2021-2022学年辽宁省营口市普通高中高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年辽宁省营口市普通高中高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 等比数列中，已知：，则公比(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设和是两个集合，定义集合或，如果，那么(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知正数，满足：，则下列关系式恒成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 函数在区间上的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知函数，，对于任意，存在有，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有(    )

A. 函数为非奇非偶函数
B. 函数的定义域为
C. 的单调递增区间为
D. 若，则

10. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，已知的定义域为，值域为，的定义域为则(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知，函数的导函数为下列说法正确的是(    )

A.  B. 单调递增区间为
C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解

12. 已知函数，若实数，圴大于满足，则下列说法正确的是(    )

A. 函数在上单调递减 B. 函数的图象关于中心对称
C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，，三个数成等差数列，函数的图像过定点，函数的图像经过点，则函数的定义域为______．
14. 已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，都有，则实数的取值范围为______．
15. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，则______．
16. 函数在内满足为偶函数．且当时函数则当时，方程所有根的和为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，．
    若，求实数的取值范围；
    若命题：“，使得”是假命题，求实数的取值范围．
18. 大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了个样品，测量每个零件的横截面积单位：和耗材量单位：，得到如下数据：

并计算得，，．
估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；
求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数精确到；
刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．
附：参考公式和数据：相关系数．；．

19. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速经多次测试得到该汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如表所示：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
；；．
当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型需说明理由，并求出相应的函数解析式；
现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

20. 设数列的前项和为，且满足．
    求数列的通项公式；
    若，求数列的前项的和．
21. 已知函数．
    若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
    若对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数的取值范围．
22. 已知函数其中为参数．
    求函数的单调区间；
    若对，恒成立，求函数的取值集合；
    证明：其中，为自然对数的底数．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，
，，
，可得，
公比，
故选：．
列出关于首项和公比的等式求解即可．
本题考查等比数列的通项公式的应用，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，，
那么．
故选：．
先求出集合，，然后结合已知定义即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了集合的运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，函数在上单调递减，
，，
对于，取，，则，故A错误，
对于，取，，则，故B错误，
对于，取，则，故C错误，
对于，因为函数在上单调递增，所以，故D正确，
故选：．
由对数函数的单调性可知，由正弦函数的性质可知A错误，由不等式的性质可知BC错误，由函数的单调性可知D正确．
本题主要考查了对数函数的单调性，考查了不等式的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以，
又恒成立，所以．
故选：．
利用“乘法”，可得，从而得解．
本题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式中的“乘法”是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
若，则，则，不符合题意；
故，，
所以，．
故选：．
由已知结合可求，代入已知函数解析式即可求解．
本题主要考查了分段函数中函数值的求解，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，，其定义域为，
，为偶函数，排除，
当时，，排除，
故选：．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除，再分析函数的变化趋势，排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值的计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为对于任意，存在有，
所以，
函数在上为单调递增函数，
所以，
因为，
令，
则，
所以，
则，
所以，解得，
则实数的取值范围是．
故选：．
将问题转化为然后利用函数的单调性以及二次函数的性质，分别求解和在各自区间上的最小值，得到不等式，求解即可．
本题考查了不等式恒成立问题，函数最值的求解，函数单调性的判断与应用，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数的导数为：
，
则时，，递增，
且，
则为偶函数，即有，
则不等式，即为
即为，
则，即，解得，．
故选：．
求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为即为，则，运用对数函数的单调性，即可得到解集．
本题考查函数的单调性和奇偶性的运用：解不等式，考查导数的运用：判断单调性，考查对数不等式的解法，属于中档题和易错题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，则，解得，
故，函数的定义域是，函数是非奇非偶函数，故A正确，B错误，
且在为增函数，故C正确；
因为函数是凸函数，所以对定义域内任意，都有，故D错误，
故选：．
求出函数的解析式，根据幂函数的性质分别判断即可．
本题主要考查了幂函数的解析式，定义域与单调性，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
故，或，C正确，D错误；
因为，，
则，A正确；，B错误．
故选：．
由已知先求出，，然后结合集合的交并运算及对数的运算性质分别检验各选项即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了集合的交并运算，还考查了对数的运算性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意知：，
所以，A正确；
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，B错误；
的极大值为，C正确；
方程等价于，
易知函数与函数有且只有一个交点，即方程有且只有一个解，D错误；
故选：．
求出：，则可知，在上单调递增，在上单调递减，的极大值为；方程等价于，易知函数与函数有且只有一个交点，由此即可选出答案．
本题考查了导数的综合运用，也考查了转化思想，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，，
在上恒成立，
定义域为，即的定义域关于原点对称，
，
为奇函数，
函数的图象关于点中心对称，
在上单调递增，
函数在上单调递增，
函数在上单调递增，故A错误；
对于，，
，
函数的图像关于点中心对称，故B正确；
对于，函数的图象关于点中心对称，
，，
，，
相当于向右平移个单位，
和单调性相同，
函数在上单调递增，，，
，故C错误；
对于，令，
，
令，则，
在上单调递增，
，
，
在上单调递减，
，
，
，故D正确；
故选：．
：求定义域和奇偶性，根据复合函数单调性即可判断单调性；
：向右平移一个单位得到，据此即可判断对称中心；
：根据关于对称，化简，再结合单调性得与的大小关系和范围，由此可判断和的大小关系；
：构造函数，利用导数判断其单调性即可判断．
本题考查命题的判断，函数的性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，，成等差数列，所以，
所以，当时，，
所以函数的图像过定点，
所以，解得，
所以，
令，则
所以函数的定义域为．
故答案为：．
由等差中项可得，，的关系，从而可以确定的坐标，再将的坐标代入函数即可得到定义域范围．
本题考查数列的函数的特性，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：二次函数图象的对称轴为直线，
任意，且，都有，
在区间上是单调函数，
或，
或，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
求出二次函数的对称轴，利用已知条件，说明区间是单调区间，列出不等式求解即可．
本题考查二次函数的图像与性质，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：已知，，
则，
两边同乘以得，，
，
则，
．
故答案为：．
由已知数列递推式可得，进一步得到，再由裂项相消法求和，即可求得结论．
本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前项和，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为为偶函数，
所以，即函数关于对称，
又，，
即函数关于对称，
当时，，
作出函数与的图像如下：
则由图可得当时，两函数图像共有个交点，且两两关于对称，
所以方程所以根的和为，
故答案为：．
由图可得函数和都关于对称，画出函数的大致图象，数形结合即可求得答案．
本题考查函数图像交点个数的求解，涉及转化思想，数形结合思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：，恒成立，
，即，解得，
实数的取值范围为；
命题：“，使得”是假命题，
，
，
，
，解得．
实数的取值范围为． 

【解析】恒成立，即，求解即可；
根据命题：“，使得”是假命题，得到，进而求解即可．
本题考查命题的判断，解不等式求参数范围，属于中档题．
 

18.【答案】解：样本中个这种零件的横截面积的平均值，
样本中个这种零件的耗材量的平均值，
由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为，
平均一个零件的耗材量为；

；
设这种零件的总耗材量的估计值为，
又已知这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，
，解得，
故这种零件的总耗材量的估计值为． 

【解析】由已知直接利用平均数公式求解；直接利用相关系数公式求解；利用这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比列式求解．
本题考查平均数与相关系数的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】解：对于，当时，它无意义，故不符合题意，
对于，该函数为减函数，故不符合题意，
故选，
由表中数据可得，，解得，
．
高速路段长，所用时间为，
则所耗电量为，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
，
国道路段，所用时间为，
则所耗电量为，
，当时，，
当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从地行驶到地的总耗电量最少，最少为． 

【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对勾函数和二次函数的性质，属于中档题．
对于，当时，它无意义，故不符合题意；对于，该函数为减函数，故不符合题意，故选，再利用待定系数法即可求解．
根据已知条件，结合对勾函数的性质，以及二次函数的性质即可求解．
 

20.【答案】解：由，
当时，，解得，
当时，，即，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
即；
当为奇数时，，当为偶数时，，
则数列的前项的和为． 

【解析】由可得：，则数列是以为首项，为公比的等比数列，然后求解即可；
当为奇数时，，当为偶数时，，然后分组求和：求解即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了分组求和法，属基础题．
 

21.【答案】解：，因为，所以，
所以等价于，即
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，
即实数的取值范围是．
，令，则，
由题意不妨设，则对任意的，，恒成立，
当时，，则，解得；
当时，，，符合题意；
当时，，，解得，
综上，的取值范围是． 

【解析】由指数函数的性质判断分母大于，从而将不等式恒成立问题转化为，由参变量分离法即可求解的取值范围；
化简，令，则，将已知条件转化为对任意的，，恒成立，讨论与的大小，求出的值域，从而可得的不等式，求解即可．
本题主要考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为函数，定义域为，所以．
当时，，在定义域上递增；
当时，令，得，当时，，函数在上递减；
当时，，函数在上递增；
所以当时，函数的单调递增区间时，无递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，减区间为．
当时，在上递增，又，当时，，所以不成立．
当时，由得，因为对于任意定义域内的都有恒成立，所以．
令，则，令，解得．
当时，，当时，，所以的取值集合为．
证明：由知：，，令，，则，
即，则，所以．
由知：，，令，，则，
即，则，所以．
故问题得证． 

【解析】对求导，讨论不同取值范围时的符号，从而确定单调性即可．
若对，恒成立，只需恒成立即可．
分两段证明不等式即可．
本题主要考查函数的导数的综合应用，属于难题．