天津市市区重点中学2022届高三下学期数学三模试卷及答案

高三下学期数学三模试卷

一、单选题

1．设全集U={0，1，2，3，4}，∁UA={1，2}，B={1，3}，则A∪B等于（　　）

A．{2} B．{1，2，3}

C．{0，1，3，4} D．{0，1，2，3，4}

2．已知是空间两个不同的平面，则“平面上存在不共线的三点到平面的距离相等”是“”的（　　）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

3．函数y= sin2x的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

4．下列说法错误的是（　　）

A．线性相关系数时，两变量正相关

B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值就越接近于1

C．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平增加0.2个单位

D．对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大

5．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＝b<c B．a＝b>c C．a<b<c D．a>b>c

6．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（　　） 

A． 立方尺 B． 立方尺

C． 立方尺 D． 立方尺

7．设函数 ，则下列结论正确的是（　　）

A． 的图象关于直线 对称

B． 的图象关于点 对称

C．把 的图象向左平移 个单位，得到一个偶函数的图象

D． 的最小正周期为 ，且在 上为增函数

8．已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，如果，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

9．定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（　　）

A．的值域为

B．图象的对称轴为直线

C．当时，

D．方程恰有5个实数解

二、填空题

10．已知复数的实部和虚部相等，则　     　．

11．的二项展开式中的常数项为　     　.

12．已知直线将圆平分，且与直线垂直，则的方程为　         　．

13．若，则的最小值是　     　.

14．一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数，则　     　，　     　．

15．在 中， ， ， ， ，则 　     　；设 ，且 ，则 的值为　     　.  

三、解答题

16．在 中，角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，且 ， . 

（Ⅰ）若 ，求 ；

（Ⅱ）若 的面积等于 ，求 ， .

17．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，，E为棱BC上的点，且

（1）求证：DE⊥平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）设Q为棱CP上的点（不与C、P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值.

18．已知椭圆C： 的离心率为 ，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为 (O为坐标原点).

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|＋|PM|为定值.

19．已知数列的前项和为，满足，数列满足，且．

（1）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；

（2）若，求数列的前2n项和；

（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围．

20．已知函数.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】B

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】C

8．【答案】A

9．【答案】C

10．【答案】

11．【答案】60

12．【答案】2x-y+2=0

13．【答案】2

14．【答案】；

15．【答案】3；

16．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理 可知： ，从而求得

（Ⅱ）由 的面积等于 ，可知 ，

从而 ①，

由余弦定理 可得，

②，联立①②得 .

17．【答案】（1）证明：以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，，

所以，，

所以，，且，所以DE⊥平面.

（2）解：由（1）知，DE⊥平面，是平面的一个法向量，

且，，

设平面的一个法向量为，

所以，即，令，则，

所以，

，

由图二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

（3）解：由（1）得，，，，

设，则，可得，

所以，是平面的一个法向量

所以

，解得.

所以.

18．【答案】（1）解：由题意可知：椭圆的离心率e＝ ，则a＝ c.

由△AOF的面积为S＝ ×b×c＝ ，则bc＝1，

由a2＝b2＋c2，解得a＝ ，b＝c＝1.

∴椭圆的标准方程为

（2）解：由(1)知：F(1，0)，以椭圆的短轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，

设P( cos θ，sin θ)，且cos θ>0，

则|PF|＝

由M是圆x2＋y2＝1的切点，则OM⊥PM，且|OM|＝1，

则|PM|＝ ＝cos θ，

∴|PF|＋|PM|＝ －cos θ＋cos θ＝ ，

∴|PF|＋|PM|为定值.

19．【答案】（1）证明：由两边同时除以，

得，

从而数列为首项1，公差的等差数列，所以，

数列的通项公式为．

当时，，所以．

当时，，

两式相减得，又，所以，

从而数列为首项，公比的等比数列，

从而数列的通项公式为

（2）解：因为，

所以，

（3）解：由（1）得，

，

，

两式相减得，

所以，

由（1）得，

因为对，都有，

即恒成立，

所以恒成立，

记，所以，

因为，

从而数列为递增数列，

所以当时，取最小值，

于是

20．【答案】解：（Ⅰ）因为，定义域，所以.令，解得.

随x的变化，和的情况如下：

由表可知函数在时取得极大值，无极小值；

（Ⅱ）证明：令（），

.

由得，于是，故函数是上的增函数.

所以当时，，即；

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，满足题意.

令，.

当时，若，，则在上是减函数.

所以时，，不合题意.

当时，，则在上是减函数，所以，不合题意.

综上所述，实数a的取值范围.