天津市和平区2022届高三下学期数学三模试卷及答案

 高三下学期数学三模试卷

一、单选题

1．已知全集，集合，则（　　）

A．{5} B．

C． D．

2．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（　　） 

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数的图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

4．某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：，，，，，，（时间均在内），如图，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5，则，的值分别为（　　）

A．0.3，0.35 B．0.4，0.25 C．0.35，0.3 D．0.35，0.25

5．设，则的大小关系为（　　）

A． B． C． D．

6．已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（　　）

A．3：4 B．1：2 C． D．2：1

7．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则双曲线的渐近线方程为（　　）

A． B． C． D．

8．函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．

9．已知函数，关于的方程R)有四个相异的实数根，则的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

二、填空题

10．已知为虚数单位，设复数满足，则的虚部为　     　．

11．的展开式中项的系数为　     　．

12．已知圆 的圆心坐标是 ，若直线 与圆 相切于点 ，则圆C的标准方程为　            　.  

13．设 ,则 的最大值为 　     　．  

14．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高二年级3人相邻”，事件的排法为　     　种；在事件“高二年级3人相邻”的前提下，事件“高一年级2人不相邻”的概率为　     　．

15．在平面内，定点，满足，且，则　     　；平面内的动点满足，，则的最大值是　     　．

三、解答题

16．在中，，，.

（1）求AB的长；

（2）求；

（3）求的值.

17．如图，正四棱柱中，且，点分别是的中点．

（1）求直线与直线所成角的正切值；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值；

（3）求点到平面的距离．

18．已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．

19．已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；

（3），求数列的前项和．

20．设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

（1）讨论f(x) 的单调性；

（2）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（3）如果f(x)＞g(x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】D

3．【答案】A

4．【答案】C

5．【答案】D

6．【答案】A

7．【答案】C

8．【答案】B

9．【答案】A

10．【答案】-1

11．【答案】2

12．【答案】

13．【答案】

14．【答案】720；

15．【答案】；

16．【答案】（1）解：由，且可得.

由正弦定理有，得

（2）解：由题意可得

（3）解：由（2），，由二倍角公式可得：，

故

17．【答案】（1）解：依题意，建立上图所示空间直角坐标系，其中D为原点，

DC为y轴，DA为x轴， 为z轴，

各点坐标如下：

，

，

，

（2）解：设平面 的一个法向量为 ，则有 ，

令a=4，则c=1，b=-2，，

设平面 的一个法向量为 ，则 ，

令z=1，则x=0，y=2， ，

，

即平面与平面的夹角的余弦值为

（3）解：计算 与平面的夹角：，

，

∴A点到平面的距离为 ；

综上，CE与 所成角的正切为 ，平面与平面的夹角的余弦值为 ，A点到平面的距离为

18．【答案】（1）解：由题意得：，解得：，

所以椭圆方程为

（2）解：由（1）知：，

当直线的斜率不存在时，，，，

此时，

当直线的斜率存在时，故可设直线为，

联立椭圆方程得：，

设，则，

其中

所以，

其中，

所以，

因为直线PQ为线段MN的垂直平分线，

所以直线PQ：，

令得：，

所以，

故，

因为，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

因为，所以的最小值为2

19．【答案】（1）解：依题有，因为，解得：

．数列是等差数列，设其公差为，，解得：

（2）解：数列与数列都是递增数列， ，

，，

新数列的前50项和为：

（3）解：∵，

设 ，

，

，两式相减有

，

∴.

∴

.

20．【答案】（1）解：

＜0，在内单调递减.

由=0，有.

当时，＜0，单调递减；

当时，＞0，单调递增

（2）证明：令=，则=.

当时，＞0，所以，从而=＞0

（3）解：由（Ⅱ），当时，＞0.

当，时，=.

故当＞在区间内恒成立时，必有.

当时，＞1.

由（Ⅰ）有，从而，

所以此时＞在区间内不恒成立.

当时，令=（）.

当时，=.

因此在区间单调递增.

又因为=0，所以当时，=＞0，即＞恒成立.

综上，