选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用同步达标检测题

8.2 一元线性回归模型及其应用(精练)

【题组一 样本中心求参数】

1．(2021·全国·高二单元测试)某公司生产某种婴幼儿纸尿裤的产量x与相应的生产能耗y有如下样本数据：

已知这组样本数据具有线性相关关系，由表中数据，求得回归直线的斜率为0.72，则这组样本数据的回归直线方程是(    )

A． B．

C． D．

2．(2021·江西·吉安一中高二开学考试 )已知与之间的一组数据：，则与的线性回归方程为必过(    )

A． B． C． D．

3(2021·河南·孟津县第一高级中学 )为了庆祝建党100周年，某网站从7月1日开始推出党史类书籍免费下载活动，已知活动推出时间(单位：天)与累计下载量(单位：万次)的统计数据如表所示：

根据上表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测，活动推出11天的累计下载量约为(    )

A．13.8万次 B．14.6万次

C．16万次 D．18万次

4．(2021·河北·藁城新冀明中学高二月考)(多选)随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养的要求逐渐提高.据了解，烧烤食品含有强致癌物，因此吃烧烤的人数日益减少，烧烤店也随之减少.某市对2014年至2018年这五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表所示：

根据所给数据，得出关于的回归直线方程为，则下列说法正确的是(    )

A．该市2014年至2018年全市烧烤店盈利店铺个数的平均数

B．关于的回归直线方程为

C．估计该市2020年烧烤店盈利店铺的个数为147

D．预测从2025年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100

5．(2021·广东惠州 )(多选)某种产品的价格(单位：元/)与需求量(单位：)之间的对应数据如下表所示：

根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是(    )

A．与正相关 B．与负相关

C．样本中心为 D．该产品价格为35元/时，日需求量大约为

6．(2021·重庆市秀山高级中学校 )(多选)已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是(    )

A．变量，之间呈负相关关系

B．可以预测，当时，

C．

D．该回归直线必过点

7．(2021·贵州·贵阳一中 )某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表已得回归方程为，表中一数据模糊不清，请推算该数据的值为___________.

8．(2021·全国·高二课时练习)已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为，那么表格中的数据m的值为______.

9．(2021·全国·高二课时练习)蟋蟀鸣叫的频率P(每分钟鸣叫的次数)与气温T(单位：℃)有着很大的关系.某观测人员根据下表中的观测数据计算出P关于T的线性回归方程，则下表中k的值为______.

10．(2021·福建宁德·高三期中)某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：

由最小二乘法得到回归方程，则＝___________.

【题组二 线性回归方程】

1．(2021·河北·藁城新冀明中学高二月考)假定产品产量x(千件)与单位成本y(元/件)之间存在相关关系.数据如下：

(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；

(2)求y与x之间的回归直线方程，对于单位成本70元/件时，预报产量为多少；

2．(2021·甘肃张掖)某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：

(1)已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程(系数精确到0.01)；

(2)假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2021年的年收入为9.5万元，请根据(1)中的线性回归方程预测该家庭2021年的年支出金额．

附：回归方程中的斜率的最小二乘估计公式为．

3．(2021·云南师大附中)大气污染物PM2.5的浓度超过一定的限度会影响人的健康.为了研究PM2.5的浓度是否受到汽车流量的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点统计24小时内过往的汽车流量x(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定该时间段空气中的PM2.5的平均浓度y(单位：μg/m3)，制作了如图所示的散点图：

(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明(精确到0.01)；

(2)建立y关于x的回归方程；

(3)我国规定空气中的PM2.5浓度的安全标准为24小时平均依度75μg/m3，某城市为使24小时的PM2.5浓度的平均值在60~130μg/m3，根据上述回归方程预测汽车的24小时流量应该控制在什么范围内？

附：

参考数据：，，，，，.

参考公式：相关系数，

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

4．(2021·全国·高三专题练习)实施新规后，某商场2020年1月份至10月份的收入情况如表．

并计算得，，，．

(1)是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用相关系数加以说明；(当时，那么变量，有较强的线性相关关系)

(2)建立关于的回归方程(结果保留1位小数)，并预测该商场12月份的收入情况．(结果保留整数)

附：，．

5(2021·河南许昌 )某新型外贸出口公司对2021年过去9个月的出口销售数据进行整理，得到了今年第个月份与截止该月底的销售额(单位：万元)之间的关系，如下表：

(1)若与满足线性关系，求出关于的回归方程；(，精确到整数位)

(2)预测该公司10月份的销售额

附：参考数据：；；；

参考公式：，.

6．(2021·福建·莆田第二十五中学高三月考)2021年东京奥运会，中国举重选手8人参赛，7金1银，在全世界面前展现了真正的中国力量；举重比赛根据体重进行分级，某次举重比赛中，男子举重按运动员体重分为下列十级：

每个级别的比赛分为抓举与挺举两个部分，最后综合两部分的成绩得出总成绩，所举重量最大者获胜，在该次举重比赛中，获得金牌的运动员的体重以及举重成绩如下表

(1)根据表中的数据，求出运动员举重成绩y与运动员的体重x的回归直线方程(保留1位小数)；

(2)某金牌运动员抓举成绩为170公斤，挺举成绩为204公斤，则该运动员最有可能是参加的哪个级别的举重？

参考数据：；参考公式：．

7．(2021·西藏·拉萨中学高二月考)珠海国际赛车场(简称ZIC)位于珠海经济特区金鼎镇.创建于1996年，是中国国内第一座符合国际汽车联盟一级方程式标准的国际级赛车场.目前该赛事已打造成集赛车竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年参会人数(万人)与所需环保车辆数量(辆)，得到如下统计表：

(1)根据统计表所给5组数据，求出关于的线性回归方程．

(2)已知租用的环保车平均每辆的使用成本费用(元)与数量(辆)的关系为，主办方根据实际参会人数投入所需环保车，租车每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次赛车会大约有14万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润是多少？

(注：利润主办方支付费用－使用成本费用C)．

参考公式：

8．(2021·江西·新余市第一中学高二月考)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，，求事件“，中至少有一个数小于25”的概率；

(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出关于的线性回归方程.

(参考公式：回归直线方程为，其中，)

9．(2021·全国·高二单元测试)某地区2013年至2019年居民纯收入y(单位：千元)的部分数据如表所示：

2018和2019年的居民纯收入y(单位：千元)数据采用随机抽样的方式获得，用样本的均值来代替当年的居民人均纯收入，其数据如下：

2018年抽取的居民纯收入(单位：千元)数据：5.2 4.8 6.5 5.6 6.0 7.1 6.1 7.3 5.9 7.5

2019年抽取的居民纯收入(单位：千元)数据：6.2 7.8 6.6 5.8 7.1 6.8 7.2 7.9 5.9 7.7

(1)求y关于t的线性回归方程；

(2)当地政府为了提高居民收入水平，现从2018和2019年居民纯收入(单位：千元)高于7.0千元的样本中随机选择3人进行座谈，了解其工作行业及主要收入来源．设X为选出的3人中2018年纯收入高于7.0千元的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

【题组三 非线性回归方程】

1．(2021·福建·泉州科技中学 )数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.

(1)赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？

(2)小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据(其中)

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

2．(2021·云南大理 )2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：

当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．

(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；

(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益+国家补贴)的大小．

附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．．

用最小二乘法求线性回归方程的截距：．

3．(2021·全国·高二单元测试)某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y(元)与生产的产品数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：

根据以上数据，绘制了如下散点图.

参考数据：(其中)

(1)观察散点图判断，与哪一个适宜作为非原料成本y与生产的产品数量x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)试预测生产该产品10千件时，每件产品的非原料成本为多少元？

4．(2021·全国·高三课时练习)某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量(单位：亿元)对年销售额(单位：亿元)的影响，该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.现该公司对收集的近12年的年研发资金投入量和年销售额()的数据作了初步处理，令，，经计算得到如下数据：

(1)设和的样本相关系数为，和的样本相关系数为，请从样本相关系数(精确到0.01)的角度判断，哪个模型拟合效果更好；

(2)(i)根据(1)的选择及表中数据，建立关于的非线性经验回归方程；

(ii)若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量约为多少亿元？

参考数据为，，.

5．(2021·全国·高二课时练习)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度(单位：)与声音能量(单位：)之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：

参考数据：，，，，，

，，其中，.

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归模型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)求声音强度关于声音能量的非线性经验回归方程.

(3)假定当声音强度大于时，会产生噪声污染.城市中某点处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点处的声音能量等于与之和.请根据(2)中的非线性经验回归方程，判断点处是否受到噪声污染，并说明理由.

6．(2021·福建·福州三中高二期中)某地从2月20日开始的连续7天的某传染病累计确诊人数如下表：

由上述表格得到如下散点图．

(1)根据散点图判断与(均为大于0的常数)哪一个更适合作为累计确诊人数y与天数x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)，并求出y关于x的回归方程；

(2)3月20日，该地的疾控中心接受了1000份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每份样本是阳性的概率是0.6，试剂把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.99(试剂存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性样本检测呈阳性样本)，求这1000份样本中检测出呈阳性的份数的期望．

参考数据：

其中

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

7．(2021·山西太原·高二期中(文))为了更好的指导青少年健康饮食，某机构调查了本地区不同身高的未成年男性，得到他们的体重的平均值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中

(1)根据散点图判断，可采用作为这个地区未成年男性体重y千克与身高x厘米的回归方程．利用表中数据建立y关于x的回归方程；

(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区一名身高为175厘米，体重为78千克的在校男生的体重是否正常？

参考数据：．

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．