高一数学下学期期末考试分类汇编解三角形苏教版

专题03  解三角形

一、单选题

1．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在中，若，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知条件直接利用正弦定理求解即可

【详解】

解：在中，因为，，，

所以由正弦定理得，即，

所以，

故选：C

2．（2021·江苏连云港·高一期末）已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东的方向航行，船沿着正北方向航行．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船的距离是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正弦定理进行求解即可.

【详解】

由图所示：由题意可知：，，

由正弦定理可知：

，

故选：A

3．（2021·江苏常州·高一期末）在中，若，则的形状是（       ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出，进一步求得，即可得解．

【详解】

解：由，结合正弦定理可得：，

，可得：，

，则的形状为等腰三角形．

故选：．

4．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足，则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先由正弦定理将已知等式角化边，再利用余弦定理即可求解．

【详解】

在中，

由正弦定理可化成，

，

由余弦定理可得：

，

故选：．

5．（2021·江苏徐州·高一期末）在中，AC=1，，BC=3，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据条件，利用余弦定理求出AB边所对角的余弦，进而求出其正弦即可作答.

【详解】

在中，由余弦定理得：，

而，于是得，

所以的面积为.

故选：B

6．（2021·江苏淮安·高一期末）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据给定条件结合余弦定理求出即可得解.

【详解】

在中，因，

由余弦定理得，而，

所以.

故选：D

7．（2021·江苏苏州·高一期末）如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行，在A处观测地面目标P，测得俯角，飞行3分钟后到达B处，此时观测地面目标P，测得俯角，又飞行一段时间后到达C处，此时观测地面目标P，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（       ）

A．2分钟 B．2.25分钟 C．2.5分钟 D．2.75分钟

【答案】B

【解析】

【分析】

利用解三角形的指数，以及三角函数的基本关系式的恒等变换，即可求解.

【详解】

设分级的飞行速度为，根据分级的飞行图形，

测得俯角为，飞行3分钟后到达B处观测地面目标P，测得俯角，

所以为直角三角形，

过点作于点，则，可得，

设，由，可得，

则，又由，解得.

故选：B.

二、多选题

8．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在中，．若，则的值可以等于（       ）

A． B． C．2 D．3

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据两角和差的正弦公式、二倍角的正弦公式化简等式，结合因式分解法，运用正弦定义和正弦定理进行求解即可.

【详解】

，

因此或，

当时，因为，所以，而，所以，

当时，，

故选：AD

9．（2021·江苏省镇江中学高一期末）在中内角，，的对边分别为，，，若，，，则的大小可能为（       ）．

A．30° B．150° C．60° D．120°

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据求解即可.

【详解】

因为，所以.

又因为，.所以或.

故选：CD

三、填空题

10．（2021·江苏省天一中学高一期末）在中，，，，则其外接圆的面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出，由余弦定理解出BC，再通过正弦定理即可求出答案.

【详解】

解：在中，，，，故，

由余弦定理可得，，

则利用正弦定理可得：的外接圆的直径为，∴，

故的外接圆的面积为.

故答案为：.

11．（2021·江苏·金陵中学高一期末）如图，在中，点在边上，，，，，则的长为_______.．

【答案】

【解析】

【分析】

在中先利用余弦定理求出，然后在利用余弦定理求出，从而可得的值，进而可求出的长

【详解】

解：，，，

所以，

所以，

所以，

故，

又，

所以.

故答案为：

四、解答题

12．（2021·江苏省天一中学高二期末）在凸四边形中，，且，对角线．

（1）若，且为锐角，求的大小；

（2）若，求．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）在中利用正弦定理求出，即可得解；

（2）在中由余弦定理求出，再利用诱导公式求出，最后在中利用余弦定理计算可得；

【详解】

解：

（1）在中，，即，因为为锐角，所以，因为，所以

（2）在中由余弦定理可得

因为，所以

在中，由余弦定理可得

即，解得或（舍去）

13．（2021·江苏常州·高一期末）的内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求；

（2）设，，延长到点使，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理可得，进而得，从而得解；

（2）根据正弦定理解得，再根据同角关系和，得，再由可得解.

【详解】

（1）∵.由正弦定理，可得，

∴可得：，

可得：，化简可得：，

∵，∴.

（2）由，可得，

可得，

，

所以，可得.

14．（2021·江苏省镇江中学高一期末）如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱不计B离河岸的距离，河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，，和.

（1）求烟囱AB的高度；

（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长.

【答案】（1）米；（2）米.

【解析】

（1）设AB的高度为，利用直角三角形中的特殊角函数值及即可求的值.

（2）由（1）确定的长度，结合余弦定理求，进而求CE的长.

【详解】

（1）设AB的高度为在中，，有.

在中，因为，可得.

由题意得，解得.

（2）由（1）知，在中，由余弦定理得，

所以在中，，得CE=.

答：AB的高为米，CE的长为米.

15．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

（1）若，的面积等于，求c；

（2）若，求周长的最大值．

【答案】（1）；（2）12．

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理的边角互化可得，再由三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式可得，从而可得，由三角形的面积公式可得，由余弦定理即可求解.

（2）利用正弦定理可得，，利用三角函数的性质可得的最大值，进而可得周长的最大值.

【详解】

解析：

（1）∵，∴，

即，

∴，

∵，∴，，

∵的面积等于，

∴∴，

∵，

∴，，

由余弦定理可得，

∴．

（2）∵，∴，

∵，∴，

由正弦定理可得，

，

∴，

∵，

∴∴．

∴周长的最大值为．

一、单选题

1．（2021·江苏·高邮市临泽中学高一期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题中条件，结合正弦定理可得，再由余弦定理可得，从而得到，再利用同角三角函数关系式化简要求的式子，可得结果.

【详解】

因为中，，

由正弦定理可得，

再由余弦定理可得，

所以,

，

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关三角式子化简求值问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

2．（2021·江苏无锡·高一期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

已知等式切化弦后由三角函数恒等变换变形后由正弦定理化角为边，得边角关系表示出，由平方关系得，再由余弦定理表示，从而可得边的关系，最终三角形面积可表示一个边长函数式，结合二次函数知识可得最大值．

【详解】

解：，，即，

，

，

由正弦定理知，，

，即，

，

由余弦定理知，，

化简得，

面积

，

当时，有最大值为．

故选：A．

3．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）若钝角三角形中有一角等于，且最大边长与最小边长的比值为，则的范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

不妨设为钝角，，则，，进而可得结果.

【详解】

不妨设为钝角，，则，因此最大边长为，最小边长为.所以，

由得，则，所以，

故的范围是.

故选：D.

4．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）在锐角中，，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得A,B的关系，结合锐角三角形条件可求A,B的范围，然后结合函数单调性可求.

【详解】

因为及，所以，由正弦定理:，所以，

整理得：,即，所以，即，由题意得解得:，

故,，

则，

因为，所以，

令,则，在上单调递增，又f(1)=3, ，

故f(t)∈.

故选:B

5．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）在中，设角，，对应的边分别为，，，记的面积为，且，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用余弦定理和面积公式得，换元利用二次函数求最值

【详解】

由题意知，，

整理得，

因为，代入，整理得，

令，则，当时取得最大值所以，所以，

故的最大值为.

故选:．

二、多选题

6．（2021·江苏省天一中学高一期末）下列结论正确的是（       ）

A．在中，若，则

B．在中，若，则是锐角三角形

C．若，则三角形为等腰三角形

D．在锐角三角形中，

【答案】AD

【解析】

【分析】

由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，利用锐角△ABC这个条件,可得，结合三角函数的单调性比较大小即可判断D．

【详解】

在中，由，故A正确；

若，则，又因为，

所以为锐角，但不一定为锐角三角形，故B错误；

∵，∴或，

∴或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误；

在锐角三角形中，∵，∴，

即，同理：，∴，故D正确，

故选：AD.

7．（2021·江苏·南京市中华中学高一期末）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且，请运用上述公式判断下列命题正确的是（       ）

A．周长为 B．

C．的外接圆半径为 D．中线的长为

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用正弦定理角化边可得三边比例关系，代入三角形面积公式可求得三边长，由此得到三角形周长，即可判断A；利用余弦定理可求得，即可判断B；利用正弦定理，可求得外接圆直径长，即可判断C；利用中线定理求得中线长，即可判断D.

【详解】

由正弦定理，得，设，，

所以，解得

的周长为，故A错误；

由余弦定理,得，又，所以，故B正确；

由正弦定理知，外接圆直径为，外接圆半径为，故C正确；

由正弦定理得，所以，

又，所以，所以为锐角，所以，

在中，由余弦定理，得

，

所以，故D错误.

故选：BC

8．（2021·江苏·高一期末）在中，角所对的边分别为的面积为S，若，则（       ）

A． B．的最大值为1

C．的最大值为 D．

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由面积公式可得，再由正弦定理化简即可判断A；由根据可判断B；利用余弦定理可得，进而得出可判断C；由已知结合余弦定理即可判断D.

【详解】

，即，

由正弦定理可得，

，，

即，

由正弦定理可得，故A正确；

，，,

则当时，取得最大值为1，故B正确；

由余弦定理得，，

，其中，则可得的最大值为，故C正确；

由，联立可得，故D错误.

故选：ABC.

【点睛】

关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，解题的关键是利用面积公式和正弦定理将已知化简得出.

三、填空题

9．（2021·江苏徐州·高一期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________

【答案】

【解析】

【分析】

令AF=1，延长AD交BC于M，求出AB，BM，DM，再借助平面向量基本定理即可作答.

【详解】

因，令AF=1，则有，中，，

由余弦定理得，延长AD交BC于M，如图，

由正弦定理得，则有，，

，

中，由正弦定理得，而，

因此得，，于是有，，

，，

因，由平面向量基本定理得，所以.

故答案为：

【点睛】

思路点睛：用向量基本定理解决问题是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

10．（2021·江苏南京·高一期末）在中，，，，D、E在边所在直线上，且满足，．则_______．

【答案】

【解析】

【分析】

在中，利用正弦，余弦定理求出，，，进而求出，在中，由余弦定理求出，得到，利用二倍角公式求出，最后解直角三角形即可．

【详解】

解：如图，由余弦定理可得，

，，，

在中，由正弦定理得，，，，

在中，由余弦定理得，

，，，，

在中，，，．

故答案为：．

11．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆O的内接四边形区域，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．其中，，，(单位：米)，则=___________；四边形的面积为__________________（平方米）．

【答案】         

【解析】

【分析】

连接，由题意可得，利用诱导公式，余弦定理可得，解得的值，进而可求，可得的值，求得，的值，再根据三角形的面积公式即可求解四边形的面积．

【详解】

如图，连接，由题意可得，

可得，

由余弦定理可得，即，

解得：，

所以，

所以，可得，，

所以四边形的面积（平方米）．

故答案为：，．

【点睛】

关键点点睛：利用诱导公式得到，再利用余弦定理求解是解题的关键.

四、解答题

12．（2021·江苏南京·高一期末）杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，．

（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；

①；②

（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【解析】

【分析】

(1)在中，利用正弦定理，可求得BD=6.

选①：先由三角形的内角和可得∠BDC=，从而知为直角三角形，然后由勾股定理，得解;

选②：在中，由余弦定理可得关于BE的方程，解之即可.

(2)在中，结合余弦定理和基本不等式，即可得解.

【详解】

（1）在中，由正弦定理知，，解得，

选①：，，

，

在中，；

若选②，在中，由余弦定理知 ，，化简得，解得或（舍负），

故服务通道BE的长度 ；

（2）在中，由余弦定理知，，

，

，即，当且仅当时，等号成立，此时，的最大值为．

【点睛】

关键点睛：本题主要考查解三角形的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

13．（2021·江苏·海安市曲塘中学高三期末）如图，在直角三角形中，，分别在线段上，且为的中点，，设．

(1)求 (用表示)；

(2)求三角形面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意得，，进而根据计算即可；

（2）结合题意得，，再结合三角形面积公式和辅助角公式得，再结合三角函数的性质求解即可.

(1)

解：在直角三角形中，，

所以， ；

因为，所以，

即；

在中，因为

(2)

在直角三角形中，因为，所以；

在中，因为，

所以由正弦定理得，，即；

在直角三角形中，

，其中，且；

又因为在线段上，所以，且；

故当时， ．

14．（2021·江苏徐州·高一期末）①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．

在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________

（1）求角A﹔

（2）已知，求的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】选择见解析；（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）若选择①：由正弦定理边角互化并整理得进而得．

若选择②：由正弦定理边角互化和诱导公式化简整理得则，进而得，故．

若选择③：由余弦的二倍角公式和余弦的和角公式化简整理得，进而得，故．

（2）由正弦定理得，再根据三角恒等变换得，再求函数在区间上的值域即可.

【详解】

解：（1）若选择①：

由正弦定理得

因为为锐角，所以，所以

因为为锐角，所以，所以

所以．

若选择②：

由正弦定理知，

因为，所以，

即，因为为锐角，所以，

则

所以

因为为锐角，所以．

若选择③：

即

又

所以，

因为为锐角，

所以

因为为锐角，所以．

（2）由（1）知，又，由正弦定理得

，

即

所以

因为为锐角三角形，，又

所以，

所以，所以

所以的取值范围为

15．（2021·江苏·南京市中华中学高一期末）的内角，，的对边分别为，，，，.

（1）若，求角；

（2）求的最大值.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】

（1）依题意得，由正弦定理结合三角恒等变换可得，或，进而可得结果；

（2）由余弦定理结合基本不等式可得结果.

【详解】

由得，

整理得，所以或，所以（舍）或.

（1）依题意由正弦定理得，

则，

整理得，

因此或，即，或，

故或.

（2）由余弦定理知，

所以，

因此，

所以，当且仅当时取等号，

故的最大值为.

16．（2021·江苏·姜堰中学高二期末）已知，.

（1）若的图象关于直线对称，求实数的值；

（2）在中，已知，，的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）化简函数解析式为，设，根据已知条件可得出，利用诱导公式化简等式，进而可求得实数的值；

（2）利用已知条件结合正弦定理可求得的值，进而可求得的值，利用三角形的面积公式以及余弦定理可求得的值，由此可求得的周长.

【详解】

（1） 因为，

所以

，

设，则函数的图象关于直线对称，

可得，而，

所以，，

即对任意的恒成立，故，即；

（2）因为，

所以，

即，即，

即，

，故，所以，所以，

由余弦定理得，，

又，所以，

所以，，故，

因此，的周长为.