高一数学下学期期末考试分类汇编三角恒等变换苏教版

专题02  三角恒等变换

一、单选题

1．（2021·江苏苏州·高一期末）的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用余弦的二倍角公式可得答案.

【详解】

.

故选：A.

2．（2021·江苏常州·高一期末）已知，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知条件，运用三角函数的两角差公式，可得，对等式两边同时平方，再结合二倍角公式，即可求解．

【详解】

解：，

，

，对等式两边平方，可得，

，解得．

故选：A．

3．（2021·江苏扬州·高一期末）已知，，则（       ）

A．1 B． C．7 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知条件，先运用二倍角公式，可得，再结合正切函数的两角差公式，即可求解．

【详解】

解：因为，所以且，所以﹔

又，所以.

故选：A

4．（2021·江苏淮安·高一期末）如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知条件可得，，结合正切函数的两角差公式，即可求解．

【详解】

解：由图可得，，，

，

因为，，所以

．

故选：．

5．（2021·江苏徐州·高一期末）已知则sin2θ=（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知条件化简可得，两边平方可得，从而可求得答案

【详解】

解：由得，

所以，

所以，

所以，所以，

所以，

故选：A

6．（2021·江苏盐城·高一期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ）

A．向左平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到

C．向左平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用辅助角公式将函数变形，然后利用图象的平移变换分析求解即可．

【详解】

解：函数，

将函数的图象向左平移个单位可得的图象．

故选：．

7．（2021·江苏泰州·高一期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据两角和正切公式有，可求，再由两角差正弦公式、二倍角正弦公式可求b、c，进而可知它们的大小关系.

【详解】

∵，

∴，

，

，

∴.

故选：A

8．（2021·江苏省镇江中学高一期末）若，则（ ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

直接对已知的式子利用三角恒等变换公式化简可得答案

【详解】

解：因为，

所以，

，

所以，

所以，

所以，

所以，

故选：C

二、多选题

9．（2021·江苏淮安·高一期末）一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为，它与原点的距离是r.我们规定：比值，，分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，，，把，，分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（       ）

A．

B．

C．的定义域为

D．

【答案】ACD

【解析】

依据题意结合教材正弦余弦函数的定义逐一判断.

【详解】

，故A正确；

，故B不正确；

，，故C正确；

，，，

即，故D正确.

故选:ACD

10．（2021·江苏·高一期末）下列化简正确的是

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】

根据两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化简各个选项可得结果.

【详解】

中，，则错误；

中，，则错误；

中，，则正确；

中，，则正确.

故选：

【点睛】

本题考查三角恒等变换的化简问题，涉及到两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的应用.

三、填空题

11．（2021·江苏常州·高一期末）满足等式的数组有无穷多个，试写出一个这样的数组___________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】

对化简可得，则，从而可得，，进而可得答案

【详解】

解：由，得

，

所以，

所以，

所以，

所以，，所以可以为0，可以为，

故答案为：（答案不唯一）

12．（2021·江苏常州·高一期末）______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用两角和与差的正弦、余弦公式即可求解.

【详解】

.

故答案为：

13．（2021·江苏苏州·高一期末）若，则的值为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算，即可求解.

【详解】

由三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，可得

.

故答案为：

14．（2021·江苏·高邮市临泽中学高一期末）已知锐角α，β满足（tanα–1）（tanβ–1）=2，则α+β的值为__________．

【答案】

【解析】

【详解】

由（tanα–1）（tanβ–1）=2，可得：tanαtanβ–tanα–tanβ+1=2，∴tan（α+β）=═–1，

∵锐角α，β，∴α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案为．

四、解答题

15．（2021·江苏常州·高一期末）（1）已知求的值

（2）已知，且为第四象限角，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由诱导公式得，进而由，将所求的式子化为二次齐次式，进而得到含的式子，从而得解

（2）由，结合角的范围可得解.

【详解】

（1）由，得，

所以，

.

（2），

所以，

又为第四象限角，所以，

所以.

16．（2021·江苏盐城·高一期末）已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）若在区间上的值域为，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，从而可求得函数的最小正周期；

（2）由，得，由于函数的值域为，结合正弦函数的性质可得，从而可求出的取值范围

【详解】

（1），

则，

所以的最小正周期为.

（2）因为，，

所以要使得值域为，则只需要，

解得

所以的取值范围为.

17．（2021·江苏·高一期末）已知函数．

求的对称轴所在直线方程及其对称中心；

在中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，，求周长的取值范围．

【答案】（1）对称轴方程为，，对称中心为，（2）

【解析】

【详解】

分析：（1）用两角和的正弦公式展开变形，用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数的形式，再根据正弦函数的性质可得结论；

（2）由，求得，再由余弦定理得的等量关系，利用基本不等式和三角形中两边之和大于第三边可得的取值范围，从而得周长范围．

详解：（1）

由，∴∴的对称轴方程为，

由，∴，∴的对称中心为，

（2）∵，∴，∴，

∴，得：，，∴

又，∴，∴

点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：

解：∵，∴，∵，∴

∴，∴

由正弦定理得：

∴，

∴

∵，∴

∴的周长范围为

一、单选题

1．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）对于任意的锐角，，下列不等关系中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用和角正弦公式结合正余函数的有界性推理可判断A，B；取特殊角计算不等式的两边即可判断C；对于D，利用余弦函数在上的单调性推理判断作答.

【详解】

因，是锐角，

则，A不正确；

，B不正确；

令，，，而，C不正确；

因，是锐角，则，而函数在上单调递减，于是得，又，有，D正确.

故选：D

2．（2021·江苏南京·高一期末）若，则实数的值为（       ）

A．3 B． C．2 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用三角恒等变换，化简函数，求实数的值.

【详解】

原式变形为，

即，

则.

故选：C

3．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知，，，若，则＝（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

，，利用两角和与差的正弦拆分和，求出，由得出以及角的范围，从而求出，再求出，结合角的范围求出结果.

【详解】

解：因为

若，则，即，

，则，所以，，即

又，所以.

故选：C

4．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形（，，分别在边，，上）边长为多少？在求得正方形的边长后，可进一步求得的正切值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题设，令，正方形的边长为，由相似比有求a值，再由及两角差正切公式即可求值.

【详解】

由题意知：若，设正方形的边长为，则，解得，

∵，而，，

∴.

故选：B

5．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）已知，，，则的最大值为（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题设可得，而，利用基本不等式即可求其最大值，注意等号成立的条件.

【详解】

，

∴由题设，，

∵，，

∴，且，

∴当且仅当时等号成立.

故选：A

6．（2021·江苏苏州·高三期末）在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点)于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且，则a+b的最大值为(       )

A． B． C． D．不存在

【答案】B

【解析】

【分析】

用a、b表示出点A、B的坐标，利用三角函数定义结合探求出a、b的关系再求解即得.

【详解】

、是位于不同象限的任意角，依题意它们的终边在x轴上方，不妨令为第一象限角，为第二象限角，则点，，

由三角函数定义知，

，而a>0，b>0，

，当且仅当时取“=”，

，当且仅当时取“=”，

所以a+b的最大值是.

故选：B

【点睛】

基本不等式处理最值问题的三要素：“一正，二定，三相等”；不只一次涉及取等号，要确保各次取等号的条件不矛盾.

二、多选题

7．（2021·江苏南通·高三期末）已知函数（，，）的最大值为，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列结论确的定（       ）

A．函数的图象关于直线对称

B．当时，函数的最小值为

C．若，则的值为

D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位

【答案】BD

【解析】

【分析】

由函数性质求出函数解析式，然后再确定正弦函数的其他性质判断各选项：计算是否为最值，判断A，确定函数在的单调性得最小值判断B，代入函数解析式求得，再由平方关系、二倍角公式计算判断C，由三角函数图象变换判断D．

【详解】

由题意，，，

，，又，所以，

，

，不是对称轴，A错；

时，，此时递增，，B正确；

，，，C错；

将的图象向右平移个单位得函数解析式为，D正确．

故选：BD．

8．（2021·江苏南京·高一期末）关于函数的描述正确的是（       ）．

A．其图象可由的图象向左平移个单位得到

B．在单调递增

C．在有2个零点

D．在的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】

先根据二倍角公式、诱导公式及辅助角公式将函数解析式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．

【详解】

解：,

对选项A：的图象向左平移个单位，得,所以选项正确；

对选项B：在上单调递增，上单调递减，所以选项错误；

对选项C：由得,,解得,

在，上有2个零点和，所以选项正确；

对选项D：由，得，

所以，即的最小值，所以选项正确．

故选：ACD．

9．（2021·江苏·南京市中华中学高一期末）函数，下列结论正确的是（       ）

A．在区间上单调递增

B．的图象关于直线对称

C．将的图象向左平移个单位后与的图象重合

D．若，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断．

【详解】

，

时，，此时递增，A正确；

，B正确；

将的图象向左平移个单位后得解析式，C错误；

易知函数周期为，因此当则，D正确．

故选：ABD．

三、填空题

10．（2021·江苏·海安市曲塘中学高三期末）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正、余弦函数．若一个声音的数学模型是函数，则下列结论正确的是________．(填序号)

①是偶函数，且周期是；

②在上有4个零点；

③的值域为；

④在上是减函数．

【答案】①③

【解析】

【分析】

利用奇偶性、周期性的定义判定①正确；利用二倍角公式得到，再通过解方程结合余弦函数的值域判定②错误；利用二次函数的值域、余弦函数的最值判定③正确；利用二次函数的单调性、余弦函数的单调性及值域判定④错误.

【详解】

对于①：因为

，即是偶函数，

又对于，

，

且

即的周期是，

即①正确；

对于②：因为

，

令，即，

解得或（舍），

则在上有2个零点，

即②错误；

对于③：因为，

所以当时，；

当时，；

即的值域为，

即③正确；

对于④：令，则，

且在单调递减，且，

在上单调递减，在上单调递增，

所以在上不是单调递减，即④错误.

故答案为：①③.

四、解答题

11．（2021·江苏南通·高一期末）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.

（1）设函数，试求的伴随向量；

（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值；

（3）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

【分析】

(1)利用三角函数诱导公式化简函数得，根据题意写出伴随向量； (2)根据题意求出函数，再由及求出及，由展开代入相应值即可得解；(3) 根据三角函数图像变换规则求出的解析式，设，由得列出方程求出满足条件的点P的坐标即可.

【详解】

（1）∵

∴

∴的伴随向量

（2）向量的伴随函数为，

，

，

（3）由（1）知：

将函数的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数

再把整个图像向右平移个单位长得到的图像，得到

设，∵

∴，

又∵，∴

∴

∴（*）

∵，∴

∴

又∵

∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立

∴在的图像上存在点，使得.

【点睛】

本题主要考查平面向量坐标形式与三角函数的综合应用，涉及三角函数诱导公式，三角恒等变换，求三角函数图像变换后的解析式，向量垂直的数量积关系，属于中档题.

12．（2021·江苏盐城·高一期末）已知函数.

（1）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）记，存在，，使得等式成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）依题意，可得恒成立，再结合基本不等式即可得解；

（2）先化简，然后分类讨论即可得出结论．

【详解】

（1）∵对于任意的正实数，不等式恒成立，

∴即恒成立，又由基本不等式，

当且仅当，即时取等号，所以，

即的取值范围是.

（2）由已知，且

所以

所以，

若，则恒成立，故与条件矛盾；

若，则，

故存在，，使得，则有，

即

所以，解得或

所以的取值范围是.

13．（2021·江苏苏州·高一期末）如图，已知正方形的边长为2，F为的中点.

（1）若E为的中点，求的值；

（2）若E为线段（不含端点）上的一个动点，请探究：当长为多少时，可使得最大？

【答案】（1）3；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设，依题意可得，，利用两角和的正切公式即可得到，则，利用诱导公式计算可得；

（2）设，则，，即可表示，令，则，再利用基本不等式计算可得；

【详解】

解：设.

（1）因为正方形的边长为2，且E，F分别是的中点

所以，所以，所以.

又因为，所以.

所以.

所以.

（2）设，其中，则

在直角三角形中，；

在直角三角形中，.

所以

，其中.

令，则，其中，

所以.

因为.

（当且仅当时，即时，等号成立）

所以.

因为在上是增函数，

所以当，可使得最大.

14．（2021·江苏徐州·高一期末）若的部分图象如图所示，，.

（1）求的解析式；

（2）在锐角中，若，，求，并证明.

【答案】（1）；（2），证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由结合的取值范围可求得的值，再结合可求得的值，进而可得出函数的解析式；

（2）求出的取值范围，由已知条件求出的值，利用同角三角函数的基本关系及二倍角的降幂公式可求得的值，然后利用两角和的正弦公式可证明得出.

【详解】

（1）由，得，又，故.

由，得，所以，，

即，，

由，结合函数图象可知，所以.

又，所以，从而，因此，；

（2）由，

，所以，，故.

，于是.

所以，.

又，故.

又在上单调递增，，，

所以.

【点睛】

方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：

（1）求、，；

（2）求出函数的最小正周期，进而得出；

（3）取特殊点代入函数可求得的值.