天津市区重点学校2022届高三下学期数学二模试卷及答案

高三下学期数学二模试卷

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．设x，，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

4．耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．直方图中x的值为0.004

B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人

C．估计全校学生的平均成绩为84分

D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

5．设，若，，，则（　　）

A． B． C． D．

6．已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为（　　）

A． B． C． D．

7．如图所示的曲线为函数 （ ， ， ）的部分图象，将 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 ，再将所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（　　） 

A．函数 在 上单调递减

B．点 为 图象的一个对称中心

C．直线 为 图象的一条对称轴

D．函数 在 上单调递增

8．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为A'，若四边形AA'PF的面积为14，且，则抛物线C的方程为（　　）

A． B． C． D．

9．已知函数，当时，函数恰有六个零点，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

10．复数，，若为实数，则　     　．

11．（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=　     　

．

12．在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，则直线的方程为　     　.

13．已知，为正实数，且，则的最小值为　     　.

14．某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是　     　；若用表示抽取的三人中女志愿者的人数，则　     　.

15．如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且.若，则　     　；若，，，则　     　.

三、解答题

16．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）设，.

（i）求的值；

（ii）求的值.

17．如图，在三棱柱中，为等边三角形，过作平面平行于，交于点.

（1）求证：点为的中点；

（2）若四边形是边长为2的正方形，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

18．已知直线 ： 与直线 ： 的距离为 ，椭圆 ： 的离心率为 . 

（1）求椭圆 的标准方程；  

（2）在（1）的条件下，抛物线 ： 的焦点 与点 关于 轴上某点对称，且抛物线 与椭圆 在第四象限交于点 ，过点 作抛物线 的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.  

19．设数列的前项和为，已知，（为常数，，），且成等差数列．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）若数列是首项为1，公比为的等比数列，记，，．证明：．

20．已知为的导函数.

（1）求在的切线方程；

（2）讨论在定义域内的极值；

（3）若在内单调递减，求实数的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】A

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】C

6．【答案】B

7．【答案】D

8．【答案】C

9．【答案】B

10．【答案】-3

11．【答案】2

12．【答案】2x+y=0

13．【答案】

14．【答案】；

15．【答案】；

16．【答案】（1）解：由正弦定理及，

得，

，

∵，

∴，

∵，

∴.

（2）解：由余弦定理，，，

解得.

（ii）解：由，，，所以，

∴，

于是，，

故

17．【答案】（1）证明：连接，设与相交于点，连接，则为中点，

∵平面，平面，平面平面，

∴，

∴为的中点

（2）解：因为，所以，

又，

所以，又，

所以平面，

设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.

则，

即，

设平面的法向量为，

由，得，令，得，

由题可知，平面的一个法向量为可以为，

所以，

所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为

18．【答案】（1）解：两平行直线间的距离 ，∴ ，  

离心率 ，故 ， ，

∴椭圆 的标准方程为

（2）解：由题意，抛物线 焦点为 ，故其方程为 .  

联立方程组 ，解得 或 （舍去），∴ .

设抛物线 在 点处的切线为 ，

联立方程组 ，整理得 ，

由 ，解之得 ，

∴所求的切线方程为 ．

即是 .

令 ，得 ；

令 ，得 .

故所求三角形的面积为 .

19．【答案】（1）解：∵，，∴，

∴．

∵成等差数列，∴，

即，∴．

解得，或（舍去）．

（2）解：∵，，

∴，

∴，

又，∴数列的通项公式是

（3）证明：∵数列是首项为1，公比为的等比数列，∴．

∵，，

∴，                   ①

，                     ②

①式两边乘以得  ③

由②③得

将代入上式，得．

另证： 先用错位相减法求，再验证.

∵数列是首项为1，公比为的等比数列，∴．

又，所以

①

②

将①乘以2得： ③

①－③得： ，

整理得：

将②乘以得： ④

②－④整理得：

∴

20．【答案】（1）解：，，而，

故切线方程为：即.

（2）解：设，其中，

则，

当时，，故在上为减函数，故无极值；

当时，

若，则，故在上为增函数；

若，则，故在上为减函数；

故有极大值其极大值为，无极小值.

（3）解：

因为在内单调递减，则于恒成立，

故在恒成立即.

令，则.

令得，令得，

故在单调递减，单调递增.

所以，故.

所以.