高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案设计，共18页。教案主要包含了第一课时，教学过程，第二课时，第三课时，第四课时等内容，欢迎下载使用。
平面向量的应用

【第一课时】
教学重难点
教学目标
核心素养
向量在平面几何中的应用
会用向量方法解决平面几何中的平行、
垂直、长度、夹角等问题
数学建模、逻辑推理
向量在物理中的应用
会用向量方法解决物理中的速度、力学问题
数学建模、数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
2．如何用向量方法解决物理问题？
二、新知探究
探究点1：
向量在几何中的应用
角度一：平面几何中的垂直问题
例1：如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
证明：法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0．
故⊥，即AF⊥DE．
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），＝（2，1），＝（1，－2）．
因为·＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE．
角度二：平面几何中的平行（或共线）问题
：如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝．求证：点E，O，F在同一直线上．
证明：设＝m，＝n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以＝＋＝＋
＝－m＋（m＋n）＝m＋n，
＝＋＝＋
＝（m＋n）－m＝m＋n．
所以＝．
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
角度三：平面几何中的长度问题
：如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．

用向量方法解决平面几何问题的步骤


向量在物理中的应用
：（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
（2）已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0），求F1，F2分别对质点所做的功．
解：（1）如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12．5．
||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．
（2）设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s．
因为＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．
所以W1＝F1·＝（3，4）·（－13，－15）
＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），
W2＝F2·＝（6，－5）·（－13，－15）
＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．

用向量方法解决物理问题的“三步曲”

三、课堂总结
1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

2．向量在物理学中的应用
（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．
（2）物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ（θ为F与s的夹角）．
四、课堂检测
1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：选B．由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．
所以小船在静水中的速度大小
|v|＝＝2（m/s）．
2．已知三个力f1＝（－2，－1），f2＝（－3，2），f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝（ ）
A．（－1，－2） B．（1，－2）
C．（－1，2） D．（1，2）
解析：选D．由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－（f1＋f2＋f3）＝（1，2）．
3．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB．
证明：设＝λ（λ＞0且λ≠1），因为＝－＝＋－＝＋（－）
＝＋[（－）－（＋）]
＝＋（－）
＝（＋）＝（－λ＋1），
所以∥，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB．
【第二课时】
教学重难点
教学目标
核心素养
余弦定理
了解余弦定理的推导过程
逻辑推理
余弦定理的推论
掌握余弦定理的几种变形公式及应用
数学运算
三角形的元素及解三角形
能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题
数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．余弦定理的内容是什么？
2．余弦定理有哪些推论？
二、新知探究

已知两边及一角解三角形
：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ）
A．4 B．
C． D．2
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（ ）
A． B．
C．2 D．3
解析：（1）因为cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A．
（2）由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A，
因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0，
所以b＝3．故选D．
答案：（1）A
（2）D
互动探究：
变条件：将本例（2）中的条件“a＝，c＝2，cos A＝”改为“a＝2，c＝2，cos A＝”，求b为何值？
解：由余弦定理得：
a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以22＝b2＋（2）2－2×b×2×，
即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4．
规律方法：
解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤
（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．
（2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．
探究点2：
已知三边（三边关系）解三角形
：（1）在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为（ ）
A．90° B．120°
C．135° D．150°
（2）在△ABC中，若（a＋c）（a－c）＝b（b－c），则A等于（ ）
A．90° B．60°
C．120° D．150°
解析：（1）在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝，
所以最大角为B，最小角为A，
所以cos C＝＝＝，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°．故选B．
（2）因为（a＋c）（a－c）＝b（b－c），所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝．因为A∈（0°，180°），所以A＝60°．
答案：（1）B
（2）B

已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．
探究点3：
判断三角形的形状
：在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
解：将已知等式变形为
b2（1－cos2C）＋c2（1－cos2B）＝2bccos Bcos C．
由余弦定理并整理，得
b2＋c2－b2－c2
＝2bc××，
所以b2＋c2＝＝＝a2．
所以A＝90°．所以△ABC是直角三角形．
规律方法：
（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．
②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．
（2）判断三角形时经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2．
②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2．
③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2．
④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝．
三、课堂总结
1．余弦定理
文字语言
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言
a2＝b2＋c2－2bccos_A
b2＝a2＋c2－2accos_B
c2＝a2＋b2－2abcos_C
2．余弦定理的推论
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝．
3．三角形的元素与解三角形
（1）三角形的元素
三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
（2）解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
四、课堂检测
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝（ ）
A．90° B．120°
C．135° D．150°
解析：选B．cos B＝＝＝．
所以B＝60°，所以A＋C＝120°．
2．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选B．因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cosA＝＝，所以A＝60°．
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________．
解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos 60°，
即c2＝a2＋b2－ab．①
又因为（a＋b）2－c2＝4，
所以c2＝a2＋b2＋2ab－4．②
由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝．
答案：
4．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．
解：由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＋c2（c2－a2－b2）＝0，
展开整理得（a2－b2）2＝c4．
所以a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2．
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
【第三课时】
教学重难点
教学目标
核心素养
正弦定理
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦
定理的内容及其证明方法
逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？
2．正弦定理的内容是什么？
二、新知探究

已知两角及一边解三角形
：在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
【解】因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－（A＋C）＝105°．
由＝得a＝＝10×＝10．
因为sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5．

已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．

已知两边及其中一边的对角解三角形
　已知△ABC中的下列条件，解三角形：
（1）a＝10，b＝20，A＝60°；
（2）a＝2，c＝，C＝．
解：（1）因为＝，
所以sin B＝＝＝>1，
所以三角形无解．
（2）因为＝，所以sin A＝＝．
因为c＞a，所以C＞A．所以A＝．
所以B＝，b＝ ＝＝＋1．
互动探究：
变条件：若本例（2）中C＝改为A＝，其他条件不变，求C，B, b．
解：因为＝，所以sin C＝＝．
所以C＝或．
当C＝时，B＝，b＝＝＋1．
当C＝时，B＝，b＝＝－1．

（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：

A为钝角
A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解
a＝b
无解
无解
一解
absin A
两解
a＝bsin A
一解
a