2021届广东省高州市高三数学二模试卷及答案

这是一份2021届广东省高州市高三数学二模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


广东省高州市高三数学二模试卷
一、单项选择题
1.设集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
2.复数 满足： 〔其中 为虚数单位〕，复数 的虚部为〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
3. 是数列 的前 项和，那么“ 〞是“数列 是公差为2的等差数列〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
4.的展开式中 的系数为〔    〕
A. 15                                        B. -15                                        C. 10                                        D. -10
5.蹴鞠〔如下列图〕，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列人第一批国家非物质文化遗产名录．某蹴鞠的外表上有四个点S、A、B、C，满足 为正三棱锥，M是SC的中点，且 ，侧棱 ，那么该蹴鞠的外表积为〔    〕

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
6.函数 的图象大致为〔    〕
A.                        B. 
C.                    D. 
7.点 是双曲线 右支上一点， 、 为双曲线 的左、右焦点，假设 的周长为16，点 为坐标原点，那么 〔    〕
A. 20                                        B. -20                                        C. 40                                        D. -40
8. 、 、 是直线 上三个相异的点，平面内的点 ，假设正实数 、 满足 ，那么 的最小值为〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
9.函数 假设函数 有且只有两个不同的零点，那么实数 的取值可以是〔    〕
A. -1                                           B. 0                                           C. 1                                           D. 2
二、多项选择题
10.某电子商务平台每年都会举行“年货节〞商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2021年到2021年共9年“年货节〞期间的销售额〔单位：亿元〕并作出散点图，将销售额y看成年份序号x〔2021年作为第1年〕的函数．运用Excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如以下列图，那么以下说法中正确的选项是〔    〕

A. 销售额y与年份序号x呈正相关关系
B. 销售额y与年份序号x线性相关显著
C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
D. 根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节〞期间的销售额约为8454亿元
11.函数 的局部图象如下列图，将 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，那么以下结论正确的选项是〔    〕

A. 为非奇非偶函数                                          B. 的一个单调递增区间为
C. 为奇函数                                                     D. 在 上只有一个极值点
12.古希腊时期，人们把宽与长之比为 的矩形称为黄金矩形，把这个比值 称为黄金分割比例．以下列图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，假设M与K间的距离超过1.5m，C与F间的距离小于11m，那么该古建筑中A与B间的距离可能是〔    〕〔参考数据： ， ， ， ， ， 〕


三、填空题
13.1765年欧拉在其著作?三角形的几何学?首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，假设 的顶点都在圆 上，边AB所在直线方程为 ，且 ，那么 的欧拉线方程为________．
14.国庆节期间，某市举行―项娱乐活动，需要从5名男大学生志愿者及3名女大学生志愿者中选出6名分别参与A，B，C三个效劳工程，每个工程需要2人，其中A工程需要男志愿者，B工程需要1名男志愿者及1名女志愿者，那么不同的选派方法种数为________．
15. ，且 ，那么 ________．
16.区域D表示不在直线 ( )上的点构成的集合，那么区域D的面积为________，假设在区域D内任取一点 ，那么 的取值范围为________.
四、解答题
17.如图，△ 为等腰三角形，点A，E在△ 外，且 ，假设 ， ．

〔1〕从以下三个条件中任选一个，求 的长度；
① ；② ，③锐角 的面积为 ．
〔2〕在你所选的〔1〕条件下，求 的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答给分．
18.数列 中， ， ( ).
〔1〕求 的通项公式 ；
〔2〕数列 满足 ，设 为数列 的前 项和，求使 恒成立的最小的整数 .
19.如图，在等腰梯形 中， ， ，将 沿着 翻折，使得点 到点 ，且 ．

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕求直线 与平面 所成角的余弦值．
20.为落实?关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见?，完善学校体育“健康知识＋根本运动技能＋专项运动技能〞教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛〞为一体的竞赛体系，构建校、县〔区〕、地〔市〕、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节〞活动，其中传统工程“定点踢足球〞深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛〔每人各踢一次为一轮〕，在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为 ，乙每次踢球命中的概率为 ，且各次踢球互不影响．
〔1〕经过1轮踢球，记甲的得分为 ，求 的数学期望；
〔2〕假设经过 轮踢球，用 表示经过第 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 ， ， ；
②规定 ，且有 ，请根据①中 ， ， 的值求出 、 ，并求出数列 的通项公式．
21.在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆相切．
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕M，N为椭圆C的上、下端点，点T的坐标为 ，且直线TM、TN分别与椭圆交于两点C，D〔M，N，C，D四点互不相同〕，求点M到直线CD距离的取值范围．
22.函数 ．
〔1〕当 时，证明： 在 上为减函数．
〔2〕当 时， ，求实数 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】∵集合 ，∴集合 ，
∴ ，∴ ．
故答案为：D．

【分析】根据题意由不等式的解法求出集合A再由指数函数的性质求出集合B，结合交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】 ，
∴ ，
∴复数z的虚部为 ．
故答案为：C．

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数的概念即可得出答案。
3.【解析】【解答】 ，所以 ，当 时，
，
所以数列 是公差为2的等差数列；当数列 是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列 的前n项和 不确定，所以是充分不必要条件
故答案为：A

【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
4.【解析】【解答】 ，
令 解得 ，
所以展开式中 的系数为 ．
故答案为：D．

【分析】由条件求出二项式的通项公式再由题意得到求出r的值再把数值代入到通项公式计算出结果即可。
5.【解析】【解答】取AC中点N，连接BN、SN，

∵N为AC中点， ，
∴ ，同理 ，
由 ，即 平面SBN，又 平面SBN，
∴ ，而 且 ，
∴ 平面 ，即 且 ．
∵三棱锥 是正三棱锥，
∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直，而侧棱 ，
∴正三棱锥 的外接球的直径 ，得 ，
∴其外接球的外表积 ，
故答案为：C．

【分析】由题意画出图形，证明三棱锥的三条侧棱两两垂直，然后把正三棱锥放置在正方体中，求正方体的对角线长，可得外接球的半径，再由球的外表积公式代入数值计算出结果即可。
6.【解析】【解答】解：因为 ，所以
由于 ，所以函数不是偶函数，排除C，D选项.
当 时， ，排除B选项，
故答案为：A.

【分析】 根据题意首先求出函数的定义域再由偶函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除C、D，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项B，由此得到答案。
7.【解析】【解答】因为 ， 的周长为16，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
故答案为：B.

【分析】根据题意由双曲线的定义结合数量积的运算公式计算出结果即可。
8.【解析】【解答】∵ ，∴ ，
由于 、 、 是直线 上三个相异的点，
所以 ，又 ， ，
由根本不等式得 ，
当且仅当 时取等号．
故答案为：B．

【分析】由向量的线性运算即可得出， 结合条件由根本不等式整理即可求出最小值。
9.【解析】【解答】作出函数 的图象如以下列图所示，令 ，即 ，

所以要使函数 有且只有两个不同的零点，那么需函数 的图象与直线 有两个不同的交点，
根据图示可得实数 的取值范围为 ，
故答案为：B.

【分析】由条件作出图象，再由对数函数以及一次函数的图象集合而来的的定义利用数形结合法取出a的取值范围即可。
二、多项选择题
10.【解析】【解答】A：根据拟合图象知，散点从左下到右上分布，销售额y与年份序号x呈正相关关系，正确；
B：因为相关系数0.936 > 0.75，靠近1，销售额y与年份序号x线性相关显著，正确；
C：根据三次函数回归曲线的相关指数0.999 > 0.936，相关指数越大，拟合效果越好，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，正确；
D：由三次函数 ，当 时， 亿元，错误．
故答案为：ABC．

【分析】 由散点图分布趋势知选项A正确；由相关系数0.936>0.75知选项B正确；根据两模型相关系数大小关系可知选项C正确；将x=10代入三次函数方程即可求得y的预估值，知选项D错误.，由此得出答案。
11.【解析】【解答】由函数图象易得函数的最小正周期为 ，解得 ，又 ，
所以 ，解得 ，故函数 ．
将 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象．显然， 是奇函数，A不符合题意．C符合题意；
当 时， ，此时 不是单调的，B不符合题意；
当 时， ， 只有一个极值点 ，D符合题意．
故答案为：CD．

【分析】首先由条件即可得出函数的周期，结合周期公式计算出， 再由点的坐标代入解析式计算出， 由此得出函数的解析式；结合函数平移的性质即可判断出选项A错误；利用正弦函数的单调性以及最值的情况，由零点的定义即可判断出选项C、D正确，从而得出答案。
12.【解析】【解答】设 ， ，
∵矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，
∴有 ， ， ， ， ， ，
由题设得： ，解得 ．
故答案为：AC．

【分析】根据题意由设出， 再由条件得出边的大小，结合指数函数的单调性求解出x的取值范围即可。
三、填空题
13.【解析】【解答】由题意可得 的欧拉线过原点且与直线 垂直，所以欧拉线方程的斜率为2，所以 的欧拉线方程为 ．
故答案为： .

【分析】由垂直直线斜率之间的关系，求出欧拉线方程的斜率，再有大学生求出直线的方程即可。
14.【解析】【解答】⒈A工程选派方法数有 种，
⒉B工程选派方法数有 种，
⒊C工程选派方法数有 种，
不同的选派方法种数为 ．
故答案为：540

【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，代入数值计算出结果即可。
15.【解析】【解答】由 得 ，
∴ ， ，解得 ，
∴ ，即 ．
故答案为： .

【分析】首先由二倍角的正弦公式整理得到， 再由同角三角函数的根本关系式结合角的取值范围，求出cos的值由此求出的值即可。
16.【解析】【解答】将直线方程转化关于m的方程为： .
∵区域D表示不在直线 ( )上的点构成的集合，
∴方程 无根.
①当 时， ，整理得 ，
即 在以 为圆心，1为半径的圆的内部，那么区域 的面积为 .

令 ，那么 ， ， ，
设 与 夹角为 ，那么 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ；
②当 时，直线方程为 ，令 ，解得 ，
当 时， 必有取值，那么当 时，只有 不在直线 上.此时 .
综上所述， 的取值范围为 .
故答案为： ，

【分析】 根据题意把方程变形，化为关于m的方程，结合分类利用判别式法可得P的轨迹，从而求得区域D的面积，再由数量积求夹角可得的取值范围.
 
四、解答题
17.【解析】【分析】 (1)假设选0当时，在△BCD中，由余弦定理可求BD的值，进而可求， 在Rt△BDE中，利用勾股定理可求E的值；假设选②当， 在BDE中，利用余弦定理可得BE的值. 选择③ 结合余弦定理整理得出BD和DE的值，再把数值代入到三角形的面积公式求出， 再由余弦定理代入数值计算出结果即可。
(2) 在△BAE中，， 由余弦定理，根本不等式可求， 且仅当AB=AE时，等号成立，即可得解AB=AE时，折线段赛道BAE最长.
 
 
18.【解析】【分析】(1)根据题意由的数列的递推公式整理得出， 由此得出数列是等比数列，在意等比数列的通项公式求解出答案。
(2)由(1) 的结论即可得出数列的通项公式，再由错位相减法整理得出， 由此即可得出， 从而求出k的值。
 
 
19.【解析】【分析】 (1)利用余弦定理代入数值计算AC的值，再根据勾股定理的逆定理证明， ， 由线面垂直的判定定理即可得出，BC⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合诱导公式整理得出sin,结合同角三角函数的根本关系式计算出cos的值，由此得到直线 与平面 所成角的余弦值
 
 
20.【解析】【分析】 〔1〕X的可能取值为-1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与期望；
(2) ① 由〔1〕 ，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出P：.经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分，由此能求出P3； ② .推导出， 代入得，， 推导出， 从而得出数列是等比数列，结合等比数列的通项公式由等比数列前n项和公式计算出答案即可。
 
 
21.【解析】【分析】(1)根据离心率，令a=2k(k>0)，得出椭圆的方程，因为直线与方程相切，得出方程组，解
出方程的根k=1，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合直线的方程联立求出交点的坐标，整理化简得出， 当 ， 变化时，上式恒成立，故可得 ，所以直线CD恒过一定点 ， 从而求出最大值。
 
22.【解析】【分析】(1)根据题意把a的值代入求出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由 时 由此得出函数是 上以 为拐点的减函数。
(2)由条件即可得出对于 恒成立 ，构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数h(x)的单调性，由此得出， 然后再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出从而得到， 进而求出a的取值范围。