广东省汕头市2022届高三数学二模试卷及答案

 高三数学二模试卷

一、单选题

1．设集合则（　　）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足（是虚数单位），则的值为（　　）

A．-2022 B．1 C．-1 D．2022

3．设 为等差数列 的前 项和， ， ，则 （　　）  

A．-6 B．-4 C．-2 D．2

4．函数的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

5．二项式展开式中，有理项共有（　　）项．

A．3 B．4 C．5 D．7

6．已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

7．若，则实数的值为（　　）

A．4 B． C． D．

8．已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（　　）

A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．

10．如图所示，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（　　）

A．相关系数r变大

B．残差平方和变大

C．相关指数R2变小

D．解释变量x与预报变量y的相关性变强

11．设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（　　）

A． B．

C． D．

12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（　　）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线AP与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

三、填空题

13．中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为a2+b2=c2（a，b，c∈N*），我们把a，b，c叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是　           　． 

14．在边长为1的等边三角形ABC中，设=2=3，则=　     　.

15．如图从双曲线 （其中 ）的左焦点F引圆 的切线，切点为T，延长 ，交双曲线右支于P，若M为线段 的中点，O为原点，则 的值为（用 表示）　     　． 

16．若，则的取值范围为　            　.

四、解答题

17．已知个正数排成n行n列，表示第i行第j列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为q．已知，，．

（1）求公比q；

（2）记第n行的数所成的等差数列的公差为，把，，……所构成的数列记作数列，求数列的前n项和．

18．袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．

19．已知钝角△ABC内接于单位圆，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．

（1）证明：；

（2）若，求△ABC的面积．

20．如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点．是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角的大小为30°，且．

（1）求t的值；

（2）对于平面ACD内的动点P总有平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由．

21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆与抛物线交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．

（1）求证：点P的纵坐标为定值；

（2）若F是抛物线C的焦点，证明：．

22．已知函数，其中是自然对数底．

（1）求的极小值；

（2）当时，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，且，求证：．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】C

3．【答案】A

4．【答案】A

5．【答案】D

6．【答案】B

7．【答案】A

8．【答案】D

9．【答案】B,C,D

10．【答案】A,D

11．【答案】A,C,D

12．【答案】A,B

13．【答案】11，60，61

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】（1）解：由题意知，，成等差数列，

，，

其公差为，

，

又，，成等比数列，且，

公比，由于 ，故 ；

（2）解：由，可得 ，

而，故 ，

故 ；

又 ，故 ，

由于 为等差数列，公差为，

故 ，即，

故 .

18．【答案】解：（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，

则．

（II）由题意所有可能的取值为：，，，.

；

；

；

．

所以随机变量的分布列为

随机变量的均值为

．

19．【答案】（1）证明：根据正弦定理，由，

因为，所以，

所以由，

由，因为△ABC是钝角三角形，所以，或，

当时， ，所以有，这与△ABC是钝角三角形相矛盾，故不成立，

当时，，

所以有，

显然此时B为钝角，所以△ABC是钝角三角形，符合题意；

（2）解：由

，

由（1）可知：，所以，因为B为钝角，

所以，所以，因为A为锐角，所以，

所以，因为钝角△ABC内接于单位圆，

所以由正弦定理可知：，

因此△ABC的面积为.

20．【答案】（1）解：易知面，，以所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系，

则，，，

易知面的一个法向量为，

设面的法向量为，则，

令，则，

可得，

解得或3，又点E在弦AD上，故.

（2）解：P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线，证明如下：

取靠近的三等分点即中点，中点，连接，

由为中点，易知，又面，面，

所以平面BEC，

又，面，面，所以平面BEC，

又，所以面平面BEC，

即和所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC，

又面，故P的轨迹即为所在直线，

即过靠近的三等分点及中点的直线.

21．【答案】（1）证明：由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)，

代入抛物线方程可得2p=1，

所以抛物线的方程为x2=y，

设A，B，

所以，

所以直线AB的方程为，

即，

因为直线AB过点C(0，2)，

所以，所以①.

因为，所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，

直线PA的方程为，

即，

同理直线PB的方程为，

联立两直线方程，可得P

由①可知点P的纵坐标为定值-2.

（2）证明：，，

注意到两角都在内，

可知要证， 即证，

，，

所以，

又，所以，

同理式得证.

22．【答案】（1）解：由题意，函数，可得，

当时，令，函数在上单调递增，无极小值；

当时，令，即，解得，

当时，，此时函数上单调递减；

当时，，此时函数上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，极小值为.

（2）证明：因为，所以，

所以，

因为函数有两个不同的零点，且，

所以，，所以，

所以，

因为，设，

可得，

因为，所以在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

所以，

再考虑，

因为，

所以，

设，则，

令，

则，

所以在上为单调递减函数，所以，

即恒成立，进而，

综上可得，.