上海市徐汇区2022届高三下学期数学三模试卷及答案

高三下学期数学三模试卷

一、填空题

1．已知复数，（其中为虚数单位），则　     　.

2．已知集合，，则　             　.

3．设等差数列的前n项和为，若，则等于　     　.

4．函数的反函数为，则　     　.

5．已知，则　     　.

6．已知多项式，则　     　.

7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点是抛物线的焦点，直线是该抛物线的准线，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，射线交准线于点，若的“勾”，“股”，则抛物线方程为　        　.

8．某校航模队甲组有10名队员，其中4名女队员，乙组也有10名队员，其中6名女队员.现采用分层抽样（层内采用不放回随机抽样）从甲､乙两组中共抽取4名队员进行技术考核，则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为　     　.

9．设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为　     　.

10．设是直线与圆在第一象限的交点，则　     　.

11．已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是　     　.

12．已知一簇双曲线：，设双曲线的左､右焦点分别为､，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则　     　.

二、单选题

13．已知空间三条直线a､b､m及平面，且a､，条件甲：，；条件乙：，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的（　　）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件

14．函数 图象的大致形状是（　　）  

A． B．

C． D．

15．当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时，该点的坐标是（　　）.

A． B．

C． D．

16．已知函数，，对于不相等的实数、，设，，现有如下命题：

①对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得m=n；②对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，下列判断正确的是（　　）

A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题

三、解答题

17．如图，在正三棱住中，，异面直线与所成角的大小为．

（1）求正三棱柱的体积；

（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）在为锐角的中，角、、的对边分别为、、，若，，且的面积为，求的值.

19． 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

20．已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，的最大值；

（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若､和点共线，求实数的值.

21．记实数、中较小者为，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.

（1）已知数列、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；

（2）已知首项为1，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；

（3）若数列满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有0.

答案解析部分

1．【答案】-1+i

2．【答案】{m｜1＜m＜4}

3．【答案】45

4．【答案】4

5．【答案】

6．【答案】7

7．【答案】

8．【答案】

9．【答案】

10．【答案】2

11．【答案】3

12．【答案】

13．【答案】A

14．【答案】C

15．【答案】B

16．【答案】D

17．【答案】（1）解：异面直线与所成角的大小为，且，

，又，

，即正三棱柱的底面边长为．

．

则

（2）解：在底面三角形中，过作，垂足为，

则为中点，又平面平面，平面平面，所以平面，连接，

则为直线与平面所成角，

因为，，

，

．

即直线与平面所成角的大小为．

18．【答案】（1）解：由图象可知，函数的最小正周期为，.

因为点在函数的图象上，所以，即.

又，则，从而，即.

又点在函数的图象上，所以由，得.

此时，则在附近单调递增，合乎题意，

所以函数的解析式为

（2）解：由，所以，，

因为，

，

，则，所以，或，可得或，

当时，因为，可得.

又因为，所以，

解得；

当时，因为，可得，

因为，所以，

解得.

所以或

19．【答案】（1）解：由条件得，所以2分

，（）．

（2）解：因为，

所以恒成立

恒成立

设，则：

恒成立，

由恒成立得

（时取等号）

恒成立得（时取等号）

所以．

20．【答案】（1）解：由题意得：焦距为，得，

点坐标代入椭圆方程得：，

，解得：，，

所以椭圆的标准方程为

（2）解：设直线的方程为，由

消去可得，

则，即，

设，，则，，

则，

易得当时，，故的最大值为

（3）解：设，，，，

则①，②，

又，所以可设，直线的方程为，

由消去可得，

则，即，

由，及①，代入可得，

又，所以，所以，

同理可得.

故，，

因为､､三点共线，所以.

将点，的坐标代入，通分化简得，即

21．【答案】（1）解：由于，记，

所以，

，

由于，不满足对任意均有，

所以数列不是“趋向递增数列”，

由于，记，

所以，

数列是“趋向递增数列”.

（2）解：.

当时，数列为单调递增数列，此时，满足题意，

当时，数列为常数列，不满足题意；

当时，数列为单调递减数列，此时，不满足题意；

当时，此时，满足题意；

当时，此时，不满足题意；

当时，此时，不满足题意，

综上所述，的取值范围是.

（3）证明：先证必要性：假设存在正整数使得，，

令.

因为、为正实数，且，所以，于是.

则数列从第项开始为：0、、、、、、.

若为奇数，，，

与数列为“趋向递增数列”矛盾：

若为偶数，，，‘’与数列为“趋向递增数列”矛盾，

故假设不成立，所以数列为“趋向递增数列”的必要条件是中没有；

再证非充分：

首先，若中没有0，构造数列：，，，，此时，

，，与“趋向递增数列”定义矛盾；

其次，证明数列中各项均大于0.

下面利用数学归纳法证明.即证：，

①当时，，；

②假设当时，命题成立，即，.

当时，，.

因此，有对任意，均有.

当为偶数时，；

当为奇数时，，

所以对任意均成立.

因此，中没有0是数列为“趋向递增数列”非充分条件.

所以数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有0.