2021-2022学年辽宁省县级重点高中协作体高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年辽宁省县级重点高中协作体高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共24分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 命题“”的否定是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列式子恒成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列函数中，定义域为，又是上的增函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 函数的图像大致是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 关于的方程有两个正根，，下列结论错误的是(    )

A.
B.
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是

二、多选题（本大题共4小题，共12分）

9. 已知是数列的前项和，，则(    )

A. 是等比数列 B.
C.  D.

10. 已知函数的定义域是，且，，当时，有四个零点，，，，则(    )

A. ，，，成等比数列 B.
C.  D.

11. 已知的角，，所对边长分别为，，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，则(    )

A. 是上的减函数
B. 是上的增函数
C. 是上的偶函数
D. 不等式的解集是

三、填空题（本大题共4小题，共12分）

13. 已知，是函数图像上两点，则直线的斜率 ______选填“”，““之一
14. 过点且与曲线相切的直线方程是______．
15. 汉代大将韩信集合部队欲知部队总人数，只要求部下先后按报数，再报告一下每次报的余数．这种算法，称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称韩信点兵，被誉为中国剩余定理，剩余定理是等差数列的应用．明代数学家程大位用诗歌揭示了鬼谷算：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知．即用除所得余数乘以，加上用除所得余数乘以，再加上用除所得余数乘以，就是所得数，若结果大于则减去的倍数．如，则的鬼谷算式子为写出的鬼谷算式子：______．
16. 若实数，满足，则的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 已知是等差数列前项和，，．
    求的通项公式；
    在中，去掉以为首项，以为公比的数列的项，剩下的项按原来顺序构成的数列记为，求前项和．
19. 已知函数．
    讨论的零点个数；
    若关于的方程有两个根，求函数的最小值．
20. 已知是数列的前项，．
    设，求数列与的通项公式．
    证明：．
21. 已知函数．
    判断函数的奇偶性；
    若实数满足，求的取值范围．
22. 已知函数．
    当时，讨论的单调性；
    当时，若，为的两极值点，且，求正数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
由交集定义，得．
故选：．
求出集合，利用交集的定义、不等式的性质求出．
本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“”的否定是“”，
故选：．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解．
本题考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于选项：只有当时，才成立，所以A错误．
对于选项：对一切实数，，恒成立，所以B正确．
对于选项：只有在时，才成立，所以C错误．
对于选项：只有当时，才成立，所以D错误．
故选：．
对于选项直接判断即可，对于选项根据指数的运算法则可以判断，对于选项根据定义域判断即可，对于选项判断当时不成立．
本题主要考查指数对数的运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数的定义域为，又是上的增函数，符合题意；
对于，是指数函数，定义域为，当在上的减函数，不符合题意；
对于，是幂函数，其定义域是，不符合题意；
对于，是二次函数，在上单调递减，不符合题意；
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和定义域，即可得答案．
本题考查函数的单调性和定义域，注意常见函数的单调性和定义域，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，两式作差得，
第一个式子乘以，与第二个式子作差得，
可得．
故选：．
由已知两等式分别消去与，得到与的值，作比得答案．
本题考查简单的线性规划，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，，
．
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，，其定义域为，
又，
所以是奇函数，排除，
因为，所以排除．
故选：．
根据题意，先判断函数的奇偶性，排除，结合函数的解析式求出的值，排除，即可得答案．
本题考查函数的图象的判断，涉及函数奇偶性，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：有两不相等实数根，
，解得，或．
，，，，
的取值范围为．
，．
，，，故AB都正确．
，
的取值范围是，故C正确，D错误，
故选：．
利用根的判别式求出的取值范围，进而求出，，判断；由，得到的取值范围，判断．
本题考查一元二次方程的根的分布、根的判别式、韦达定理、函数的零点与方程的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，当时，，
，，即，
是以为首项，以为公比的等比数列，，A正确．
，B正确．
，C错误．
，D错误．
故选：．
理由数列的递推公式求得，再逐项进行分析即可．
本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数的定义域是，且，，
偶函数，又当时，，函数的图像如图所示，
选项A，由，，，，
，，不成等比数列，选项A错误，
选项B，，，，选项B正确，
选项C，，选项C正确，
选项D，，，，，即，选项D正确，
故选：．
根据函数偶函数作出函数的图像，结合图像判断各选项．
本题以对数函数为载体，考查了函数的性质，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，，．
，，故A正确．
，，
当时，，此时，B错误．
又，
，，C正确，D错误可用，，判断D错误．
故选：．
在中结合边角关系及不等式的基本性质，进行判断即可．
本题考查不等式的性质，考查学生的运算能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，其导数，
在区间上，有，则是上的减函数，故A正确；
对于，，其导数，则是上的增函数，B正确；
对于，，其定义域为，
又由，为奇函数，C错误；
对于，不等式等价于，
又由为上的增函数，且为奇函数，则有，必有，
解可得，即不等式的解集是，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性．单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为是上的增函数，所以时，或者时，
所以，
故答案为：．
根据函数的单调性定义可得答案．
本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知切点坐标为，
由得，
切线的斜率为，
切线方程为，
即，
故答案为：．
求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．
本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，由鬼谷算得．
故答案为：．
根据归纳推理进行分析即可．
本题考查归纳推理，考查学生的推理能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
设，则，
，
，等号在，即，或时成立．
的最小值为．
故答案为：．
由题意设，则，可得，化简所求利用基本不等式即可求解．
本题考查了基本不等式及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：


．





． 

【解析】利用有理指数幂的运算法则计算即可；
利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
本题考查了有理指数幂的运算，以及对数的运算性质，属于基础题．
 

18.【答案】解：是等差数列，，，
，，解得，，
设数列的公差为，则，
，即．
设以为首项，为公比的数列为，数列的前项和为，
由知，，，
，，，
． 

【解析】根据等差数列的通项公式与前项和公式可求得数列的公差，再由，得解；
设以为首项，为公比的数列为，数列的前项和为，根据等比数列的通项公式与前项和公式，写出与，通过比较其中某些项的大小后，再由，得解．
本题考查数列的求和，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由知，零点个数与的零点个数相同．
由于，且，所以若，则，单调递增；
若，则，单调递减．，
，
，没有零点．所以没有零点或零点个数为．
有两个根，曲线与直线有两个交点．
，，且，根据，．
，，
，
令得，．
设，
则，
在上单调递增．当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
所以，． 

【解析】零点个数与的零点个数相同，利用导数求出的极大值可得答案；
转化为曲线与直线有两个交点，可得，求出，令得，设，利用导数可得极小值．
本题考查利用导数求函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
当时，，
，
即．
，，．
由条件知，，．
是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，，
，是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，，即．
证明：由得，．
，
，
两式相减得，，
，
解得．
所以，． 

【解析】由得，两式相减可得，再利用构造法可得，再由等差数列定义可得答案；
由得，由错位相减求和可得答案．
本题考查数列的递推式及数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，定义域关于原点对称，
当时，，；
当时，，；
所以，是奇函数．
当时，，由得，
，即，
，解得，或，．
当时，，由得，
，即，解得．
当时，，
所以在上单调递减，
是奇函数，在上单调递减．
当时，，；
当时，，．
综上所述，的取值范围是． 

【解析】根据奇偶性的定义判断即可；
根据的取值范围不同分情况讨论，再利用函数的单调性比较大小即可．
本题考查的知识点是分段函数的应用，复合函数的奇偶性、单调性，是中档题．
 

22.【答案】解：由得．
当时，的解集为，
的解集为，
当时，的解集为，
的解集为，或，
所以，当时，是上的增函数，是上的减函数，
当时，是上的增函数，是，上的减函数．
，
当，或时，，
当时，，
，
两极值点为，，
，
设，则，
令，则，
当时，，
是上的增函数，
当时，，
，是上的增函数，
由条件得恒成立，
恒成立，即恒成立．
，，
，
，
，
设，
，
若，则，单调递增，
若，则，单调递减，
，，
所以，正数的取值范围是． 

【解析】由得求导得，分两种情况：当时，当时，的正负，即可得出答案．
分析的正负，进而可得单调性，极值点为，，则，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．