上海市2020-2021学年徐汇区高三数学一模试卷（官方标答）

这是一份上海市2020-2021学年徐汇区高三数学一模试卷（官方标答），共9页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．计算： .
2．已知，，若∥，则＝_________________.
3．不等式的解集为_______________．
4．在的二项展开式中，中间项的系数是___________．
5．设集合，则 .
6．函数，的反函数是__________________．
7. 用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有
__________________项（填多少项即可）．
8． 如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的
母线与底面所成的角的大小是 .
9．小王同学有本不同的数学书，本不同的物理书和本不同的化学书，从中任取本，则这本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）．
10．在中， ，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为____________.
11．已知函数(其中)满足：对任意，有，则的最小值为 .
12．已知双曲线的左右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）. 若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则=___________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知，条件：，条件：，则是的--------------------------（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．若是关于的实系数方程的一根，则等于-------------------（ ）
A. B. C.9 D.
15 ．方程的实数解的个数是-------------------------------------（ ）
A. B. C. D.
16．设是平面直角坐标系上以 、、为顶点的正三角形. 考虑以下五种平面上的变换: ①绕原点作 的逆时针旋转;②绕原点作的逆时针旋转;③关于直线的对称;④关于直线的对称;⑤关于直线的对称. 任选三种变换 (可以相同) 共有 125 种变换方式, 若要使得 变回起始位置(即点、、分别都在原有位置) ，共有（ ）种变换方式？
A.12 B.16 C.20 D. 24
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
F
E
C1
B1
A1
C
B
A
17．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）
如图：在直三棱柱中，，，
，、分别为棱、的中点．
求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
求五棱锥的体积．
18．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
设椭圆（）的两个焦点分别是、，是椭圆上任意一点，△的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆在轴负半轴上的顶点及椭圆右焦点作一直线交椭圆于另一点，
求的大小（结果用反三角函数值表示）．
19. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC， 由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设∠POA=．
（1）用表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到）；
（2）当取何值时，矩形PGBF的面积S最大？并求出最大面积（精确到）．
C
E
A
B
O
D
F
G
P
20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（,3）小题6分）
设表示不小于的最小整数，例如.
(1)解方程；
(2)设，，试分别求出在区间、以及上的值域；
若在区间上的值域为，求集合中的元素的个数；
(3)设实数，，，若对于任意都有，求实数的取值范围.
21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（,3）小题8分）
对于项数为的有限数列，记该数列前项中的最大项为，即；该数列后项中的最小项为，即，().
(1)对于共有四项的数列：，求出相应的；
(2)设为常数，且()，求证：()；
(3)设实数，数列满足，()，若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.
2020学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
数学学科参考答案及评分标准 2020.12
填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分
1． 2．－1或3 3． 4． 5． 6． 7．5 8． 9． 10． 11． 12．
二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）
13．C 14．A 15．B 16．C
解答题：（本大题共5题，满分74分）
17．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）
【解】（1）解法一：连结，则∥，于是（或其补角）
就是异面直线与所成的角， -----------------------------------（2分）
在△中，，，，所以，
所以，．-----------------------------------------------（6分）
所以，异面直线与所成角的大小为．……………（7分）
解法二：以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，
建立空间直角坐标系，则，，，…（2分）
于是，， ………………………（3分）
F
E
C1
B1
A1
C
B
A
设与所夹的角为，则．…（6分）
所以，异面直线与所成的角的大小为
． ……………………（7分）
（2）由于，---10分
又由得，
所以顶点到底面的距离为，-------------------------12分
所以．------------------------------14分
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
【解】 （1）由题意知，椭圆焦点在轴上，
设椭圆的长轴、短轴、焦距的长分别为、、，
则，，， ----------------------------------------------------2分
由已知，，， ----------------------------3分
解得， ……（5 分） 所以所求椭圆的方程为． --------6分
（2）由（1）知，，，所以直线的方程为， ---------8分
由 解得 ，于是，-------------------10分
由于，且，--------------------------------------12分
所以由，得---------------------14分
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
【解】(1)S＝（80-60cs）（80-60sin），，-----------------3分
当矩形PGBF为正方形时，，此时S=1412（）-------6分
(2) S＝3600sincs－4800(sin＋cs)＋6400
＝1800sin2－4800sin(+)＋6400
＝－1800cs(2+)－4800sin(+)＋6400
＝3600 sin (+)－4800sin(+)＋4600，-----------10分
记t＝sin(+)∈[,1],则
对称轴为t＝，∵1－＜－∴t＝即∴＝或时，
C
E
A
B
O
D
F
G
P
（）------------------------------------------------------14分
（注意：若令，则相应给分）
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
【解】(1)由题意得：，解得：.------------------4分
(2)当时，，于是，值域为
当时，，于是或，值域为
当时，，于是或或9，值域为----------------------------------------------------------------------------------------7分
设，当时，，所以的取值范围为
，-----------------------------------------------------------------------------------8分
所以在上的函数值的个数为，-----------------------------------9分
由于区间与的交集为空集，
故中的元素个数为.-----------------------10分
(3) 由于，，因此，当时取等号，即即时，的最大值为，--------------------------12分
由题意得时，恒成立，当时，
恒成立，因为，所以----------------------------14分
当时，恒成立，因为，所以
综合得，实数的取值范围是.----------------------------------------------------16分
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
【解】(1)，，；，，
；，，.-------------------------------------------------------4分
(2)因为，，所以
------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
又因，，
故，即----------------------------------------9分
所以.------------------------------------------------------------------------------------10分
(3)当时，数列是等差数列，此时不满足题意-----------11分
当时，，且
当时，为常数数列，此时亦不满足题意--------------------12分
当时，，此时--13分
由题意得，
由于，而
因此，
故对任意正整数都成立---------------------------------------------15分
所以，--------------------------------------------------------16分
所以
，---------------------------17分
解得：.------------------------------------------------------------------------------------18分