2021-2022学年陕西省榆林市靖边县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市靖边县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下面四个图形体现了中华民族的传统文化．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 要使分式的值为，则(    )

A.  B.  C. 或 D.

3. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，以点为中心，把逆时针旋转，得到点、的对应点分别为点、，连接，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列结论中，正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，则，
C. 若，，则 D. 若，则

6. 代数式，，中的公因式是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，中，，，，点、、分别是、、的中点，则四边形的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，则下列结论：
   平分；
   平分；
   ；
   ．
   其中正确结论的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 分解因式：______．
10. 若一个多边形的内角和比外角和大，则这个多边形的边数为______．
11. 如图，在中，点是边，垂直平分线的交点，连接，若，则的度数为______．

12. 如图，已知一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为______．

13. 如图，平行四边形中，，，是边上且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值______．

三、解答题（本大题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 分解因式：．
15. 解不等式，并写出它的所有非负整数解．
16. 化简：
17. 如图，已知四边形是平行四边形，请用尺规作图法，在上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法

18. 如图，在▱中，，，垂足分别为、，求证：．

19. 学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，甲种书柜每个的价格是元，乙种书柜每个的价格是元．若我校计划购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金元，最少购买几个甲种书柜？
20. 小红从批发市场购进、两种材料用于手工制作，进行“爱心义卖”若每个种材料的进价比每个种材料的进价少元，且用元购进种材料的数量与用元购进种材料的数量相等．求，两种材料单个的进价．
21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，
    将经过平移得到，若点的对应点的坐标为，画出，直接写出，的坐标______，______，______，______；
    画出与关于原点成中心对称的；
    若与是中心对称图形．则对称中心的坐标为______，______

22. 如图，在中，是边上的中线，，，交的延长线于点，，．
    求的长；
    求证：垂直平分．

23. 近年来，电商平台直播带货成了火热的一个新兴职业．“大促”期间，某直播销售员销售一种童装，这种童装的进价为每套元，若按原标价销售，则每周销售额为元；若按原标价的八五折销售，则每周多卖出套，且销售额还增加元．
    求每套童装的原标价为多少元；
    若按原标价的九折销售，该直播销售员想要每周获利不低于元，求该直播销售员每周至少需卖出这种童装多少套？
24. 如图，在▱中，是的中点，延长到点，使，连结，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，求的长．

25. “双减”政策受到各地教育部门积极响应，某校为加强学生体育锻炼，决定购买羽毛球和羽毛球拍．甲、乙两家体育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价元，羽毛球拍每副定价元．现两家商店都搞促销活动：甲店每买一副球拍赠个羽毛球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍副，羽毛球个．
    若在甲店购买付款元，在乙店购买付款元，分别写出、与的函数关系式；
    请问该班在哪个商店购买更省钱？
26. 【问题提出】
    如图，点为线段外一动点，且，当线段的长取得最大值时，的长度为
    ______；用含，的式子表示
    【问题探究】
    如图，点为线段外一动点，且，，分别以，为边作等边三角形和等边三角形，连接，．
    请找出图中与相等的线段，并说明理由；
    求线段长的最大值；
    【问题解决】
    如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，请求出线段长的最大值及此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得：，
故选：．
根据分式值为零的条件列式求解．
本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件分子为零，且分母不等于零是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由解得，
由解得，
不等式的解集是，
在数轴上表示如图，
故选：．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

4.【答案】 

【解析】解：逆时针旋转，得到，
，，
，
，
，
，
故选：．
由逆时针旋转，得到，可得，，即得，而，得，从而．
本题考查三角形中的旋转变换，涉及平行线的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项，当时不成立，故该选项不符合题意；
选项，也可能是，，故该选项不符合题意；
选项，若，，则，故该选项符合题意；
选项，当时不成立，故该选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的基本性质判断，选项；根据有理数的乘法法则判断，选项．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：代数式，，中的公因式是．
故选：．
根据公因式的概念解答即可．
此题考查的是公因式，多项式中，各项都含有一个公共的因式，因式叫做这个多项式各项的公因式．
 

7.【答案】 

【解析】解：点、、分别是、、的中点，
，，，，
四边形的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理、线段中点的性质得到，，，，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平分，正确；
，，
，
平分，正确；
，
，
，
，
，
正确；
，，
点一定在的垂直平分线上，即垂直平分，
，故正确．
故选：．
分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解因式．平方差公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后需要进行二次分解因式．
 

10.【答案】五 

【解析】解：设多边形的边数是，
根据题意得，，
解得，
故答案为：五．
根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，延长交于，
，
点是，的垂直平分线的交点，
，
，，
，
故答案为：．
连接，延长交于，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出．
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，
当时，，
所以，关于的不等式的解集为，
故答案为：．
一次函数的图象经过点，根据函数的图象即可写出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点连接，，，作交的延长线于，

，
，，
点是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
易证≌，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
，，
易证≌，
，
，
在中，，，，
，，
在中，，
，
的最小值为，
故答案为：．
如图，取的中点连接，，，作交的延长线于利用全等三角形的性质证明，点的运动轨迹是射线，由“”可证≌，可得，推出，求出即可解决问题．
本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】解：，
，
． 

【解析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

15.【答案】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
该不等式的非负整数解为：，． 

【解析】按照解不等式的基本步骤依次去分母、移项、合并同类项、系数化为可得不等式的解集，根据解集确定其非负整数解即可．
本题主要考查解不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是解题的关键和基本素质．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，，
≌，
． 

【解析】证出，，由证≌即可得到结论．
此题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：设计划购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，依题意得：
，
解得：，
即最少购买个甲种书柜． 

【解析】设计划购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，根据“购进乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出答案．
本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

20.【答案】解：设每个种材料单个的进价为元，则每个种材料单个的进价为元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：每个种材料单个的进价为元，每个种材料单个的进价为元． 

【解析】设每个种材料单个的进价为元，则每个种材料单个的进价为元，由题意：用元购进种材料的数量与用元购进种材料的数量相等，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
 

21.【答案】           

【解析】解：如图，即为所求．
点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：；；；．
如图，即为所求．

由图可得，与的对称中心为点．
故答案为：；．
由的坐标可知，是向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，即可得出答案．
根据中心对称的性质作图即可．
由图可得与的对称中心为点．
本题考查作图平移变换、中心对称，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：是边上的中线，
，
，
，
是的中位线，
，
的长为；
证明：，
，，
，
，
，
，
，
，
垂直平分． 

【解析】根据三角形的中线定义可得，从而利用平行线分线段成比例可得，进而可得是的中位线，然后利用三角形的中位线定理，进行计算即可解答；
根据平行线的性质可得，，从而结合已知可得，进而可得，然后利用等量代换可得，从而利用等腰三角形的性质，即可解答．
本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的角平分线，高和中线，熟练掌握三角形的中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：设每套童装的原标价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每套童装的原标价为元．
设该直播销售员每周销售这种童装套，
依题意得：，
解得：．
答：该直播销售员每周至少需卖出这种童装套． 

【解析】设每套童装的原标价为元，利用数量总价单价，结合打折后比打折前每周多卖出套，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设该直播销售员每周销售这种童装套，利用每周销售这种童装获得的利润每套的销售利润每周的销售量，结合每周销售这种童装获得的利润不低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，且，
是的中点，
．
又，
，
，
四边形是平行四边形；
解：如图，过点作于点．
在▱中，，，
．
，，
，，
在中，，
，
，
由可知，四边形是平行四边形，
，则，
在中，根据勾股定理得：． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，且，再证，然后根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
过点作于点解直角三角形得到，，再根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意可得，
，
，
即，；
，
解得：，
时，在甲乙商店购买一样合算，
，
解得，
时，在甲商店购买合算，
，
解得，
时，在乙商店购买合算；
综上所述：时，在甲商店购买合算，时，在甲乙商店购买一样合算，时，在乙商店购买合算． 

【解析】根据题意，可以写出、与的函数关系式；
根据得出的关系式，列方程、不等式，即可解得出答案．
此题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解两家商店的优惠条件，能用代数式表示甲店的费用和乙店的费用．
 

26.【答案】 

【解析】解：点为线段外一动点，且，，
当点位于的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为，
故答案为：；

，
理由：与是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
≌，
；

是等边三角形，
，
线段长的最大值线段的最大值，
由知，当线段的长取得最大值时，点在的延长线上，
最大值为；

如图中，连接，
将绕着点顺时针旋转得到，连接，则是等腰直角三角形，
，，
的坐标为，点的坐标为，
，，
，
线段长的最大值线段长的最大值，
当在线段的延长线时，线段取得最大值，其最大值，
，
的最大值为；
如图，过作轴于，
是等腰直角三角形，
，
，
，的最大值为．
根据点位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可得到结论；
根据等边三角形的性质得到，，，推出≌，根据全等三角形的性质得到；
由于线段长的最大值线段的最大值，根据中的结论即可得到结果；
连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，，根据当在线段的延长线时，线段取得最大值，即可得到最大值为；过作轴于，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．