安徽省滁州市定远县九梓学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

2021-2022学年安徽省滁州市定远县九梓学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 要使有意义，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 用配方法解方程时，原方程应变形为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 电影我和我的祖国一上映，第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若增长率记作，方程可以列为(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是，则任意两个格点间的距离不可能是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 在中，三边长分别为、、，且，，则是(    )

A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

6. 五边形中，，如图，、分别平分、，则(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在▱中，对角线，相交于点，是的中点，以下说法错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，分别沿长方形纸片和正方形纸片的对角线，剪开，拼成如图所示的▱，若中间空白部分四边形恰好是正方形，且▱的面积为，则正方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 我校参加“诗词大赛”的位选手成绩统计如下表，成绩在分的为优秀，则优秀的频率是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 甲、乙、丙、丁四人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 函数中，自变量的取值范围是______．
12. 如图，某生物兴趣小组要在长米、宽米的矩形园地种植蔬菜，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为平方米，则小路的宽为______米．
13. 如图，正方形的边长是，的平分线交于点，若点，分别是和上的动点，则的最小值是______．

14. 已知一组数据、、、、的方差为，则新的数据、、、、的方差是______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    观察下列等式，解答下面的问题：
    ；
    请直接写出第个等式是：______不用化简；
    根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并给予证明；
    利用的结论计算．
16. 本小题分
    已知关于的方程．
    若方程总有两个不相等的实数根，求的取值范围；
    若两实数根，满足，求的值．
17. 本小题分
    在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为，正方形的顶点称为格点．
    
    在图中，以格点为顶点画，使三边长分别为、、；
    如图，各顶点均在格点上，求的面积和点到的距离；
    在图中，以格点为顶点画直角边长为无理数的等腰直角三角形，并说明理由．
18. 本小题分
    在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：
    结论：若实数时，；结论：对于任意实数，．
    请根据上面的结论，对下列问题进行探索：
    若，化简：．
    若，，且，求的值．
    若有意义，化简．
19. 本小题分
    如图，在中，，于点，，分别交，于点、，连接．
    判断的形状，并说明理由；
    若，求证：．

20. 本小题分
    一款服装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件．
    每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利元．
    商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．
21. 本小题分
    为了了解某小区居民用水情况，从该小区的、两幢楼中各随机抽取户的五月份用水量，并将所得用水量数据分成五组，如下表所示：

将收集的数据进行整理、分析后，得到如下信息：
楼户居民用水量的频数分布直方图如下图．
楼第三组数据单位：立方米是：，，，，，，，；
已知、两幢楼的样本数据的平均数和中位数如下表．

根据以上信息，解答下列问题：
表格中的______；
若楼的样本数据中高于其平均数的有个，楼的样本数据中高于其平均数的有个，请比较、的大小；并说明理由；
若楼共有户居民、若楼共有户居民，则这两幢楼平均每户的用水量约是多少立方米？

22. 本小题分
    如图，已知，，是的中线，且交于点是的重心，为中点，为的中点．
    求证：四边形为平行四边形；
    若，，，求的面积．
    若四边形为菱形，求证；．

23. 本小题分
    如图正方形，点、、分别在、、上，与相交于点．
    如图，当，
    求证：；
    平移图中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图，求证：；
    如图，当，边长，，则的长为______直接写出结果
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
方程常数项移到右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后变形即可得到结果．
【解答】
解：方程移项得：，
配方得：，
即．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
设平均每天票房的增长率为，根据三天后累计票房收入达亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在的正方形网格中，若小正方形的边长是，
任意两个格点间的距离有，，，，，，，，
故任意两个格点间的距离不可能是，
故选：．
根据勾股定理即可得到答案．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
是直角三角形．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可．
此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
 

6.【答案】 

【解析】解：在五边形中，，
，
又、分别平分、，
，
中，．
故答案为：．
先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数．
本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和且为整数．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
又点是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
选项A、、C正确；
，
，
选项D错误；
故选：．
由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、、C正确；由得出，，选项D错误；即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，设，正方形的边长为．

由题意：，
，
正方形的面积，
故选：．
如图，设，正方形的边长为，构建方程即可解决问题；
本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由表格中数据可得，优秀的频率是：．
故选：．
直接利用表格得出频数总数频率，进而得出答案．
此题主要考查了频数与频率，利用表格获取正确信息是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
射击成绩最稳定的是甲，
故选：．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

11.【答案】且 

【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：小路的宽为米．
由题意可得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：小路的宽为米，
故答案为：．
根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为米，宽为米，然后根据长方形的面积长宽，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是把原图形可以与平移后的图形建立关系，将复杂问题简单化．
 

13.【答案】 

【解析】解：过关于的对称点，交于点，再过作于，
，
，
，，
≌，
是关于的对称点，，
即为的最小值，
四边形是正方形，
，
，
在中，
，，
，
，即，
，即的最小值为．
故答案为：；
过作的垂线交于，交于，再过作，由角平分线的性质可得出是关于的对称点，进而可知即为的最小值；
本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、作图与基本作图等知识点的应用，解此题的关键是根据轴对称的性质找出点，题型较好，难度较大．
 

14.【答案】 

【解析】解：数据、、、、的方差是，
数据、、、、的方差是．
故答案为：．
根据方差的变化规律即可得出答案，即当数据都减去一个数时，方差不变，当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍．
本题考查了方差，当数据都加上一个数或减去一个数时，方差不变，即数据的波动情况不变；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍．
 

15.【答案】 

【解析】解：第个等式：；
故答案为：；
第个等式为：为正整数，
证明：左边，
为正整数，
左边右边，
猜想成立；



．
从数字找规律，即可解答；
从数字找规律，可得第个等式为：为正整数，然后再化简等式的左边，即可解答；
利用的结论，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，规律型：数字变化类，从数字找规律是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
方程总有两个不相等的实数根，
，
．
由，
，，
原式，
整理得，
解得或．
，
故的值为． 

【解析】由方程求出判别式即可．
由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
 

17.【答案】解：如图中，即为所求；

设点到的距离为．
，，
，
；
如图中，即为所求答案不唯一． 

【解析】利用数形结合的思想画出图形即可；
设点到的距离为路面积法构建方程求解；
根据等腰直角三角形的定义画出图形答案不唯一．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

18.【答案】解：，
，，



；

，
，
，
，
，
，
，或，，
当，时，则，
当，时，则，
；

有意义，
，
，
，

． 

【解析】先根据二次根式的性质和绝对值进行计算，再算加减即可；
先根据二次根式的性质和绝对值求出、的值，再求出的值即可；
根据二次根式的性质得出，求出，再进行化简即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
 

19.【答案】解：为等腰直角三角形．
理由：，，
，
垂直平分，
，
，
，
为等腰直角三角形；
证明：在上取一点，使，连接，

在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
中，由勾股定理得：，
． 

【解析】先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论；
如图，作辅助线，构建全等三角形，证明≌，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．
 

20.【答案】解：设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又需要让利于顾客，
．
答：每件服装降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元．
商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
，
此方程无解，
即不可能每天盈利元． 

【解析】设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价元；
商家不能达到平均每天盈利元，设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 

21.【答案】 

【解析】解：楼户居民用水量从小到大排列，排在第位的数是立方米，故中位数，
故答案为：；
楼的样本数据中高于其平均数的有户，故；
因为楼的平均数为，中位数为，所以楼的样本数据中高于其平均数不少于户，即，
故；
立方米，
答：这两幢楼平均每户的用水量约是立方米．
利用中位数的定义解答即可；
根据平均数和中位数的意义解答即可；
利用样本估计总体以及加权平均数求解即可．
本题考查用样本估计总体、频数分布直方图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：、为中线，
，，
，，
，分别是，的中点，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形；
解：为的中点，为的中点，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
证明：四边形为菱形，
，
，
，，，
，
即，
，
． 

【解析】利用三角形中位线定理得出，，进而得出四边形是平行四边形；
证明，由三角形面积公式求出，则可求出答案；
由菱形的性质得出，则，由勾股定理可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确利用三角形中位线定理及平行四边形的性质是解题关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于点，如图，
四边形是正方形，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
在上截取，如图，
则是等腰直角三角形，，
由知，≌，
，
，，
，
，
，
，
即；
如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
即，
设，则，
在中，，
解得：，
．
故答案为：．
过点作交的延长线于点，如图，可证得四边形是平行四边形，进而可证≌，即可证得结论；
在上截取，如图，则是等腰直角三角形，，由≌，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论；
如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明≌，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．