高二数学下学期期末考试分类汇编空间向量与立体几何苏教版选择性必修2

这是一份高二数学下学期期末考试分类汇编空间向量与立体几何苏教版选择性必修2，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题01  空间向量与立体几何一、单选题1．（2021·天津南开·高二期末）直线的的方向向量为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出斜率，进而得出方向向量.【详解】直线的斜率为，则直线的的方向向量为故选：B2．（2021·浙江·高二期末）在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（       ）A． B． C．5 D．7【答案】D【解析】求出，，利用与数量积为0，求解即可.【详解】，可得，，故选：D3．（2021·山东济南·高二期末）已知向量，，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用空间向量加法运算的坐标表示计算，再用空间向量的模长公式计算模长.【详解】故故选：C4．（2021·江苏连云港·高二期末）已知空间三点，，，向量，且向量分别与，垂直，则（       ）．A．4 B． C．2 D．【答案】D【解析】根据空间向量互相垂直的坐标表示公式，结合空间向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，，向量分别与，垂直，所以，因此.故选：D5．（2021·安徽蚌埠·高二期末（理））已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.【详解】设，若点与点共面，则，只有选项D满足.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时，且，则是解答的关键.6．（2021·江苏扬州·高二期末）若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（       ）A．10 B． C． D．【答案】C【解析】根据两个法向量共线可得的值.【详解】因为，共线，故，故，故选：C.二、多选题7．（2021·天津南开·高二期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（     ）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】ABD【解析】【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.【详解】对于A，因为，故，，共面；对于B，因为，故，，共面；对于D，因为，故，，共面；对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，，故共面，这与构成空间的一个基底矛盾，故选：ABD8．（2021·山东临沂·高二期末）若，，与的夹角为120°，则的值为（       ）A． B．17 C．1 D．【答案】BD【解析】【分析】由空间向量夹角的坐标表示求解【详解】由题意得解得或故选：BD9．（2021·湖南省平江县第一中学高二期末）已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（       ）A． B．C．是平面的一个法向量 D．【答案】ABC【解析】【分析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确.【详解】由题意，向量，对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，所以，所以B正确；对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确；对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确.故选：ABC三、填空题10．（2021·广东广州·高二期末）在长方体中，，则点到平面的距离为________．【答案】##【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，再代入点到直线的距离公式计算.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，，则点到平面的距离为.故答案为：11．（2021·广东珠海·高二期末）如图，在一个直二面角的棱上有两点，，，分别是这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则__________．【答案】【解析】【分析】求的长转为求，而，按照向量的模长求法，即可求解.【详解】由已知，可得，，，，，．故答案为．12．（2021·湖南张家界·高二期末）在三棱锥中，是的重心．设，以为基向量表示，则_________【答案】【解析】连接并延长交于点，根据重心性质有，再根据向量的减法运算以及中点公式的向量形式即可求出．【详解】如图所示，连接并延长交于点，所以， 即，所以，又，所以．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形重心性质的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题．四、解答题13．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期末（理））如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．【答案】证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，由于，所以平面.14．（2021·广东广州·高二期末）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD的中点，试用向量法解决下面的问题．（1）求证：；（2）若，求线段BP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】由题设已知可构建底面中心O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐标系，确定坐标，（1）应用向量的数量积坐标公式有，即可证；（2）用坐标表示，求模即为线段BP的长；【详解】连接BD，交AC于点O，由题意知平面ABCD．以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．（1）设底面边长为a，则高，于是，，，所以，，所以，故，即．（2）因为，所以，，.由中点坐标公式，可得，所以，所以，即线段BP的长为．【点睛】本题考查了应用空间向量证明垂直及求线段长度，根据几何体的性质构建合适的空间坐标系，并得到点坐标，应用向量垂直的坐标公式证垂直，由向量的模求线段长度. 一、单选题1．（2021·浙江绍兴·高二期末）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，由得，利用可得答案.【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，若(0 ≤ λ ≤ 1)得：，， ，由，∴，则.故选：C.2．（2021·山东聊城·高二期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（       ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，则，又，，，则，，因此，.故选：B3．（2021·浙江·高一期末）如图，已知正方体的棱长为4，E为棱的中点，点P在侧面上运动，当平面与平面，平面所成的角相等时，的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则,. 设 则 易知平面和平面的一个法向量分别为.设平面的法向量为，则 即 取，可得所以 为平面的一个法向量.由题意,平面与平面，平面所成的角相等，所以.或 在平面上，直线过点和的中点，在平面上，直线只过点，即点，取为的中点,连接，则点在上运动或点在点处，由等面积法可得的最小值为.故选：B.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.4．（2021·广西玉林·高二期末（理））在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.【详解】，且，平面，易证平面，则与平面所成角为，，当取得最小值时，取得最大值在等腰中，当为的中点时，取得最小值.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，设平面的法向量为，则，即令，得.因为，所以与平面所成角的正弦值为.故选：C【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的位置，再利用向量法求线面角.二、多选题5．（2021·广东广州·高一期末）在正方体中，，E，F分别为的中点，则下列正确的是（       ）A． B．C． D．平面截正方体所得截面面积为【答案】ABC【解析】【分析】以点D为原点，向量的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积可判断A，B；求出点E到平面的距离再求体积可判断C；作出截面并求其面积判断D作答.【详解】在正方体中，以点D为原点，向量的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，，对于A，棱DC中点，棱中点，，，则，即，A正确；对于B，，，则，即，B正确；对于C，平面，，，设平面的一个法向量，于是得，令，得，则点E到平面的距离d为：，而，，，，C正确；对于D，取中点G，连，则，，点E不在直线上，则，又，从而有等腰梯形是平面截正方体的截面，等腰梯形的高，其面积，D不正确.故选：ABC6．（2021·江苏南通·高二期末）在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的是（       ）A．存在点使得异面直线与所成角为B．存在点使得二面角为的二面角C．直线与平面所成角正弦值的最大值为D．当时，平面截正方体所得的截面面积为【答案】AC【解析】转化为异面直线与所成的角为直线与所成角，考虑与重合和为的中点时，直线与所成的角范围可判断A；求出二面角的平面角最大时即与重合可判断B；等体积转换求出点到平面的距离，设直线与平面所成的角为，利用，考虑最小时可判断C；作出平面截正方体所得的截面，为等腰梯形，求出梯形的面积可判断D.【详解】对于A， 连接，在正方体中，为等边三角形，且，所以异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，当与重合时，直线与所成的角最小，为，当为的中点时，，直线与所成的角最大，为，所以A正确；对于B， 当与重合时，二面角的平面角最大，设交于点，所以，连接，因为正方体的棱长为1，所以，所以，所以为二面角的平面角，且，，，由余弦定理得，所以，所以B错误；对于C，因为，所以，，设点到平面的距离为，所以，解得，设直线与平面所成的角为，则，所以当最小时，最大，最大，所以当即为的中点时最小，此时时，所以，所以C正确；对于D，  过作，交于，交于点，因为，所以分别是、的中点，又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，且，所以四边形是等腰梯形，作交于点，所以，，所以梯形的面积为，所以D错误.故选：AC.【点睛】本题考查了线线角、线面角、面面角的求法，综合性较强，对于角的求法，一般是先作出角，再证明，最后计算，考查了学生的空间想象力和计算能力.7．（2021·江苏省南通中学高二期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（       ）A．与EF相交 B．平面DEFC．EF与所成的角为 D．点到平面DEF的距离为【答案】BCD【解析】【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断．【详解】对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误；对于选项B，在直三棱柱中， ．，F分别是AC，AB的中点，， ．又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确；对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．1，，0，．，，．与所成的角为，故C正确；对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量．0，，1，，由，即，得取，则，0，，设点到平面DEF的距离为d．又2，，，点到平面DEF的距离为，故D正确．故选：BCD【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．三、填空题8．（2021·福建龙岩·高二期末）已知，，.若平面，则的最小值为___________.【答案】【解析】利用平面，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到，，之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可．【详解】因为平面，都在平面内，所以，所以，又因为，，，所以，解得，所以，所以，所以的最小值为．故答案为：【点睛】方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.9．（2021·湖北十堰·高二期末）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，，，两两互相垂直，且，若球的表面积为，则球心到平面的距离为__________.【答案】【解析】根据题中条件，可将该三棱锥看作一个长方体的一部分，此长方体内接于球O，长方体的体对角线为球的直径，球心O为长方体对角线的中点，由球的表面积，得出球的半径，求出的长，以点为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，空间向量的方法，即可求出点到面的距离.【详解】因为在三棱锥中，，两两互相垂直，所以可把该三棱锥看作一个长方体的一部分，将该三棱锥补形，得到长方体，此长方体内接于球，长方体的体对角线为球的直径，球心为长方体对角线的中点，设球的半径为，球的表面积，则，设，则，解得，即，所以，以点为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，所以，，，设平面ABC的一个法向量为，则，即，则，令，得.设球心到平面的距离为，则.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解空间中点到面的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及平面的一条斜线所对应的向量，则点到面的距离即为.四、解答题10．（2021·安徽合肥·高二期末（理））如图， 三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点(1)求证：平面：(2)求二面角的余弦值；【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）作出辅助线，利用余弦定理求出，利用勾股定理逆定理得到，进而证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值.(1)连接∵，，，∴由余弦定理得：，∴，∴，又侧面，平面，∴，又，，面，∴平面；(2)由题意及（1）中的垂直关系，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，所以设平面的一个法向量为，则，即，令，求得，∴由图知二面角为锐角，故其余弦值为11．（2021·浙江台州·高二期末）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．(1)若PB的中点为E，求证：平面PCD；(2)若PB与底面ABCD所成的角为60°，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）取PC的中点F，连接EF，DF，推导出四边形ADFE是平行四边形，，由此能证明平面PCD；（2）△为等边三角形，是中点，作，以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．(1)如图，取PC的中点F，连接EF，DF，，F分别为PB，PC的中点，，，且，且，四边形ADFE是平行四边形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．(2)若是中点，作，由底面ABCD为直角梯形且，，，由侧面底面ABCD，面面，面，∴在面ABCD的投影在直线上，又PB与底面ABCD所成的角为60°，∴PB与底面ABCD所成角的平面角，则△为等边三角形.∴以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，如下图示：∴、、、，则，，，设平面BDP的法向量，则，取，得，设平面PCD的法向量，则，取，得，设平面PCD与平面PBD的夹角为，则，平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值为．12．（2021·湖南·长沙一中高二期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，为中点，，，已知．(1)若，证明：；(2)若，求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）证明，再由勾股定理证明，从而证明平面，即可证明；（2）取的中点，连接，证明面，从而建立空间直角坐标系，写出对应的坐标，以及向量的坐标，求解平面的法向量为，又因为平面的法向量为，代入向量的夹角公式计算.(1)连结，由于为中点，且，故又有，而，故可知，则，又所以平面，而平面，故．(2)取的中点，连接，在中，，，为中点，所以，．在中，，，所以．又∵，．∴．又∵，，平面，平面，∴面．所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则．设平面的一个法向量为，则，所以．易知为平面的一个法向量，，由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为．【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.