天津市和平区2022届高三下学期数学二模试卷及答案

 高三下学期数学二模试卷

一、单选题

1．已知全集为，集合，集合，则（　　）

A． B．

C． D．

2．设，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

3．函数 的大致图像是（　　）  

A． B．

C． D．

4．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（　　） 

A．6 B．8 C．12 D．18

5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　）

A． B． C． D．

6．已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（　　）

A． B． C．3 D．

7．已知抛物线交双曲线的渐近线于两点（异于坐标原点），双曲线的离心率为的面积为64，则抛物线的焦点坐标为（　　）

A． B． C． D．

8．函数的部分图象如图所示，已知函数在区间有且仅有3个最大值点，则下列说法错误的个数是（　　）

①函数的最小正周期为2：②点为的一个对称中心；③函数的图象向左平移个单位后得到的图象：④函数在区间上是增函数.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．已知函数 满足当 时， ，且当 时， ；当 时， 且 ).若函数 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（　　）  

A． B． C． D．

二、填空题

10．复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为　         　.

11．若展开式中各项系数的和等于64，则展开式中的系数是　     　.

12．设直线与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为　     　

13．已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为　     　．

14．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球､6个白球的甲箱和装有5个红球､5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖：若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖.求顾客抽奖1次能获奖的概率　     　；若某顾客有3次抽奖机会，则该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率　     　.

15．如图.在平面四边形中，，　     　；若点为边上的动点，则的最小值为　     　.

三、解答题

16．在中，角所对的边分别为.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）若，且，三角形的面积，求边的值.

17．如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面.

（1）若点是的中点，求证：平面

（2）求直线与平面所成角的余弦值；

（3）棱上存在点，使得，求平面与平面的夹角的正弦值.

18．已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.

（1）求椭圆C的方程：

（2）设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.

19．已知数列的前n项和为满足.数列满足，且満足

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列满足；求

（3），数列的前项和为，求证：.

20．设为实数，且，已知函数.

（1）当时，曲线的切线方程为，求的值；

（2）求函数的单调区间：

（3）若对任意，函数）有两个不同的零点，求的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】D

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】A

9．【答案】C

10．【答案】（4，3）

11．【答案】135

12．【答案】4π

13．【答案】8

14．【答案】；

15．【答案】2；

16．【答案】（1）解：，

由余弦定理知，即，即，

.

（2）解：，

由正弦定理，得，

即，

，

（3）解：由，，，

由，

，

17．【答案】（1）证明：取的中点为，连接，

在菱形中，因为，则，

而平面，平面，故平面，

由四棱台可得，而，

故，故，故四边形为平行四边形，

故，而平面，平面，故平面，

因为， 平面，平面，

故平面平面，而平面，故平面.

（2）解：

在平面中，过作的垂线，与交于，

因为平面，平面，故，

同理，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

故，

，

故，，所以，

所以，故，

而平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，

则.

（3）解：由可得，

故，而，

设平面的法向量为，

则即，取，则，

故，

结合（2）的平面的一个法向量为，

故，

设平面与平面的夹角为，则.

故平面与平面的夹角的正弦值为.

18．【答案】（1）解：由，

由，

，故，

∴，

∴，

∴，

即椭圆的标准方程为.

（2）解：假设满足条件的直线存在，

当直线的斜率不存在时，不合题意，

不妨设直线：，，，显然 ，

联立，得，

所以，

因为，，得，

即（3），

由（1），（3），得 （4），

将（1）（4）代入（3）得，

所以直线的方程为，

故存在直线，使得与的面积比值为5：7.

19．【答案】（1）解：，时，

时，，

，即，

是以2为首项，2为公比的等比数列，，

由题可知，是首项为2，公差为1的等差数列，

，.

（2）解：，

(i) n为偶数时，

，

(ii) n为奇数时，

，

（3）证明：，

，

(i)右式证明：，

(ii)左式证明：

综上得证.

20．【答案】（1）解：设切点坐标，

切线方程为，即

又曲线的切线方程为

，.

（2）解：，

令，即，又，，所以不等式化为，

当时，不等式恒成立，在R上单调递增，

单调递增区间为，无单调递减区间.

当时，解集为，

时，单调递增；

时，单调递减.

综上，时，的单调递增区间为，

时，的单调递增区间为，

的单调递减区间为.

（3）解：函数有两个不同的零点，，

即，，

即，设，

令当时，在单调递减；

当时，在上单调递增.

又当时，且，

当且仅当时，，即对任意成立，，.