2021届广东省汕头市高三数学三模试卷及答案

这是一份2021届广东省汕头市高三数学三模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


广东省汕头市高三数学三模试卷
一、单项选择题
1.复数 ， 是z的共轭复数， ， 在复平面内对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
2.全集 ，集合 ，集合 ，那么阴影局部表示的集合为〔   〕

A.                             B.                             C.                             D. 
3.现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，那么在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
4. 是数列 的前n项和，那么“ 对 恒成立〞是“ 是公比为2的等比数列〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
5. 是定义在R上的函数，满足 .都有 ，且在 上单调递增.假设 ， ， ，那么a，b，c的大小关系为〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
6.区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融､政务效劳､供应链､版权和专利､能源､物联网等.在区块链技术中，假设密码的长度设定为256比特，那么密码一共有 种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行 次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行 次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为〔    〕(参考数据 ， )
A. 秒                       B. 秒                       C. 秒                       D. 28秒
7.设 是双曲线 的右焦点，双曲线两渐近线分别为 ， ，过点 作直线 的垂线，分别交 ， 于 ， 两点，假设 ， 两点均在 轴上方且 ， ，那么双曲线的离心率e为〔   〕
A.                                         B. 2                                        C.                                         D. 
8.定义在R上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，那么不等式 的解集为〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
二、多项选择题
9.为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售.其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：

那么下面结论中正确的选项是〔    〕
A. 扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少；
B. 扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上；
C. 扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍；
D. 扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍.
10.函数 ，且对任意 都有 ，那么以下正确的有〔    〕
A. 的最小正周期为                                     B. 在 上单调递减
C. 是 的一个零点                                D. 
11.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF a，以下结论正确的有〔    〕

A. AC⊥BE                                                                                      B. 点A到△BEF的距离为定值
C. 三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的      D. 异面直线AE，BF所成的角为定值
12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆的左､右焦点， 为椭圆上两个动点.直线l的方程为 .以下说法正确的选项是〔    〕
A. C的蒙日圆的方程为
B. 对直线l上任意点P，
C. 记点A到直线l的距离为 ，那么 的最小值为
D. 假设矩形 的四条边均与C相切，那么矩形 面积的最大值为
三、填空题
13.函数 〔 且 〕的图象恒过定点A，假设点A在直线 上，其中 ， ，那么mn的最大值为________.
14.非零向量 满足 ，且 ，那么 与 的夹角为________．
15.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底而直径和高均为10cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 〔细管长度忽略不计〕.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，那么此锥形沙堆的高度为________.〔精确到0. 01cm〕.

16.数列 满足 ，那么 ________，假设对任意的 ， 恒成立，那么 的取值范围为________.
四、解答题
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.在 中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且           .
〔1〕求角A的大小；
〔2〕假设 是锐角三角形，且 ，求边长c的取值范围.
〔注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分〕
18.数列 的前n项和为 ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，假设 表示不超过x的最大整数，如 ， .
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕假设 ，求数列 的前2021项的和.
19. 是正三角形，线段 和 都垂直于平面 ，且 ， 为 的中点，设平面 平面 .

〔1〕求证： ；
〔2〕当平面 与平面 所成的锐二面角为 时，求几何体 的体积.
20.圆 与定直线 ，且动圆 与圆 外切并与直线 相切.
〔1〕求动圆圆心M的轨迹E的方程；
〔2〕点P是直线 上一个动点，过点P作轨迹E的两条切线，切点分别为A、B.
①求证：直线AB过定点；
②求证： .
21.第13届女排世界杯于2021年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，MIKSA-V200W，这种球的质量指标ξ〔单位：g〕服从正态分布N〔270，52〕.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛〔采取5局3胜制〕，最后靠积分取得最后冠军，积分规那么如下：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为
〔1〕假设比赛准备了1000个排球，请估计质量指标在〔260，265]内的排球个数〔计算结果取整数〕.
〔2〕第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为 .
〔i〕求出 的最大值点 ；
〔ii〕假设以 作为p的值，记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列及数学期望.
参考数据：假设 ，那么 ，
22.函数 ， .
〔1〕当 时，求证：当 时， ；
〔2〕假设 在 上恒成立，求a的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解： ，
，
，
∴z0在复平面内对应的点为 ，
∴z0在复平面内对应的点位于第四象限，
故答案为：D.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。
2.【解析】【解答】由图可知，阴影局部表示为
因为全集 ，集合 ，集合
所以 ，
那么
即
故答案为：B

【分析】根据题意由集合的韦恩图，结合补集和交集的定义即可得出答案。
3.【解析】【解答】解：记“黄色杯子和绿色杯子相邻〞为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻〞为事件B，
那么黄色杯子和绿色杯子相邻，有 种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有 种；
所以 ，
故答案为：C.

【分析】根据题意由排列的定义结合题意求出事件A和事件B发生的种数，再由条件概率的公式代入数值计算出结果即可。
4.【解析】【解答】解：假设 ，那么 ，即 ，
根据等比数列的定义， 是公比为2的等比数列不成立；
假设 是公比为2的等比数列，那么 ，即 ，
所以 成立；
所以“ 对 恒成立〞是“ 是公比为2的等比数列〞的必要不充分条件，
故答案为：B.

【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
5.【解析】【解答】因为函数 满足 ，所以函数是 是奇函数，
所以 ，
又因为 ， 所以
又在 上单调递增，所以 ，
即 ，
故答案为：B

【分析】首先由奇函数的定义即可得出函数的奇偶性，再由诱导公式整理得出， 结合条件在 上单调递增，由此即可比较出大小。
6.【解析】【解答】设这台机器破译密码所需时间大约为 秒，那么 ，
两边同时取常用对数可得： ，
即 ，
所以 ，
可得 ，
所以 ，
从选项考虑： ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B

【分析】根据题意利用对数的运算性质即可求出， 再由指对互化公式求出x的值即可。
 
7.【解析】【解答】如以下列图所示，

从而可知 ，∴ ，
即 ，∴ ，
故答案为：C.

【分析】根据题意由直线斜率的定义即可求出， 结合二倍角的正切公式计算出， 即结合离心率公式计算出结果即可。
8.【解析】【解答】解：令 ，那么 ，
所以不等式 等价转化为不等式 ，即
构造函数 ，那么 ，
由题意， ，所以 为R上的增函数，
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 ，
故答案为：D.

【分析】根据题意令 求出x的值，由此不等式转化为， 即构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合条件得出即， 求解出t的取值范围整理得到， 从而得出答案。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】设扶贫前销售收入为 ，扶贫后销售收入为 ，
对于A中，扶贫前该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为 ，
扶贫后该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为 ，
所以扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入增加了，所以A不正确；
对于B中，扶贫前，该村的自媒体销售渠道的收入 ，
扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入 ，
所以扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上，所以B符合题意；
对于C中，扶贫前，该村的农产品批发市场销售渠道的收入 ，
扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入 ，
所以扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍，所以C符合题意；
对于D中，扶贫前，该村的农产品电商销售渠道收入 ，
扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入
扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的八倍，所以D不正确.
故答案为：BC.

【分析】根据题意结合扇形图中的数据对选项逐一判断即可得出答案。
10.【解析】【解答】由题意可知函数 的图象关于直线 对称，那么 ，
即 ，整理可得 ，即 ，
所以， ， ，所以， ，D选项正确；
，故函数 的最小正周期为 ，A选项正确；
当 时，可得 ，假设 ，那么函数 在 上单调递增，B选项错误；
，故 是 的一个零点，C选项正确.
故答案为：ACD.

【分析】 由己知可得函数f(x)的图象关于对称，那么， 由此可求得， 代入f(x)解析式中，利用辅助角公式化简可得， 由正弦函数的性质逐一选项判断即可得结论.
 
11.【解析】【解答】对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1 ， AC⊥平面BDD1B1 ，
所以AC⊥BE，所以A符合题意；
对于B，A到平面BDD1B1的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，
那么B符合题意；
对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为
V三棱锥A﹣BEF • EF•AB•BB1•sin45° a×a a a3 ，
三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的 ，正确；
对于D，如下列图异面直线AE，BF所成的角的平面角为 不为定值，命题D不符合题意；

故答案为：ABC．

【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D，逐项进行判断即可得出答案。
12.【解析】【解答】对于A，过 可作椭圆的两条互相垂直的切线： ， ，
在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为： ；
由 得： ，
∴ 的蒙日圆方程为： ，A符合题意；
对于B，由 方程知： 过 ，又 满足蒙日圆方程， 在圆 上，
过 ，当 恰为过 作椭圆两条互相垂直切线的切点时， ，B不符合题意；
对于C， 在椭圆上， ，
；
当 时， 取得最小值，最小值为 到直线 的距离，
又 到直线 的距离 ，
，C不符合题意；
对于D，当矩形 的四条边均与 相切时，蒙日圆为矩形 的外接圆，
∴矩形 的对角线为蒙日圆的直径，
设矩形 的长和宽分别为 ，那么 ，
∴矩形 的面积 〔当且仅当 时取等号〕，
即矩形 面积的最大值为 ，D符合题意.
故答案为：AD.

【分析】 对于A：由， 推出， 即可判断A是否正确；
对于B：根据题意推出点P在圆上，进而可得当A，B恰为切点时， 即可判断B是否正确；对于C：由椭圆的定义得那么只需最小值，即可判断C是否正确；对于D：由对角线为蒙日圆的直径，对角线为蒙日圆的直径，设边长为x，y，利用根本不等式，可判断D是否正确，由此得出答案。
 
三、填空题
13.【解析】【解答】解：∵函数 〔 且 〕的图象恒过定点A，，
点A在直线 上，，
又 ， ，，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以mn的最大值为 ，
故答案为： .

【分析】首先把点的坐标代入到指数函数的解析式求出点A的坐标，再由点在直线上代入求出， 整理结合根本不等式即可求出时，取得最大值即可。
14.【解析】【解答】因为
所以 ，即 ，
根据向量的数量积运算，那么
代入化简得 ，
由 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用；两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的定义，进而结合数量积求出向量夹角公式，进而结合向量夹角的取值范围，进而求出两向量的夹角。
15.【解析】【解答】解：设细沙在上部时，细沙的底面半径为r，那么 ，
所以细沙的体积为 ，
设细沙流入下部后的高度为 ，根据细沙体积不变可知： ，
解得 ，即此锥形沙堆的高度为2.96，
故答案为：2.96.

【分析】根据题意由三角形的几何性质计算出底面圆的半径，由此得出细沙的体积，再结合题意利用等体积法代入数值计算出高的值即可。
16.【解析】【解答】当 时， ；
当 时， ，
可得 ，
上述两式作差可得 ，即 ，
不满足 ，所以， ，那么 .
当 时， ，即 ，
所以，数列 从第二项开始为递增数列，
对任意的 ， 恒成立.
①假设n为正奇数，那么 ， ，那么 ，可得 ；
②假设n为正偶数，那么 ，可得 .
综上所述， .
故答案为： ； .

【分析】 ①根据题意直接利用赋值法的应用求出数列的各项，进一步确定结果.
②利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出参数的取值范围.
 
四、解答题
17.【解析】【分析】 (1)假设选择条件①，由利用正弦定理可得， 由余弦定理可得cosA的值，结合A是△ABC的内角，可得A的值.假设选择条件②，由正弦定理，两角和的正弦函数化简等式可得cos A，结合A是△ABC的内角，可得A的值.
(2)由可求范围，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求， 根据正切函数的性质即可求解其取值范围.
18.【解析】【分析】(1) 根据题意由等差数列的通项公式求出数列的通项公式，整理即可得出结合数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式即可。
(2)首先根据题意对n赋值，结合题意由数列的性质即可求出数列 的前2021项和 。
19.【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由三角形的几何性质得出线线垂直，再由线面垂直的性质定理得出平行关系，由此即可得证出结论。
(2)首先由等边三角形的几何性质，即可得出角的大小以及线线垂直的关系，再由线面垂直的浦东大道里言教性质定理得出线线垂直，从而得到平面 与平面 所成的锐二面角的平面角的大小，再由等腰三角形的几何关系结合题意求出边的大小，利用割补法把数值代入到棱锥体积公式计算出结果即可。
20.【解析】【分析】(1)首先由抛物线的定义即可得出动点M的轨迹是 抛物线，再结合条件即可得出p的值，由此求出抛物线的方程。
(2) ①根据题意对函数求导由此得出切线的斜率，再设出点的坐标，并代入到抛物线的方程利用中点的坐标以及韦达定理得出， 再由点差法整理得出直线的斜率，从而求出直线的方程以及直线所过的定点。
②由①知：直线 的斜率 ，分情况讨论 〔i〕当直线 的斜率不存在时 ，结合题意得出答案。
〔ii〕当直线 的斜率存在时 ，利用斜率的坐标公式代入即可求出， 从而得到， 由此得出线线垂直，进而得出答案；综上所述：即可得证出结论。
21.【解析】【分析】 (1)由正态分布的性质，代入数值即可求出排球个数；
(2) (i〕根据二项分布先求出， 再利用导数求出f(p)的单调性，再由其单调性求出最大值，以及所对应的p的值即可。
(ii)根据比赛积分规那么，得出中国队得分可能的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
22.【解析】【分析】(1)首先把a的值代入得到函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，利用函数的单调性即可得证出结论。
(2)根据题意得出， 令 并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，以及当a取不同值时，函数的单调区间，从而得出满足题意的a的取值范围。