∠AFO，
∴DE∥OF，
∴∠AFO＝∠DEF，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴∠AOF＝∠AFO＝∠DEF＝∠DFE，
∴△DEF∽△AOF；
（3）解：如图2﹣1中，当点G在DF上时，设DF＝DE＝x，AE＝AF＝OA＝AT＝y．过点A作AK⊥FG于点K，AH⊥OF于点H．
∵△DEF∽△AOF，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝，
∵∠AFO＝∠AFG，AH⊥OF，AK⊥FG，
∴AH＝AK，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴x2+2x＝8y，
∵DT∥OF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝，
∴x2+2x＝，
解得x＝﹣3+或﹣3﹣或0，
经检验x＝﹣3+是分式方程的解，且符合题意．
∴DF＝﹣3+．
如图3中，当点G在DE上时，由题意AE＝AF＝AO＝AG＝4，设DF＝DE＝y．
由△DEF∽△AOF可得＝，
∴＝，
∴y2﹣2y﹣32＝0，
∴y＝1+或1﹣，
经检验y＝1+是分式方程的解，且符合题意，
∴DF＝1+，
综上所述，满足条件的DF的值为：﹣3+或1+．
江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-09解答题（提升题）
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•常州一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点D（m，），过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB＝4．
（1）点A的坐标为 （用含m的式子表示）；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）设直线AD的解析式为y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）．则不等式﹣（ax+b）＞0的解集是 ．
三．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2022•海陵区一模）如图，动点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y＝的图象于点A、B，连接AB、OA、OB，设点P横坐标为a．
（1）直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；
（2）点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在平面内有一点Q（，1），且点Q始终在△PAB的内部（不包含边），求a的取值范围．
四．二次函数综合题（共9小题）
4．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
5．（2022•崇川区一模）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴纵对称．其中一点叫做另一点关于x轴的纵对称点．如，点（﹣2，3），（1，﹣3）关于x轴纵对称．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1）．
（1）下列各点中，与点A关于x轴纵对称的点是 （只填序号）；
①（3，﹣1）；
②（﹣2，1）；
③（2，﹣1）；
④（﹣1，﹣1）．
（2）若点A关于x轴的纵对称点B恰好落在直线y＝kx+3k+1上，△AOB的面积为3，求k的值；
（3）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，且这两个点之间的距离不超过6，请直接写出a的取值范围．
6．（2022•滨湖区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），抛物线的顶点为P，对称轴交BC于点M，连接PC、PB，△PCM与△PBM的面积比为1：2；
（1）①抛物线的对称轴是 ；②求抛物线的函数表达式．
（2）若点Q为抛物线第一象限图象上的一点，作QN⊥x轴交BC于点N，当QN+NB取得最大值时，求以Q、N、B、G为顶点的平行四边形顶点G的坐标．
7．（2022•邳州市一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），且OB＝OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）如图2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接写出点N的坐标．
8．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点B（3，0），P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线BC．
（1）点A的坐标为 ；
（2）若射线CB平分∠PCO，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，如果点D（m，0）是线段AB（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线BC和抛物线于E、F两点，当m为何值时，△CEF为直角三角形？
9．（2022•仪征市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）．
（1）若二次函数解析式为y＝﹣x2+1，此函数图象经过A（x1，m）、B（x2，n），且m＞n，则x1＝ ，x2＝ ；（找出一组符合条件的x1、x2的值即可）
（2）若b＝﹣4a＜0，函数图象经过P（，y1）、Q（，y2）、R（﹣，y3），请直接写出y1、y2、y3的大小关系（用“＜”连接）；
（3）若a：b：c＝1：（﹣4）：3，函数图象经过D（x1，m）、E（x2，m）、F（0，3），且x1＜x2，当2≤x2﹣x1≤3，求m的取值范围．
10．（2022•锡山区一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2022•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a，c为常数）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C，点D在线段BC上，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；
（3）M是抛物线对称轴上一点，N在抛物线上，直接写出所有以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时的N的坐标，并把其中一个求N坐标的过程写出来．
12．（2022•常州一模）在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）．连接OM，作CD∥OM交AM的延长线于点D．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）直线AM上是否存在点P，使得△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2？如果存在请求出点P的坐标，如果不存在请说明理由．
五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•武进区一模）如图，▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE，CF．
（1）求证：∠DAE＝∠BCF．
（2）连接AC交于BD点O，求证：AC，EF互相平分．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•仪征市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
七．四边形综合题（共7小题）
15．（2022•江都区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）．
（1）在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；
（2）连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD；
（3）在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝ ．
16．（2022•宜兴市一模）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（8，0），点B（0，6），点P在BC边上从点B运动到点C（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B'和折痕OP．
（1）如图①，连接CB'，当CB'长度最小时，求点P的坐标；
（2）①如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB'上，得点C'和折痕PQ，请问AQ的长度有没有最小值，若有，诸求出这个最小值以及此时点P的坐标；若无，请说明理由．②请直接写出点Q的运动路径长．
17．（2022•鼓楼区一模）一道作图题：“求作一个▱ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线平分∠BAD．”
小明的思考：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．
例如，假设▱ABCD即为所求作，则AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
又AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE．
∴∠BAE＝∠BEA．
∴BA＝BE．（①）
∵E是边BC的中点，
∴……
再倒过来，只要作出的▱ABCD满足BC＝②BA即可．
（1）填空：① （填推理依据）；② ．
（2）参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个▱ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线与对角线BD垂直；（要求：保留作图的痕迹，无需写出文字说明．）
（3）问题（2）所作的▱ABCD中的BC和BA是否也有和（1）类似的数量关系？设BC＝kBA（k是常数），若k是定值，直接写出k的值；若不是，试直接写出k的取值范围．
18．（2022•扬州一模）【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
【知识方法】
（1）如图1，AE＝DE，BE＝CE，DE⊥AC交AC于点E，则AB与CD的关系是 ；
【类比迁移】
（2）四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点P是AD边上的一个动点．
①如图2，过点C作CE⊥CP，CE：CP＝1：2，连接BP、DE．判断线段BP与DE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②如图3，以CP为边在CP的右侧作正方形CPFE，连接DF、DE，则△DEF面积的最小值为 ；
【拓展应用】
（3）四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点P是CD边上的一个动点（与点C、D不重合），连接BP，将BP绕点P顺时针旋转90°到EP，EP交AD于点G，将CP绕点P顺时针旋转90°到FP，连接AF、GF．求四边形AEGF面积的最小值．
19．（2022•锡山区一模）【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】（1）如图1，对余四边形中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC，若AC＝AB，则cos∠ABC＝ ，sin∠CAD＝ ．
（2）如图2，凸四边形中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．
【拓展提升】（3）在平面直角坐标中，A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围 ．
20．（2022•海陵区一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m（m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC于点G．
（1）求证：EG＝BG；
（2）若m＝2．
①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；
②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；
（3）随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BG﹣AE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
21．（2022•兴化市一模）已知矩形ABCD中，AB＝6，M是AB的中点，N是BC边上一动点，直线m垂直平分MN，垂足为O，如图1，当点N与点C重合时，直线m恰好经过点D．
（1）求BC长；
（2）如图2，过点N作BC的垂线n，分别交直线m、AD于点E、F．
①当BN＝4时，求EN长；
②如图3，连接DM，交直线n于点G，在点N由B向C运动的过程中，求GE长的最大值．
八．切线的性质（共2小题）
22．（2022•崇川区一模）如图，AB是⊙O直径，CG是⊙O的切线，C为切点，BD⊥CG于D，DB的延长线交⊙O于点E，连接BC，CE．
（1）求证：BC平分∠ABD；
（2）若AB＝10，sinE＝，求CD长．
23．（2022•常州一模）如图（1），∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．
九．圆的综合题（共2小题）
24．（2022•秦淮区一模）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．
【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是 ，依据是 ．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝1，BC＝2，∠B＝90°，则PM的长为 ．
25．（2022•玄武区一模）旋转的思考
【探索发现】
（1）已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．小美，小丽探索发现了下列结论．
小美的发现如图①，连接对应点BB′，CC′，则＝．
小丽的发现如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B′C′与⊙A相切．
（ⅰ）请证明小美所发现的结论．
（ⅱ）如图②，小丽过点A作AD′⊥B′C′，垂足为D′．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【问题解决】
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝，AC＝2，M是AC的中点，将△ABC绕点M逆时针旋转得到△A'B'C'．
（ⅰ）如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB'，则BB'的长为 ．
（ⅱ）在旋转过程中，若边B'C'所在直线l恰好经过点B，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法）
【拓展研究】
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB'，CC'交于点P，则BP的最大值为 ．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
26．（2022•崇川区一模）矩形ABCD中，AB＜BC，AB＝6，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上．
（1）如图，当点E在边CD上时，若BC＝10，DF的长为 ；若AF•DF＝9时，求DF的长；
（2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长．
一十一．相似形综合题（共2小题）
27．（2022•常州一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”；
（2）请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．
28．（2022•邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线OM、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．
（1）如图1所示，当点G在ED上，若OG＝DE，则∠EDF＝ °；
（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；
（3）若DG＝2，AG＝4，求DF的长．
江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-09解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•常州一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点D（m，），过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB＝4．
（1）点A的坐标为 （m﹣2，4） （用含m的式子表示）；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）设直线AD的解析式为y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）．则不等式﹣（ax+b）＞0的解集是 0＜x＜1或x＞3 ．
【解答】解：（1）D（m，），BC＝2，
∴OB＝m﹣2，
又∵AB＝4，AB⊥OC，
∴A（m﹣2，4），
故答案为：（m﹣2，4）；
（2）反比例函数y＝（x＞0）的图象上有A，D两点，
∴k＝4×（m﹣2）＝m，
解得m＝3，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（3）∵A（1，4），D（3，），
∴不等式﹣（ax+b）＞0的解集为0＜x＜1或x＞3．
故答案为：0＜x＜1或x＞3．
三．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2022•海陵区一模）如图，动点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y＝的图象于点A、B，连接AB、OA、OB，设点P横坐标为a．
（1）直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；
（2）点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在平面内有一点Q（，1），且点Q始终在△PAB的内部（不包含边），求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵点P在函数y＝（x＞0）的图象上，点P横坐标为a．
∴P（a，），
∵PA∥x轴，PB∥y轴，
∴B（a，﹣），A（﹣）；
（2）是定值，理由如下：
∵PA＝a﹣（﹣）＝，PB＝﹣（﹣）＝，
∴△APB的面积为×PA×PB＝＝，
∵S四边形AOBP＝3+1＝4，
∴△AOB的面积为定值4﹣＝；
（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点B（a，﹣），A（﹣）代入得，
k＝﹣，b＝，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣，
当x＝时，y＝﹣，
∵点Q始终在△PAB的内部，
∴﹣＜1，且＞1，且a＞，
解得a≠1，且＜a＜3，
综上：＜a＜3且a≠1．
四．二次函数综合题（共9小题）
4．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为 7 ；
（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴y≥0，
∴y＝x2+2x+1没有上界函数；
∵y＝2x﹣3（x≤5），
∴y≤7，
∴y＝2x﹣3（x≤5）有上界函数，上确界为7，
故答案为：②，7；
（2）∵y＝（a≤x≤b，a＞0），
∴当x＝a时，y有最大值，当x＝b时，y有最小值，
∴≤y≤，
∵函数上确界是b+1，
∴＝b+1，
∵函数的最小值为2，
∴＝2，
∴b＝3，
∴a＝；
（3）∵y＝﹣x2+2ax+2＝﹣（x﹣a）2+a2+2，
∴当x＝a时，y有最大值a2+2，
①a≤﹣1时，x＝﹣1，y有最大值1﹣2a，
∵6为上确界，
∴1﹣2a＝6，
∴a＝﹣；
②a≥3时，x＝3时，y有最大值6a﹣7，
∵6为上确界，
∴6a﹣7＝6，
∴a＝（舍）；
③﹣1＜a＜3时，x＝a时，y有最大值a2+2，
∵6为上确界，
∴a2+2＝6，
∴a＝2或a＝﹣2（舍）；
综上所述：a的值为﹣或2．
5．（2022•崇川区一模）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴纵对称．其中一点叫做另一点关于x轴的纵对称点．如，点（﹣2，3），（1，﹣3）关于x轴纵对称．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1）．
（1）下列各点中，与点A关于x轴纵对称的点是 ①④ （只填序号）；
①（3，﹣1）；
②（﹣2，1）；
③（2，﹣1）；
④（﹣1，﹣1）．
（2）若点A关于x轴的纵对称点B恰好落在直线y＝kx+3k+1上，△AOB的面积为3，求k的值；
（3）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，且这两个点之间的距离不超过6，请直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：与点A关于x轴纵对称的点的纵坐标为﹣1，横坐标为不等于2，
∴②③不是点A关于x轴纵对称的点，①④是点A关于x轴纵对称的点，
故答案为：①④；
（2）由题意可得点B的纵坐标为﹣1，设点B的坐标为（x，﹣1），
①当x＞0时，如图，分别过点A、点B作AM⊥y轴于M，作BN⊥y轴于N，
∴S△AOB＝S梯形AMNB﹣S△AOM﹣S△BON＝（2+x）×（1+1）﹣×2×1﹣x•1＝3，
∴x＝4，
∴点B的坐标为（4，﹣1），
∵点B恰好落在直线y＝kx+3k+1上，
∴4k+3k+1＝﹣1，解得k＝﹣，
∴k的值为﹣；
②当x＜0时，如图，分别过点A、点B作AM⊥x轴，作BN⊥y轴于N，AM、BN交于点M，
∴S△AOB＝S△ABM﹣S梯形AMNO﹣S△BON＝（2﹣x）×（1+1）﹣×（1+1+1）×2﹣（﹣x）×1＝3，
∴x＝﹣8，
∴点B的坐标为（﹣8，﹣1），
∵点B恰好落在直线y＝kx+3k+1上，
∴﹣8k+3k+1＝﹣1，解得k＝，
∴k的值为；
综上，k的值为﹣或；
（3）令y＝﹣1，则ax2﹣2ax﹣3a＝﹣1，
∴ax2﹣2ax﹣3a+1＝0，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+1）＝16a2﹣4a＞0，
∴4a2﹣a＞0，
设两个点的横坐标分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝∴|x1﹣x2|≤6，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2≤36，
∴4﹣4×≤36，
∴1﹣≤9，
①当a＞0时，
1﹣≤9，且4a2﹣a＞0，
解得a≥﹣，且a＞，
∴a＞；
∵与点A（2，1）关于x轴纵对称，
∴这两个点不能是（2，﹣1），
将（2，﹣1）代入ax2﹣2ax﹣3a＝0得，
4a﹣4a﹣3a＝﹣1，解得a＝，
∴a≠，
∴a＞且a≠；
②当a＜0时，
1﹣≤9，且4a2﹣a＞0，
解得a≤﹣，且a＜，
∴a≤﹣；
综上，a的取值范围为a＞且a≠或a≤﹣．
6．（2022•滨湖区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），抛物线的顶点为P，对称轴交BC于点M，连接PC、PB，△PCM与△PBM的面积比为1：2；
（1）①抛物线的对称轴是 直线x＝1 ；②求抛物线的函数表达式．
（2）若点Q为抛物线第一象限图象上的一点，作QN⊥x轴交BC于点N，当QN+NB取得最大值时，求以Q、N、B、G为顶点的平行四边形顶点G的坐标．
【解答】解：（1）①∵y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣＝1，
即抛物线的对称轴是直线x＝1，
故答案为：直线x＝1；
②∵C（0，4），
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+4，
∵△PCM与△PBM的面积比为1：2，
∴PM×（xB﹣1）＝2×PM×（1﹣xC），
∴xB﹣1＝2，
∴xB＝3，
∴B（3，0），
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴A（﹣1，0），
将B（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣2ax+4中，
得：9a﹣6a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+4．
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，4）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+4，
设Q（t，﹣t2+t+4），则N（t，t+4），
∴QN＝﹣t2+t+4﹣（t+4）＝﹣t2+4t，
设QN与x轴交于H，则H（t，0），
∴NH＝t+4，BH＝3﹣t，
∵QN⊥x轴，
∴∠BHN＝∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∵sin∠CBO＝＝，
∴＝，
∴NB＝（t+4）＝t+5，
∴QN+NB＝﹣t2+4t+（t+5）＝﹣t2+t+5＝﹣（t﹣）2+，
∵＜0，
∴当t＝时，QN+NB取得最大值，
∴﹣t2+t+4＝﹣×（）2+×+4＝，
此时，Q（，），N（，），
①当BQ为▱BNQG的对角线时，BG∥QN，BG＝QN，
∵QN＝﹣＝，QN∥y轴，
∴BG＝，BG∥y轴，
∴G1（3，）；
②当BN为▱BQNG的对角线时，BG∥QN，BG＝QN，
∵QN＝﹣＝，QN∥y轴，
∴BG＝，BG∥y轴，
∴G2（3，﹣）；
③当QN为▱BQGN的对角线时，BN∥GQ，BN＝GQ，
∵BH＝3﹣＝，HN＝，
∴BN向左平移个单位，向上平移个单位，得到线段GQ，
∴点G的横坐标为：﹣＝﹣，点G的纵坐标为：+＝，
∴G3（﹣，）；
综上所述，顶点G的坐标为G1（3，）或G2（3，﹣）或G3（﹣，）．
7．（2022•邳州市一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），且OB＝OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）如图2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接写出点N的坐标．
【解答】解：（1）∵点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵OB＝OC
∴OB＝3，
∴点B（3，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），点B（3，0），
∴，解得，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）把C向上移1个单位得点C′，再作C′关于抛物线的对称轴的对称点C″，连接AC″，与对称轴交于点E，再在对称轴上E点下方取点D，使得DE＝1，连接CD，则CD＝C′E＝C″E，此时四边形ACDE的周长最小，
∵C（0，﹣4），
∴C′（0，﹣3），
∵y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴C″（2，﹣3），A（﹣1，0），
∴AC＝＝，
AC″＝＝3，
∴AE+DE+CD+AC＝AE+1+C″E+＝1++AE+C″E＝1++AC″＝1++3的值最小，
∴四边形ACDE的周长的最小值为1++3；
（3）如图，设直线CN交x轴于点E，
直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，
又∵S△NCB：S△NCA＝EB×（yN﹣yC）：AE×（yN﹣yC）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：3或3：1，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
则AE＝3或1，
即：点E的坐标为（2，0）或（0，0），
∵当点E的坐标为（0，0）时，直线CE与抛物线不可能交于点N，故不合题意，舍去，
当点E的坐标为（2，0）时，设直线CN的表达式：y＝kx﹣4，
∴2k﹣4＝0，解得k＝2，
∴直线CN的表达式：y＝2x﹣4，
联立y＝x2﹣x﹣4并解得：x＝或0（不合题意，舍去），
故点N的坐标为（，3）．
8．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点B（3，0），P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线BC．
（1）点A的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）若射线CB平分∠PCO，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，如果点D（m，0）是线段AB（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线BC和抛物线于E、F两点，当m为何值时，△CEF为直角三角形？
【解答】解：（1）把B（3，0）代入入y＝ax2+bx﹣3a，得0＝9a+3b﹣3a，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
当y＝0时，
ax2﹣2ax﹣3a＝0，
∵a＜0，
∴x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．
∴A（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）；
（2）由（1）知，b＝﹣2a，
∴对称轴为直线x＝1．
设对称轴与BC交于点G，
∵y＝ax2+bx﹣3a＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴P（1，﹣4a），
当x＝0时，y＝ax2+bx﹣3a＝﹣3a，
∴C（0．﹣3a），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴y＝ax﹣3a，
当x＝1时，y＝ax﹣3a＝﹣2a，
∴G（1，﹣2a）．
∵CB平分∠PCO，
∴∠PCG＝∠OCG，
∵CO∥PG，
∴∠OCG＝∠CGP，
∴∠PCG＝∠CGP，
∴PC＝PG，
∵P（1，﹣4a），C（0，﹣3a），G（1，﹣2a）．
∴PC2＝PG2，即1+a2＝4a2，
∴a＝±，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+；
（3）∵DE⊥x轴，
∴∠EDB＝90°，∠DEB＜90°，
∵∠CEF＝∠DEB，
∴∠CEF≠90°，
①当∠CFE＝90°时，CF∥OB，
∵对称轴为直线x＝1，
∴此时m＝2；
②当∠ECF＝90°时，设直线CF交x轴于点H，
当x＝0时，y＝﹣x2+x+＝，
∴C（0，），
∵B（3，0），
∴tan∠OCB＝，
∴∠OCB＝60，
∴∠HCO＝30°．
∵tan∠ACO＝＝，
∴∠ACO＝30°，
∴H与A重合，
∴此时m＝﹣1；
综上，当m＝2或﹣1时，△CEF为直角三角形．
9．（2022•仪征市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）．
（1）若二次函数解析式为y＝﹣x2+1，此函数图象经过A（x1，m）、B（x2，n），且m＞n，则x1＝ 0 ，x2＝ 1 ；（找出一组符合条件的x1、x2的值即可）
（2）若b＝﹣4a＜0，函数图象经过P（，y1）、Q（，y2）、R（﹣，y3），请直接写出y1、y2、y3的大小关系（用“＜”连接）；
（3）若a：b：c＝1：（﹣4）：3，函数图象经过D（x1，m）、E（x2，m）、F（0，3），且x1＜x2，当2≤x2﹣x1≤3，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+1是开口向下的抛物线，对称轴是y轴，
∴设m＝1，n＝0，
则x1＝0，x2＝1，
故答案为：0，1；
（2）∵b＝﹣4a＜0，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴函数图象是开口向上，对称轴是直线x＝2的抛物线，
∴Q（，y2）关于对称轴直线x＝2的对称点为Q′（，y2），
∵＜＜，且图象在对称轴的左边时，y随x的增大而减小，
∴y1、y2、y3的大小关系为：y1＜y2＜y3；
（3）将点F（0，3）代入函数解析式y＝ax2+bx+c，得c＝3，
∵a：b：c＝1：（﹣4）：3，
∴a＝1，b＝﹣4，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3，对称轴为直线x＝2，
∵D（x1，m）与E（x2，m）的纵坐标相同，
∴点D和点E关于对称轴直线x＝2对称，
∴＝2，
∴x1+x2＝4，故x2＝4﹣x1，
∵2≤x2﹣x1≤3，
∴2≤4﹣x1﹣x1≤3，
∴2≤4﹣2x1≤3，
∴≤x1≤1，
∴x1在函数对称轴的左边，此时y随x的增大而减小，
当x1＝时，m＝，
当x1＝1时，m＝0，
∴m的取值范围为0≤m≤．
10．（2022•锡山区一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，则0＝x﹣2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0．
∴x＝﹣1或x＝4．
∴点A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴OB＝4，OC＝2．
∴＝．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC．
Ⅰ、当△PNC∽△AOC时，∠PCN＝∠ACO，
∴∠PCN＝∠OBC．
∴CP∥OB．
∴点P的纵坐标为﹣2．
∴m2﹣m﹣2＝﹣2．
∴m＝0（舍）或m＝3．
∴P（3，﹣2）；
Ⅱ、当△PNC∽△COA时，∠PCN＝∠CAO，
∴∠OCB＝∠PCD．
∵PD∥OC，
∴∠OCB＝∠CDP．
∴∠PCD＝∠PDC．
∴PC＝PD．
由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵C（0，﹣2），
∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝．
∴2m﹣m2＝．
∴m＝或m＝0（不符合题意，舍去）．
∴P（，﹣）．
即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．
11．（2022•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a，c为常数）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C，点D在线段BC上，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；
（3）M是抛物线对称轴上一点，N在抛物线上，直接写出所有以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时的N的坐标，并把其中一个求N坐标的过程写出来．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）、B（4，0）两点分别代入抛物线y＝ax2﹣x+c中得：，
解得：，
所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）如图1，连接PC，过点P作PE∥y轴，交BC于E，
∵＝，
∴＝，
设BC的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得：，
∴BC的解析式为：y＝x﹣4，
设E（t，t﹣4），P（t，t2﹣t﹣4），
∴EP＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t，
∴S△CPB＝•PE•OB＝×4（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t2﹣4t+4﹣4）＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，△BCP的面积最大，且最大值是4，此时△BDP的面积最大值是；
（3）∵B（4，0），C（0，﹣4），＝，
∴D（，﹣），
抛物线的对称轴是：x＝1，
分三种情况：
①如图2，四边形ADNM是平行四边形，
∵A（﹣2，0），D（，﹣），点M的横坐标为1，
∴点N的横坐标为，
当x＝时，y＝×（）2﹣﹣4＝，
∴N（，）；
②如图3，四边形ADMN是平行四边形，
由平移得：点N的横坐标是﹣，
当x＝﹣时，y＝×（﹣）2+﹣4＝，
∴N（﹣，）；
③如图4，四边形ANDM是平行四边形，
由平移得：点N的横坐标为：﹣
当x＝﹣时，y＝×（﹣）2+﹣4＝﹣，
∴N（﹣，﹣）；
综上，点N的坐标为N（，）或（﹣，）或（﹣，﹣）．
12．（2022•常州一模）在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）．连接OM，作CD∥OM交AM的延长线于点D．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）直线AM上是否存在点P，使得△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2？如果存在请求出点P的坐标，如果不存在请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线对应的二次函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
即抛物线对应的二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴M（﹣1，4），
设OM的解析式为：y＝kx，
∴﹣k＝4，
∴k＝﹣4，
∴OM的解析式为：y＝﹣4x，
∵OM∥CD，
∴CD的解析式为：y＝﹣4x+3，
设AM的解析式为：y＝mx+b，
∴，
解得：，
∴AM的解析式为：y＝2x+6，
∴2x+6＝﹣4x+3，
∴x＝﹣，
∴D（﹣，5）；
（3）存在，
∵P在直线AM上，
∴设P（t，2t+6），
①当点P在x轴的上方时，如图1，
∵△POA的面积与四边形POCM面积之比为1：2，
∴S四边形POCM＝2S△POA，
∴S△OPE﹣S△CME＝2S△POA，
∴×6×（﹣t）﹣×3×1＝2××3（2t+6），
∴t＝﹣＝﹣，
∴P（﹣，）；
②如图2，当点P在x轴下方时，
∵S四边形POCM＝2S△POA，
∴S△OPE﹣S△CME＝2S△POA，
∴×6×（﹣t）﹣×3×1＝2××3（﹣2t﹣6），
∴t＝﹣5.5，
∴P（﹣5.5，﹣5）；
综上，点P的坐标为（﹣，）或（﹣5.5，﹣5）．
五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•武进区一模）如图，▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE，CF．
（1）求证：∠DAE＝∠BCF．
（2）连接AC交于BD点O，求证：AC，EF互相平分．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF．
（2）证明：连接AO交BD于点O，连接AF、CE．
由（1）得，△ABE≌△CDF，
∴∠AED＝∠CFB，AE＝CF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC、EF互相平分．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•仪征市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
【解答】（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AEF和△DEB中，，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：连接DF，如图所示：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝4，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积＝AC▪DF＝×3×4＝6．
七．四边形综合题（共7小题）
15．（2022•江都区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）．
（1）在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；
（2）连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD；
（3）在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝ ．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
当A′落在线段BC上时，由旋转得A′D＝AD＝4，
∴A′C＝＝＝，
∴A′B＝BC﹣A′C＝4﹣，
∴A′B的长为4﹣．
（2）如图2，点B′与点C在直线BD的同侧，作A′E⊥AD于点E，则∠A′EA＝90°，
由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，
∵∠BA′B'＝90°，
∴∠B′A′D+∠BA′B'＝180°，
∴点B、A′、D在同一条直线上，
∵∠A′ED＝∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝5，
∴＝＝＝sin∠ADB，＝＝＝cos∠ADB，
∴A′E＝A′D＝×4＝，ED＝A′D＝×4＝，
∴AE＝AD﹣ED＝4﹣＝，
∴tan∠A′AD＝＝＝3；
如图3，点B′与点C在直线BD的异侧，作A′E⊥AD交AD的延长线于点E，则∠E＝90°，
由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，
∵∠BA′B'＝90°，
∴∠B′A′D＝∠BA′B'，
∴A′D与A′B重合，
∴点B、A′、D在同一条直线上，
∵∠EDA′＝∠ADB，
∴＝sin∠EDA′＝sin∠ADB＝＝，＝cos∠EDA′＝cos∠ADB＝＝，
∴A′E＝A′D＝，ED＝A′D＝，
∴AE＝AD+ED＝4+＝，
∴tan∠A′AD＝＝＝，
综上所述，tan∠A′AD＝3或tan∠A′AD＝．
（3）如图4，在AD上截取DF＝，则＝＝，
作DH⊥AA′于点H，在DH上截取DG＝DH，连接FG、CG，则＝，
∵A′D＝AD，
∴H为AA′的中点，
∴DH为△DAA′的中线，
∴点G为△DAA′的重心，
∵＝，∠FDG＝∠ADH，
∴△DFG∽△DAH，
∴∠FGD＝∠AHD＝90°，
取DF的中点O，连接OC交⊙O于点P，连接OG，则OG＝OP＝OD＝DF＝×＝，
∴点G在以点O为圆心、半径为的圆上运动，
∵CG+OG≥OC，即CG+OG≥CP+OP，
∴CG+≥CP+，
∴CG≥CP，
∴当CG＝CP时，CG的长最小，
∵OC＝＝＝，
∴CP＝OC﹣OP＝﹣＝，
∴CG的最小值是，
故答案为：．
16．（2022•宜兴市一模）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（8，0），点B（0，6），点P在BC边上从点B运动到点C（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B'和折痕OP．
（1）如图①，连接CB'，当CB'长度最小时，求点P的坐标；
（2）①如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB'上，得点C'和折痕PQ，请问AQ的长度有没有最小值，若有，诸求出这个最小值以及此时点P的坐标；若无，请说明理由．②请直接写出点Q的运动路径长．
【解答】（1）解：设BP＝x，由题意，当CB'长度最小时，O，B'，C三点共线，
∵∠OBP＝90°，由翻折得，∠OB'P＝90°，
∴∠CB'P＝90°＝∠OBP，
∵∠B'CP＝∠OCB，OB＝6，BC＝8，
∴△B'CP∽△BCO，OC＝，
∴，
∴，
解得：x＝3，
∴点P的坐标为（3，6）；
（2）①解：∵△OB'P，△QC'P分别是由△OBP，△QCP折叠得到的，
∴∠OPB'＝∠OPB，∠QPC'＝∠QPC，
∵∠OPB'+∠OPB+∠QPC'+∠QPC＝180°，
∴∠OPB+∠QPC＝90°，
∵∠BOP+∠OPB＝90°，
∴∠BOP＝∠CPQ，
∵∠OBP＝∠C＝90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴，
由题意设BP＝x，BC＝8，AC＝6，则PC＝8﹣x，CQ＝6﹣AQ，
∴，
∴AQ＝（0＜x＜8），
∴当x＝4时，AQ最小为，点P的坐标为（4，6）；
②解：由①知，CQ＝6﹣AQ＝，其中，0＜x＜8，
当x＝4时，CQ取最大值，
在P从BC中点运动到C点的过程中，
CQ的长度从最大值减小为0，
故Q点运动路径长度为：．
17．（2022•鼓楼区一模）一道作图题：“求作一个▱ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线平分∠BAD．”
小明的思考：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．
例如，假设▱ABCD即为所求作，则AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
又AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE．
∴∠BAE＝∠BEA．
∴BA＝BE．（①）
∵E是边BC的中点，
∴……
再倒过来，只要作出的▱ABCD满足BC＝②BA即可．
（1）填空：① 等角对等边 （填推理依据）；② 2 ．
（2）参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个▱ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线与对角线BD垂直；（要求：保留作图的痕迹，无需写出文字说明．）
（3）问题（2）所作的▱ABCD中的BC和BA是否也有和（1）类似的数量关系？设BC＝kBA（k是常数），若k是定值，直接写出k的值；若不是，试直接写出k的取值范围．
【解答】解：（1）假设▱ABCD即为所求作，则AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
又AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE．
∴∠BAE＝∠BEA．
∴BA＝BE．（等角对等边）
∵E是边BC的中点，
∴BC＝2BA，
故答案为：等角对等边，2；
（2）方法一：①作线段BC的垂直平分线，取BC的中点E，以E为圆心，BE的长为半径作⊙E，在圆上任取一点G，连接CG，BG，则CG⊥GB，
②取EC的中点F，以FB为半径，F为圆心作弧，交BG的延长线于点D，则FD＝FB，作B点的垂直平分线交BD于O，交AD于K，则FO⊥BD，OB＝OD，
③以O为圆心OC长为半径作⊙O，延长CO，交⊙O于点A，则OA＝OC，连接AB、AD、DC，则四边形ABCD是平行四边形，
④连接AE，此时AE∥FK，FK⊥BD，即AE⊥BD；
方法二：①作BE＝EC，任作射线BP（角度要小），
②作EH⊥BP于点H，在射线EH上截HA＝2EH，
③以点A为圆心作AD＝BC交BP于点D，
④连接AB，CD即可；
（3）由作图可知，问题（2）所作的▱ABCD中的BC和BA也有和（1）类似的数量关系，BC＝kBA，
∵EB＝EC，EF＝FC，设BC＝4a，则BE＝2a，EF＝FC＝a，
∵EO＝EB，FB＝FD，
∴∠EOB＝∠EBO，∠FDB＝∠FBD，
∴∠EOB＝∠FDB，
∴EG∥FD，
∴＝＝，
即BD＝BG，
根据三角形三边关系得|BD﹣BC|＜CD＜|BD+BC|，
∵点G是⊙E上的一动点，则0＜BG＜2BC，
即0＜BG＜4a，
∴0＜BD＜6a，
∵|BD﹣BC|＜CD＜|BD+BC|，BC＝4a，
∴2a＜CD＜4a，
∵AB＝CD，
∴2a＜AB＜4a，
∵BC＝4a，
∴1＜＜2，
即1＜k＜2．
18．（2022•扬州一模）【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
【知识方法】
（1）如图1，AE＝DE，BE＝CE，DE⊥AC交AC于点E，则AB与CD的关系是 AB＝CD，AB⊥CD ；
【类比迁移】
（2）四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点P是AD边上的一个动点．
①如图2，过点C作CE⊥CP，CE：CP＝1：2，连接BP、DE．判断线段BP与DE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②如图3，以CP为边在CP的右侧作正方形CPFE，连接DF、DE，则△DEF面积的最小值为 ；
【拓展应用】
（3）四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点P是CD边上的一个动点（与点C、D不重合），连接BP，将BP绕点P顺时针旋转90°到EP，EP交AD于点G，将CP绕点P顺时针旋转90°到FP，连接AF、GF．求四边形AEGF面积的最小值．
【解答】解：（1）如图1，延长AB交CD于H，
∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEC＝90°，BE＝CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠CDE＝∠BAE，AB＝CD，
∵∠BAE+∠ACD＝∠ACE+∠CDE＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴AB⊥CD，
故答案为：AB＝CD，AB⊥CD；
（2）①，BP⊥DE，理由如下：
如图2，延长ED，BP交于点H，
∵AB＝2＝CD，BC＝4，
∴CD：BC＝1：2，
∵CE⊥CP，CE：CP＝1：2，
∴∠PCE＝90°＝∠BCD，＝，
∴∠BCP＝∠DCE，
∴△BCP∽△DCE，
∴，∠PBC＝∠CDE，
∴∠PBC+∠CDH＝∠CDE+∠CDH＝180°，
∴∠BCD+∠H＝180°，
∴∠H＝90°，
∴BP⊥DE；
②设PD＝x，
∴PC2＝x2+CD2＝4+x2，
∴正方形PCEF的面积＝PC2＝4+x2，
∴△DEF面积＝（4+x2）﹣×2×x＝（x﹣1）2+，
当x＝1时，△DEF面积的最小值为，
故答案为．
（3）如图，
由折叠的性质可得：BP＝PE，CP＝PF，∠CPF＝∠BPE＝90°，
∴∠CPB＝∠FPE，
∴△BCP≌△EFP（SAS），
∴EF＝BC＝4，∠C＝∠EFP＝90°，
∵∠FPC＝∠ADC＝90°，
∴AD∥PF，
∴AD⊥EF，
∴四边形AEGF面积＝×EF×AG＝2AG，
∵∠BPC+∠PBC＝90°＝∠BPC+∠DPG，
∴∠CBP＝∠DPG，
又∵∠C＝∠D＝90°，
∴△BCP∽△PDG，
∴，
∴DG＝＝，
∴当PC＝1时，DG有最大值，
即AG的最小值为，
∴四边形AEGF面积＝2×＝．
19．（2022•锡山区一模）【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】（1）如图1，对余四边形中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC，若AC＝AB，则cos∠ABC＝ ，sin∠CAD＝ ．
（2）如图2，凸四边形中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．
【拓展提升】（3）在平面直角坐标中，A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围 u＝（0＜t＜4） ．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝3，
∴cos∠ABC＝＝，
在Rt△AEB中，AE＝＝＝4，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠FCD＝90°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF＝，
∴sin∠CAD＝＝，
故答案为：，；
（2）如图2，结论：四边形ABCD是对余四边形．
理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∴∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，
∴CM2+CB2＝BM2，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
（3）如图3，过点D作DH⊥x轴于H．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），
∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ACE＝∠ADE，
∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ACE，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴u＝，
设D（x，t），
∵四边形ABCD是对余四边形，
可得BD2＝2CD2+AD2，
∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，
整理得（x+1）2＝4t﹣t2，
在Rt△ADH中，AD＝＝＝2，
∴u＝（0＜t＜4），
即u＝（0＜t＜4），
故答案为：u＝（0＜t＜4）．
20．（2022•海陵区一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m（m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC于点G．
（1）求证：EG＝BG；
（2）若m＝2．
①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；
②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；
（3）随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BG﹣AE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG，
∵△ABE与△FBE关于BE对称，
∴∠AEB＝∠BEF，
∴∠EBG＝∠BEF，
∴EG＝BG；
（2）解：①点G与C重合；
理由：如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝6．AE＝BH＝2，
设BG＝EG＝x，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+HG2，
∴x2＝62+（x﹣2）2，
∴x＝10，
∵BC＝AD＝10，BG＝10，
∴点G与C重合；
②如图2中，
由轴对称的性质可知AB＝BF，AE＝EF＝2，
∵＝＝，
∴＝，
∴可以假设AB＝k，BD＝4k，则DF＝3k，
在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2，
∴82＝22+（3k）2，
∴k＝（负根已经舍去），
∴AB＝；
（3）解：如图1中，设BG＝EG＝y，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+HG2，
∴y2＝AB2+（（y﹣m）2，
∴y＝•AB2+，
∴BG﹣AE＝AB2总成立，
∴•AB2+m﹣＝AB2，
∴m＝．
21．（2022•兴化市一模）已知矩形ABCD中，AB＝6，M是AB的中点，N是BC边上一动点，直线m垂直平分MN，垂足为O，如图1，当点N与点C重合时，直线m恰好经过点D．
（1）求BC长；
（2）如图2，过点N作BC的垂线n，分别交直线m、AD于点E、F．
①当BN＝4时，求EN长；
②如图3，连接DM，交直线n于点G，在点N由B向C运动的过程中，求GE长的最大值．
【解答】解：（1）如图1中，连接DM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD，
∵M是BC的中点，
∴AM＝BM＝3，
∵直线m垂直平分线段MN，
∴DM＝DC＝6，
∴AD＝＝＝3，
∴BC＝3；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△MBN中，∠B＝90°，
∴MN＝＝＝5，
∵直线m垂直平分线段MN，
∴ON＝MN＝，∠EON＝90°＝∠B，
∵直线n垂直BC，
∴∠ENB＝∠B＝90°，
∴AB∥EN，
∴△BMN∽△NOE，
∴＝，
∴EN＝＝＝．
②∵∠A＝∠B＝∠ENB＝90°，
∴四边形ABNF是矩形，
∴FN＝AB＝6，AF＝BN，
∵AB∥EN，
∴∠A＝∠DFG，
∴△DFG∽△DAM，
∴＝，
∴FG＝＝＝3﹣BN，
∵EN＝＝＝＝，
∴GE＝FN﹣FG﹣EN＝6﹣（3﹣BN）﹣＝﹣BN2+BN+＝﹣（BN﹣）2+2，
∵﹣＜0，
∴当BN＝﹣＝时，GE的长有最大值，最大值＝2．
八．切线的性质（共2小题）
22．（2022•崇川区一模）如图，AB是⊙O直径，CG是⊙O的切线，C为切点，BD⊥CG于D，DB的延长线交⊙O于点E，连接BC，CE．
（1）求证：BC平分∠ABD；
（2）若AB＝10，sinE＝，求CD长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CG是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CG，
∴∠OCD＝∠BDC＝90°，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠OBD；
（2）解：如图2，连接AC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠E，
∴sinA＝sinE＝，
在Rt△ABC中，sinA＝＝，AB＝10，
∴BC＝AB＝6，
∵∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴∠OBC+∠A＝∠DBC+∠BCD＝90°，
∵∠OBC＝∠DBC，
∴∠A＝∠BCD，
∴sin∠BCD＝sinA＝，
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝＝，BC＝6，
∴BD＝BC＝，
在Rt△BCD中，BC＝6，BD＝，
根据勾股定理得：CD＝＝．
23．（2022•常州一模）如图（1），∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．
【解答】解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．
理由如下：如图，设切点为F，连OF．则OF⊥BF，
在Rt△OBF中，OF＝2，OB＝4，
∴cos∠OBF＝＝，
∴∠OBF＝∠BOF＝45°，
∴∠ABF＝45°，
同理：当∠ABF＝135°时，AB与⊙O相切，
∴当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．
（2）过点O作OH⊥AB于点H，
∵射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，
∴∠ABC＝30°，
∴OH＝OB＝×4＝2，
在Rt△OMH中，OM＝2，
∴cos∠MOH＝＝，
∴∠MOH＝45°，
∴∠MON＝90°，
∴的长为：＝π．
九．圆的综合题（共2小题）
24．（2022•秦淮区一模）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．
【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是 互补 ，依据是 圆内接四边形的对角互补 ．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝1，BC＝2，∠B＝90°，则PM的长为 ．
【解答】解：（1）双圆四边形的对角的数量关系是互补，依据是圆内接四边形的对角互补；
故答案为：互补；圆内接四边形的对角互补；
（2）∵⊙P与四边形ABCD四边相切，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AB+CD＝AE+BE+DG+CG＝AH+BF+DH+CF＝AD+BC；
即双圆四边形的对边的和相等；
（3）证法一：
如图1，设HF和GE交点为N．连接HE，PE，PF，PG，PH，
∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，G，H为切点，
∴∠DHP＝∠DGP＝90°．
∴∠D+∠HPG＝180°．
同理∠B+∠EPF＝180°．
∴∠HPG+∠EPF＝180°．
∵∠HEG＝∠HPG，∠EHF＝∠EPF，
∴∠HEG+∠EHF＝（∠HPG+∠EPF）＝90°，
∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；
证法二：
如图2，设HF和GE交点为N．连接PH，延长HP交⊙P于点K，连接HG，GK，HE，EF，
∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H，G为切点，
∴DH＝DG，∠DHP＝90°，即∠DHG+∠GHP＝90°，
∴∠DHG＝∠DGH＝（180°﹣∠D），
∵HK是⊙P直径，
∴∠HGK＝90°，即∠GHP+∠K＝90°，
∴∠DHG＝∠K，
∵∠HEG＝∠K，
∴∠DHG＝∠HEG，
∴∠HEG＝（180°﹣∠D），
同理∠EHF＝（180°﹣∠B），
∴∠HEG+∠EHF＝（180°﹣∠D）+（180°﹣∠B）＝90°，
∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；
证法三：
如图3，设HF和GE交点为N．延长AB，DC，相交于点K，
∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H、G为切点，
∴KG＝KE，
∴∠KGE＝∠KEG，
∵∠KGE+∠DGE＝180°，
∴∠KEG+∠DGE＝180°，
同理∠DHF+∠BFH＝180°，
在四边形DHNG和四边形BFNE中，
∴∠HNG+∠FNE＝2×360°﹣3×180°＝180°，
∵∠HNG＝∠FNE，
∴∠HNG＝90°，即GE⊥HF；
（4）阴影区域如下图；
（5）如图4，连接AC，连接FM，ME，
∵∠B＝90°，
∴AC是⊙P的直径，
由（2）知：AB+CD＝BC+AD，
设AD＝x，则CD＝x+1，
∴AC2＝x2+（x+1）2＝12+22，
∴x1＝1，x2＝﹣2，
∴AD＝1，CD＝2，
∴AD＝AB，CD＝BC，
∵AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠ACB＝∠ACD，∠CAD＝∠CAB，
∴点M在AC上，
∴∠B＝∠BEM＝∠BFM＝90°，FM＝EM，
∴四边形BEMF是正方形，
∴EM＝FM，
∵EM∥BC，
∴∠AME＝∠ACB，
∴tan∠AME＝tan∠ACB，
∴＝，
设AE＝a，EM＝2a，
∴2a＝1﹣a，
∴a＝，
∴PM＝﹣＝．
故答案为：．
25．（2022•玄武区一模）旋转的思考
【探索发现】
（1）已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．小美，小丽探索发现了下列结论．
小美的发现如图①，连接对应点BB′，CC′，则＝．
小丽的发现如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B′C′与⊙A相切．
（ⅰ）请证明小美所发现的结论．
（ⅱ）如图②，小丽过点A作AD′⊥B′C′，垂足为D′．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【问题解决】
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝，AC＝2，M是AC的中点，将△ABC绕点M逆时针旋转得到△A'B'C'．
（ⅰ）如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB'，则BB'的长为 4 ．
（ⅱ）在旋转过程中，若边B'C'所在直线l恰好经过点B，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法）
【拓展研究】
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB'，CC'交于点P，则BP的最大值为 5 ．
【解答】（1）（ⅰ）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，
∴＝．
∵∠BAB′＝∠CAC′，
∴△ABB′∽△ACC′．
∴＝；
（ⅱ）证明：∵△ABC≌△AB′C′，
∴AB＝AB′，∠B＝∠B′
∵∠ADB＝∠AD′B′＝90°，
∴△ABD≌△AB′D′（AAS），
∴AD＝AD′，
∵AD′是⊙A的半径，AD′⊥B′C′，
∴B′C′是⊙A的切线．
故答案为：∠B＝∠B′，AD＝AD′；
（2）解：（ⅰ）如图3中，连接BM，MB′，过点M作MH⊥CC′于点H．
∵AB＝AM＝，∠A＝90°，
∴BM＝AB＝，
∵MC＝MC′＝，tanC′＝＝，
∴MH＝1，HC′＝CH＝2，
∴CC′＝2CH＝4，
由旋转变换的性质可知，MB＝MB′，∠BMB′＝∠CMC′，
∴△BMB′∽△MCC′，
∴＝，
∴＝，
∴BB′＝4．
故答案为：4；
（ⅱ）如图④中，直线l即为所求．
（3）如图⑤中，连接MB，MB′．
∵△MBB′∽△MCC′，
∴∠MB′B＝∠MC′C，
∵∠MB′B+∠PB′M＝180°，
∴∠MC′C+∠PBM＝180°，
∴∠BMC′+∠CPB＝180°，
∵A′M＝A′B，∠A′＝90°，
∴∠A′MB＝45°，
∴∠BMC′＝135°，
∴∠CPB′＝45°，
∵BC＝＝＝5＝定值，
∴点P的运动轨迹是圆，假设圆心为O，连接OB，OC，OP．
∴∠BOC＝2∠CPB＝90°，
∴OB＝OC＝OP＝，
∵PB≤OB+OP＝5，
∴BP的最大值为5．
故答案为：5．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
26．（2022•崇川区一模）矩形ABCD中，AB＜BC，AB＝6，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上．
（1）如图，当点E在边CD上时，若BC＝10，DF的长为 2 ；若AF•DF＝9时，求DF的长；
（2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长．
【解答】解：（1）当点E在边CD上时，
∵点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上，
∴BF＝BC＝10．
∴AF＝＝＝8．
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2．
故答案为：2；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF．
∴△FAB∽△EDF，
∴．
∴AF•DF＝AB•DE．
∵AF•DF＝9，AB＝6，
∴DE＝．
∴CE＝CD﹣DE＝．
∵点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上，
∴EF＝CE＝．
∴DF＝＝3；
（2）①点F在AD边上时，
过点M作MN⊥BF于点N，如图，
∵BM平分∠ABF，MA⊥AB，MN⊥BF，
∴MA＝MN．
∵∠A＝∠MNF＝90°，∠AFB＝∠NFM，
∴△FAB∽△FNM，
∴．
∵，BF＝BC，
∴．
∵AB＝6，
∴MN＝3．
在Rt△ABM和Rt△NBM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△NBM（HL）．
∴BN＝AB＝6．
设MF＝x，则BF＝BC＝2x，
∴FN＝2x﹣6，
在Rt△MNF中，
∵MN2+FN2＝MF2，
∴32+（2x﹣6）2＝x2，
解得：x＝5或x＝3（舍去），
∴BC＝2x＝10，
∴AD＝BC＝10．
∴DF＝AD﹣AM﹣MF＝2；
②点F在边DA的延长线时，
过点M作MN⊥BF于点N，如图，
同①可得：AM＝MN＝3，BN＝AB＝6，BC＝AD＝10．
∵BF＝BC＝10，
∴FN＝BF﹣BN＝10﹣6＝4．
∴MF＝＝＝5，
∴DF＝AD+AM+MF＝18．
综上，当时，DF的长为2或18．
一十一．相似形综合题（共2小题）
27．（2022•常州一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”；
（2）请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段BD的长．
【解答】（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD为△ABC的“优美分割线”；
（2）解：如图，△ABC中，CD为“优美分割线”；
（3）解：①若AD＝CD时，如图，
此时∠A＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠A＝30°，
则∠ACB＝60°，
故∠B＝90°，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，
∴BC＝3，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝3，
∴BD＝BC•tan30°＝；
②若AC＝AD时，如图，作CE⊥AB于E，
则∠ACD＝∠ADC＝75°，∠BCD＝∠A＝30°，∠BDC＝105°，
此时∠ACB＝105°，∠B＝45°，
∵∠A＝30°，AC＝6，
∴EC＝3，AE＝3，
∵∠B＝45°，
∴EC＝BE＝3，AB＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝3，
③若AC＝CD时，图形不成立，
综上，BD＝或3﹣3．
28．（2022•邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线OM、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．
（1）如图1所示，当点G在ED上，若OG＝DE，则∠EDF＝ 60 °；
（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；
（3）若DG＝2，AG＝4，求DF的长．
【解答】（1）解：如图1中，
∵OM⊥ON，
∴∠EOF＝90°，
∵AE＝AF，
∴OA＝AE＝AF，
∵ED∥ON，
∴∠AGE＝∠AOF，
在△AGE和△AOF中，
，
∴△AGE≌△AOF（AAS），
∴AG＝OA，
∴EF＝OF，
∵DE＝DF，OG＝EF，
∴DE＝DF＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°．
故答案为：60；
（2）解：图形如图2所示．
理由：∵∠EOF＝90°，AE＝AF，
∴OA＝AF＝AE，
∴∠AOF＝∠AFO，
∴DE∥OF，
∴∠AFO＝∠DEF，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴∠AOF＝∠AFO＝∠DEF＝∠DFE，
∴△DEF∽△AOF；
（3）解：如图2﹣1中，当点G在DF上时，设DF＝DE＝x，AE＝AF＝OA＝AT＝y．过点A作AK⊥FG于点K，AH⊥OF于点H．
∵△DEF∽△AOF，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝，
∵∠AFO＝∠AFG，AH⊥OF，AK⊥FG，
∴AH＝AK，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴x2+2x＝8y，
∵DT∥OF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝，
∴x2+2x＝，
解得x＝﹣3+或﹣3﹣或0，
经检验x＝﹣3+是分式方程的解，且符合题意．
∴DF＝﹣3+．
如图3中，当点G在DE上时，由题意AE＝AF＝AO＝AG＝4，设DF＝DE＝y．
由△DEF∽△AOF可得＝，
∴＝，
∴y2﹣2y﹣32＝0，
∴y＝1+或1﹣，
经检验y＝1+是分式方程的解，且符合题意，
∴DF＝1+，
综上所述，满足条件的DF的值为：﹣3+或1+．
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