高一数学下学期期末考试分类汇编综合练习二苏教版

综合练习二

注意事项：

1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.

4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题意要求的.）

1.若，则在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】

A

【解析】

【分析】
本题考查了复数的四则运算与复数的几何意义，属于基础题．
由复数的运算求出，得到其对应的点的坐标即得．
【解答】
解：因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第一象限．  

2.在中，若，，，则　　

A.  B.  C.  D.

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由已知利用正弦定理可求的值，利用大边对大角可得，根据同角三角函数基本关系式可求的值．

【解答】

解：由正弦定理得，得，
，，即，
则，
故选：．

3.某校高一年级有男生人，女生人，为了调查高一学生对于高二时文理分科的意向，拟随机抽取人的样本，则应抽取的男生人数为

A.  B.  C.  D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．

用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．

【解答】

解：由已知抽样比为，

所以男生抽取人数为．

故选B．

4.在中，内角、、所对的边分别为、、，，，则       

A.  B.  C.  D. 或

【答案】

A

【解析】

【分析】本题主要考查余弦定理，考查正弦定理，属于基础题．
将代入，可得，由于，即可得解．
【解答】
解：将代入，得，化简得，解得，因为，所以，得，所以．  

5.在正方体中，点为棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 

A.  B.  C.  D.

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查异面直线的夹角正弦值，属于基础题．
连接，，异面直线与所成角转化为或补角，进行求解正弦值．

【解答】

解：连接，，
由正方体中，
则，且，
所以为平行四边形，
所以，
则异面直线与所成角为或补角，
不妨令正方体的棱长为，则，，

所以，
所以．
故异面直线与所成角的正弦值为．
故选：．

6.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为　　

A.
B.
C.
D.

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的基本定理，由正方形中，为的中点，得到 ，即 ，由此能求出结果．

【解答】

解：是的中点，
    ，
   ，
，，
．

7.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形另一种是顶角为的等腰三角形例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，根据这些信息，可得

A.  B.  C.  D.

【答案】

C

【解析】

【分析】
本题考查诱导公式及二倍角公式的应用，考查解读信息与应用信息的能力，属于基础题．
读懂信息，利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
【解答】
解：由题意可得，
且，
，
则，
故选C．  

8.古代典籍周易中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响下图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗在正八边形中，若，则         

A.  B.  C.  D.

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题主要考查的是平面向量的基本定理及其应用，平面向量的加法运算，属于中档题．
过作 并与的延长线交于点，连接，得到 ，得到，利用三角形的知识，得到，即可得解．

【解答】

解：如图所示：
 
过作并与的延长线交于点，连接，
由 可得，四边形为平行四边形，故 ，
又 ，则 ， 
由于正八边形的内角为 ，所以 ， ，
所以，所以，则 ，
所以．

二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.下列各式中，值为的是　　

A.  B.
C.  D.

【答案】

ABC

【解析】

【分析】

本题考查了二倍角公式和辅助角公式的应用，两角差的正切公式，属于中档题．
根据二倍角公式和辅助角公式的应用，两角差的正切公式，对选项逐一化简可得出结果．

【解答】

解：对于，原式 ，故A符合题意；
对于， ，故B符合题意；
对于， ，故C符合题意；
对于，原式 
，由于 ，可知 ，
即 ，故D不符合题意．

10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字，，，，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为偶数”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是

A.  B. 事件和事件互为对立事件
C.  D. 事件和事件相互独立

【答案】

CD

【解析】

【分析】

本题主要考查互斥事件的定义，以及相互独立事件的概率公式，属于基础题．
根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及相互独立事件的概率公式，即可依次求解．

【解答】

解：对于选项，，可得选项错误
对于选项，事件第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，就可以使得两次向下的数字之和为奇数，
可知事件和事件不是对立事件，可得选项错误
对于选项，由，可得，可得选项正确
对于选项，由，可得，可知事件和事件相互独立，可得选项正确．
故选CD． 

11.在中，角，，的对边分别为，，，若，则角可能等于

A.  B.  C.  D.

【答案】

BCD

【解析】

【分析】

【分析】
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由已知利用余弦定理整理可得 ，将各选项代入即可判断．

【解答】

解：因为在中，  ，
又由余弦定理可得：   ，
所以   ，
整理可得：，
可得： ，
对于，若 ，可得：  ，整理可得： ，错误；
对于，若 ，可得：  ，整理可得： ，
对于，若 ，可得：   ，整理可得： ，
对于，若 ，可得：  ，整理可得：，
故选：．

12.如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点，则

A.
B. 若为线段的中点，则平面
C. 点到平面的距离为
D. 的最小值为

【答案】

ABC

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数，简单多面体棱柱、棱锥、棱台及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，面面平行的性质和异面直线所成角，属于中档题．
将几何体补全成棱长为的正方体，利用正方体结构特征，结合异面直线所成角对进行判断，利用正方体结构特征，结合面面平行的性质对进行判断，设点到平面的距离为，利用，结合三棱锥的体积对进行判断，过作的垂线，垂足为，连接，，，利用正方体结构特征得，再利用二次函数的最值对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：如下图，将几何体补全成棱长为的正方体．

对于如图：

在正方体中，连接，因为，
所以与所成角等于与所成角，
而，因此，故A正确；
对于如图：

因为是的中点，所以是与的交点．
连接，．
因为在正方体中，平面平面，而在平面内，
所以平面，故B正确；
对于如图：

连接，设点到平面的距离为，
因为，所以，
而正方体的边长为，
因此，解得，故C正确
对于如图：

过作的垂线，垂足为，连接，，．
因为正方体的边长为，
所以

，
而，
因此
，
所以当时，取得最小值，最小值为，故D错误．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的化简求值，诱导公式，二倍角公式和辅助角公式的应用，属于基础题．
由已知条件结合辅助角公式得，从而，使用二倍角公式即可求解．

【解答】

解：，
，
，
，


．
故答案为 

14.已知平面向量，，满足，，，，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查的是向量的模、数量积、共线的综合问题，属于中档题．
可建立坐标系，结合向量的坐标运算求解．
【解答】
解：以向量方向为轴建立平面直角坐标系，如图：

因为，所以，又，
所以向量对应的点在以为圆心，为半径的圆上，
设，分别过，作圆的切线，两切线交于点，
过的圆的切线对应的切点为，因为，
所以，
设，因为，所以，得，
即向量对应的点在直线上，
又，所以当对应的点落在点时模最大为，
故答案为．  

15.如图，在中，为边上一点，，，，若的面积为，则的余弦值为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．
先根据三角形的面积公式利用的面积求得，进而根据三角形的面积求得和，进而根据余弦定理求得，最后在三角形中利用余弦定理求得．

【解答】

解：由的面积为，可得
，
解得，则．
在中，

，
所以，
因为，，
所以为等边三角形，
所以，
则．
故答案为．

16.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的结论序号是_______________；平面；异面直线，所成的角为定值；直线与平面所成的角为定值；以为顶点的四面体的体积不随位置的变化而变化．

【答案】

【解析】

【分析】
本题考查棱柱的结构特征，熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键，考查空间思维能力，属于较难题．
，可由线面垂直证两线垂直；由面面平行的定义可证得结论正确；可由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值；把线面角转化为线线角即，即可得知正确；可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值．
【解答】
解：平面，又，，故正确；
平面平面，平面，平面，故正确；
由图知，当与重合时，令上底面中心为，则此时两异面直线所成的角是，当与重合时，此时点与重合，则两异面直线所成的角是，此二角不相等，故异面直线、所成的角不为定值，故错误；
直线与平面所成的角也就是直线与平面所成的角，平面，直线与平面所成的角就是为，因此，直线与平面所成的角为定值，故正确；
由几何体的性质及图形知，三角形的面积是定值，点到面距离是定值，故可得三棱锥的体积为定值，故正确．
故答案为：．

四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在，为虚数，为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知复数：．

若________，求实数的值；

若复数的模为，求的值．

【答案】

解：选择，则，解得，

选择为虚数，则，解得，

选择为纯虚数，则，，解得．

由可知，

复数

．

依题意，解得因此．

【解析】本题考查复数概念及运算，属基础题目．
结合复数相关概念，列方程组求解；
根据复数模长运算公式，求的值．

18.已知函数．

求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

若，求的值．

【答案】

解：由，
得

，
所以函数的最小正周期为，
又因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，
而，，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为；
由可知，
又因为，所以，
由，得，
从而 ，
因此

．

【解析】本题考查了二倍角公式及其应用，辅助角公式，函数的图象与性质，两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．
利用二倍角公式和辅助角公式得，再利用函数的图象与性质计算得结论；
由的已知结论以及已知的等式求出，结合角的范围利用两角差的余弦公式计算得结论．

19.如图，已知正方形的边长为，过中心的直线与两边、分别交于交于点、．
求的值；

若是的中点，求的取值范围；

若是平面上一点，且满足，求的最小值

【答案】

解：由正方形可得，
所以；

因为直线过中心且与两边分别交于交于点．
所以为中点，
所以．
因为是的中点，

所以，
所以，

即的取值范围为； 

令，由知点在上，

又因为为中点，
所以，从而，
，

因为，
所以，

即的最小值为                   

【解析】本题考查向量的数量积，向量的基本运算，向量的模，向量共线的判定与证明，向量的几何运用，属于中档题．
将向量分解为，利用垂直和数量积的运算即可求解；
由为中点可得，再由和的范围计算即可；
令，由向量共线的判断可得点在上，即可得的范围，再由结合的范围计算即可．
20.为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失．

请大家完成下面的问题：

根据直方图求以下表格中、的值；

求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；

若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率；

注：方差公式

【答案】

解：因为个体在区间内的频率是，
所以频数
在内的频率是，
所以频数
平均数为，
方差
由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则抽样比例为，
在区间和内抽取的人数各为和，
分别记这人为、、、、和、，则事件的总体是
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中共有个基本事件，
记所求的事件为，则中包含的基本事件为：
，，，，，，，，，共个，
所以．

【解析】本题主要考查频率分布直方图，平均数及方差的定义，古典概型的计算与应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
根据频率分布直方图的性质可求得，的值；
直接根据平均数及方差的定义求解即可；
先求得抽样比例，可得在区间和内抽取的人数，从而利用古典概率公式求解即可．
21.如图，在三棱锥中，为等边三角形，点为的中点，，平面平面．



求证：平面平面；
已知为的中点，是上的点，若平面，求的值．

【答案】

证明：为等边三角形，点为的中点，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，

，

，，平面，平面，

平面，

平面，

平面平面．

解：取中点，连结，，

为的中点，，

平面，平面，

平面，

是上的点，，平面，
且，，平面，

平面平面，

因为平面平面，平面平面，

，

．
的值为．

【解析】本题考查面面垂直、线面垂直的性质定理和判定定理，线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理和性质定理的应用，属于中档题．
由已知平面平面，又由为等边三角形，点为的中点，得到，利用面面垂直的性质得到平面，进一步利用线面垂直的性质定理得到，结合已知的，利用线面垂直的判定定理得到平面，继续利用面面垂直的判定定理得到结论的证明；
取中点，连结，，得到，利用线面平行的判定定理得到平面，进一步利用面面平行的判定定理得到平面平面，于是得到，则可得到的值．

22.随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点如图，两地相距，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设；

用分别表示和，并求出的取值范围；

若地到直线的距离为，求的最大值．

【答案】

解：因为，且，
所以，

由正弦定理得，

又，
所以，

由于，得，即，又，可得，得，即，

由余弦定理得，可得，由，
得，所以有，

令内切圆的半径为，故，
得，代入，
得

，故，故内切圆半径的最大值为；

在中，，，

由余弦定理得，，

又，所以 ，，

在中，，，

由余弦定理得， ，，

得即

得，所以

又，所以，即，

又，即，所以．

，故，

又，设，所以，，又，，在上都是增函数；
所以，在上是增函数，
所以的最大值为，即的最大值为．

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理及解三角形的实际应用，考查基本不等式的应用，向量数量积等，属于较难题．
根据题意由余弦定理得出，再由得出关系式求出的取值范围即可；

由题意可知 ，由题意可知 ，求出最值即可．