高一数学下学期期末考试分类汇编平面向量苏教版

专题01  平面向量

一、单选题

1．（2021·江苏徐州·高一期末）在直角三角形ABC中，∠C=90º，则向量在向量上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据给定条件借助投影向量的定义即可得解.

【详解】

依题意，在中，，由投影向量的定义知，

向量在向量上的投影向量为.

故选：A

2．（2021·江苏宿迁·高一期末）已知，，在上的投影向量为，则与的夹角为（       ）

A． B． C． 或 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设与的夹角为，由在上的投影向量为即可求得的值，结合向量夹角的范围即可求解.

【详解】

设与的夹角为，

则在上的投影向量为，即，

所以，所以，

因为，所以，

故选：D.

3．（2021·江苏·泰州中学高一期末）已知向量，满足，， 则（　　）

A．3 B． C．7 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用公式，求出，再利用求值.

【详解】

因为，

把代入，解得.

所以.

故答案为：.

4．（2021·江苏常州·高一期末）在等边中，，为边的中点，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

先求出向量的夹角，再利用向量数量积的定义，即可得到答案；

【详解】

，

为边的中点，，，

，

故选：C.

5．（2021·江苏·高一期末）记知向量，且，则（       ）

A．3 B．－3 C． D．－

【答案】C

【解析】

【分析】

由向量共线的坐标表示求解．

【详解】

由题意，因为，

所以，解得．

故选：C．

6．（2021·江苏·南京市中华中学高一期末）如图，已知，用、表示，则等于（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平面向量减法法则结合已知条件可得出关于、的表达式.

【详解】

因为，即，解得.

故选：D.

7．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知为圆上的三点，线段的延长线与线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

结合平面向量共线定理即可.

【详解】

因为 三点共线，所以可设，

则，所以，

因为，所以，

又三点共线，所以，

所以，所以.

故选：D

8．（2021·江苏淮安·高一期末）已知点P是边长为1的正方形的对角线上的一点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

令，由和的数量积运算结合的范围可得答案.

【详解】

如图

设，

当与重合时，，，

当与重合时，，，

所以当点在上运动时，

所以，

得，，此时P与B重合.

故选：C.

二、多选题

9．（2021·江苏徐州·高一期末）设向量，满足，且，则（       ）

A． B． C． D．与的夹角为60°

【答案】BD

【解析】

【分析】

先通过题目条件求出，可以判断A；将B,C的式子展开，将的值代入即可判断；最后用平面向量的夹角公式可以判断D.

【详解】

由题意，，因为，所以，A错误；

，B正确；

，C错误；

设与的夹角为，，D正确.

故选：BD.

10．（2021·江苏盐城·高一期末）下列说法中正确的为（       ）

A．若，，则

B．向量，能作为平面内所有向量的一组基底

C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

D．非零向量和满足，则与的夹角为30°

【答案】BD

【解析】

【分析】

直接利用向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积的应用判断、、、的结论．

【详解】

解：对于：若，，，则，故错误；

对于：向量，，所以不共线，

所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故正确；

对于：已知，，则，

所以：，且和不共线．

即，且

解得且，故错误；

对于：非零向量和满足，

则以为边长的三角形为等边三角形，

所以与的夹角为，故正确．

故选：．

11．（2021·江苏·金陵中学高一期末）下列说法正确的是（       ）

A．已知，，若，则

B．在中，若，则点是边的中点

C．已知正方形的边长为，若点满足，则

D．若共线，则

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据向量共线的坐标表示可判断选项A；根据向量的线性运算可判断选项B；根据向量数量积的运算可判断选项C，举反例可判断选项D，进而可得正确选项.

【详解】

对于A：，，可得，若则

，即，所以，故选项A不正确；

对于B：取的中点，则，即点与点重合，所以点是边的中点，故选项B正确；

对于C：

，故选项C正确；

对于D：当反向时不成立，故选项D不正确，

故选：BC.

三、填空题

12．（2021·江苏常州·高一期末）设为实数，若向量，，且，则的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用向量共线，求解，然后求解向量的数量积即可．

【详解】

解：向量，，且，

可得，解得，所以．

故答案为：．

13．（2021·江苏苏州·高一期末）已知向量，且，若A，B，C三点共线，则实数x的值为_________.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据三点共线的位置关系列出向量等式，结合向量的坐标表示求解答案.

【详解】

A，B，C三点共线，可设

由得：

A，B，C三点共线，可设

故答案为：3.

14．（2021·江苏徐州·高二期末）如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形中，.设，则的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

过点作，垂足为，根据平面向量基本定理，结合锐角三角函数的定义进行求解即可.

【详解】

过点作，垂足为，根据正方形的性质，可知，因此，

由题意可知： ，所以，由题意可知：是小正方形，

因此可知：是直角三角形，设大正方形的边长为，，

因为，所以，由勾股定理可知：

，

由，

由，

因为，所以，

故答案为：

四、解答题

15．（2021·江苏泰州·高一期末）已知平面向量，满足，，其中.

（1）若∥，求；

（2）若，求与夹角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先求出，，再根据向量平行的坐标运算解出m，进而根据平面向量模的运算求出答案；

（2）先求出，，进而根据平面向量夹角公式即可解得.

【详解】

（1）由，，解得，.

因为∥，所以，解得.

所以，.

（2）当时，，，则，

，.

设与的夹角为，则.

所以与夹角的余弦值为.

16．（2021·江苏·南京市第一中学高一期末）已知向量，的夹角为120°，且，.若，.

（1）求；（用，表示）

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据两个向量的加法法则，把两个基底的系数分别相加，得到结果；

（2）求向量的模长，先把向量平方，根据向量的运算法则，表示出向量的平方，再开方就可以得到向量的模长．

【详解】

（1）∵，，

∴；

（2）∵向量，的夹角为120°，且，，

∴，

∴.

17．（2021·江苏·高邮市临泽中学高一期末）已知向量，，且．

（1）求向量与的夹角；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）求出，然后由数量积的定义求得夹角；

（2）计算出后可得所求模．

【详解】

（1）由题意，，∴，

∴，，∴；

（2），

∴．

18．（2021·江苏·海门市第一中学高三期末）在平面直角坐标系xoy中，已知点A(1，3)，B(2，-2)，C(4， 1).

（1）若求点D的坐标;

（2）设实数k满足，求实数k的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设，根据，即可得到方程组，解得即可；

（2）首先求出、的坐标，再根据向量的数量积的坐标运算计算可得；

【详解】

解：（1）因为、、

所以，设，所以

因为

所以

所以解得

所以点的坐标为

（2），

因为，所以解得

【点睛】

本题考查平面向量相等及平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题.

一、单选题

1．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：

甲：；       乙：；

丙：；       丁：．

如果只有一个等式不成立，则该等式为（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.

【详解】

甲：，则，故P为△ABC的重心；

乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；

丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；

丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，

当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.

故选：B．

2．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）如图，在任意四边形中，其中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求=（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

连接，，，，可得四边形为平行四边形．根据向量的线性运算可得即可．

【详解】

如图，连接，，，，

因为，分别是，的中点，，分别是，的中点，

所以,且，,且,所以，且，

可得四边形为平行四边形，且

，，则．

故选：．

3．（2021·江苏·金陵中学高一期末）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，满足，，()，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量共线的推论，结合向量的线性运算求得，再结合求出，即可求得结果

【详解】

因为，又，

故可得 ，又三点共线，

故可得，即.

由解得

，

故选：D.

4．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由∥可得，而，所以可得，从而有，求出的值，从而可得，化简可得答案

【详解】

∵，∴，

∵∥，∴，即，

又∵，则，

∴，∴，，

.

故选：C

5．（2021·江苏·徐州市第一中学高三期末）已知，是非零向量且满足，，则与的夹角是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用两个向量垂直，数量积等于0，得到，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角.

【详解】

，

设与的夹角为，

故选：B.

【点睛】

方法点睛：求解向量夹角长选择夹角公式，还要注意向量的夹角范围.

6．（2021·江苏·泰州中学高一期末）在矩形中，，，设矩形所在平面内一点满足，记，，，则

A．存在点，使得 B．存在点，使得

C．对任意点，都有 D．对任意点，都有

【答案】C

【解析】

以为原点建立平面直角坐标系，可知点轨迹方程为；利用坐标表示出和，利用的取值范围和三角函数的知识可求得结论.

【详解】

以为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：

则点轨迹是以为圆心，为半径的圆；，，

设，则

又，

              ，即

又，

设

则，其中

即，即

综上所述，对于任意点，都有，

本题正确选项：

【点睛】

本题考查平面向量的应用问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算的问题；通过作差法比较大小，利用求解函数值域的方式来确定大小关系.

二、多选题

7．（2021·江苏常州·高一期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（       ）

A．为的外心

B．

C．

D．

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项．

【详解】

解：因为，

同理，，故为的垂心，故A错误；

，所以，

又，所以，

又，所以，故B正确；

故，同理，

延长交与点，则

，

同理可得，所以，故C正确；

，

同理可得，所以，

又，所以，故D正确．

故选：BCD．

8．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】

【分析】

在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.由，得，从而D0P⊥AB.利于几何关系证明CE∥DP0，所以CE⊥AB.根据等腰三角形三线合一即可证明AC=BC.

【详解】

如图，

在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.故.同理，由，得，故DP0⊥AB.

由D为BC的中点，E为AB的中点，且，得CE∥DP0，所以CE⊥AB.

又E为AB的中点，所以AC=BC.

故选：ABC

9．（2021·江苏省天一中学高一期末）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．过点的直线交于，若，，则

D．与共线

【答案】ACD

【解析】

根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.

【详解】

如图，设AB中点为M,则,

,故A正确；

等价于等价于,即，

对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，

若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；

设的中点为,

则，

∵E,F,G三点共线，，即,故C正确；

,

与垂直,又,∴与共线，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.

三、填空题

10．（2021·江苏·姜堰中学高二期末）已知向量，，且，则的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用平方可得，令，将方程化为关于的二次方程，满足该方程有解即可求出的范围，求出最值.

【详解】

，，

则由可得，

则，

，

即，

整理可得，

令，将代入上式得，

则需满足关于的方程有解，即，

则可解得，则的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：本题考查向量的有关运算，解题的关键是利用平方关系得出，再由得出关于的方程有解.

11．（2021·江苏盐城·高一期末）在△ABC中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，(，)，若的最小值为3，则正数的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由平面向量基本定理可得，进而又由点，，三点共线，则，根据“1”的作用由基本不等式的性质，可解得的值．

【详解】

解：在中，点是的三等分点，，

，

，，，

，，三点共线，，

，

当且仅当，即时取等号，的最小值为，

即，，．

故答案为：．

四、解答题

12．（2021·江苏·高一期末）如图，在菱形ABCD中，，．

（1）若，求的值；

（2）若，，求．

（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

【分析】

（1）由向量线性运算即可求得值；

（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；

（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．

【详解】

解：（1）因为，，

所以，所以，，

故．

（2）∵，∴

∵ABCD为菱形∴

∴，即．

（3）因为，

所以

∴的取值范围：．

【点睛】

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．