小学奥数专题练习：数论（二）

小学奥数专题练习：数论（二）

一、单选题

1．马拉松长跑比赛中有100个运动员。分别给他们1~100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（　　）名。

A．19 B．20 C．18 D．21

2．用0，3，4，5四个数字组成的所有四位数都能被（　　）整除．

A．2 B．3 C．5

3．一个三位数，三个数字的和是27，这个三位数是（　　）

A．999 B．888 C．998

4．有数字5，9，17的卡片各10张，合计30张．现在从这30张中适当选出9张，则它们和的是（　　）

A．90 B．95 C．100 D．105

5．已知a、b、c都是整数，则下列三个数 中，整数的个数为（　　）

A．至少有一个 B．仅有一个 C．至少有二个

6．24的约数一共有（　　）个．

A．10 B．8 C．6 D．4

7．四位数2013的各位数字和为6，且各位数字均不相同．在具有这些性质的四位数中，按由小到大顺序排列，2013是第（　　）个．

A．5 B．6 C．7 D．8

8．既能被6整除，又能被9整除的数，它能不能被54整除（　　）

A．一定能 B．不一定能

C．一定不能 D．上说法都不正确

9．有1，2，4，5，7克的砝码各一个，丢失了其中一个砝码，结果天平无法称出10克的重量（砝码必须放在天平的一边），丢失的砝码重（　　）克．

A．1 B．2 C．3 D．7

10．同学们做套圈游戏，规定“套中大圈得5分，，套中中圈得4分，套中小圈得2分”．文昊套5次，要得到整十的分数，他可能套中（　　）

A．5个小圈

B．大圈4个，小圈1个

C．中圈2个，小圈3个   

二、填空题

11．自行车越野赛全程220千米，被分为20个路段，其中一部分路段长14千米，其余路段长9千米，则长为9千米的路段有　     　 个．

12．若是个六位数，且满足等式=6•，则a+b+c+d+e+f=　     　 ．

13．（69015×51364﹣13778+19）÷9的余数是　     　 ．

14．有一堆球少于10个，3个3个地数，最后剩2个；5个5个地数，最后剩3个．这些球一共有　     　 个．

15．有5000多根牙签，可按六种规格分成小包．如果10根一包，那么最后还剩9根．如果9根一包，那么最后还剩8根．第三、四、五、六种的规格是，分别以8、7、6、5根为一包，那么最后也分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签　     　 根．

16．恰有8个约数的两位数有　     　 个．

17．能被整除的算式有　     　 ； 不能整除的算式有　     　。

18．赵阿姨买3千克苹果和5千克梨，用去48元；王阿姨买同样的2千克苹果和6千克梨，用去48.8千克，妈妈买回同样的1千克苹果和5千克梨，需要　     　 元．

19．一个最简分数，分母缩小到再加1，分子扩大到3倍再加1，得（未约分），则这个分数是　     　 ．

20．11个连续的自然数的和是154，最小的一个自然数是　     　 ．

三、解答题

21．从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？

22．有一箱子橘子在30～40个之间，2个2个地数多1个，5个5个地数多1个，3个3个地数也多1个，这箱橘子有多少个？

23．有7袋米，它们的重量分别是 12、15、17、20、22、24、26公斤．甲先取走一袋，剩下的由乙、丙、丁取走．已知乙和丙取走的重量恰好一样多，而且都是丁取走重量的2倍．那么甲先取走的那一袋的重量是多少公斤？

24．甲乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该补给乙多少元？

25．4850有多少个因数？4850有多少个倍数？4248有多少个因数？4248有多少个倍数？

26．有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原来的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数．

27．学校组织学生参加“环卫小天使”活动，把参加的同学分成6人一组还剩1人，平均分成8人一组也剩1人．参加本次活动的同学至少多少人？

28．已知382=1444，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且抹3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”．

（1）请再找出一个“好数”．

（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？

（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”．

29．一个小孩拿40块糖说分给了9个人，每个人的糖都不一样．每人至少有一个，问成不成立．

30．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换面10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在三个换币机上各换了多少次？

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】A

4．【答案】D

5．【答案】A

6．【答案】B

7．【答案】C

8．【答案】B

9．【答案】A

10．【答案】A

11．【答案】12

12．【答案】27

13．【答案】5

14．【答案】8

15．【答案】5039

16．【答案】10

17．【答案】BC；AD

18．【答案】37

19．【答案】

20．【答案】9

21．【答案】解：从甲地到乙地一共长：45×（53﹣1）=2340（米），

45和60的最小公倍数是：180；

2340÷180﹣1，

=12（根）；

答：中间还有12跟不必移动．

22．【答案】解：2、5、3互质，2、5、3的最小公倍数是2×5×3=30

30+1=31，在30～40之间，符合题意；

答：这筐橘子有31个．

23．【答案】解：由于剩下的由乙、丙、丁三人买走，乙和丙买走的重量恰好相等，都是丁的2倍，

即乙，丙，丁三人买走的重量比为2：2：1，

所以，甲买走一袋后剩下的重量应是2+2+1=5的倍数．

而总重量为：12+15+17+20+22+24+26=136千克，

从136中减去一个数后和得数能被5整除，则这个这个数的个位数字一定是1或者6，

这7袋大米的重量中只有26的个位是6，

所以，甲买走的那一袋大米的重量是26千克．

答：甲买走的那一袋大米的重量是26千克．

24．【答案】解：n头羊的总价为n×n=n2元，由题意知n2元中含有奇数个10元，即完全平方数n2的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，n2的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙：（10+6）÷2﹣6=2（元）．

答：为了平均分配，甲应该补给乙2元．

25．【答案】解：4850=2×5×5×97

4248=2×2×2×3×3×59

所以4850的约数有（1+1）×（2+1）×（1+1）=12个；

4248的约数有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个；

因为把4850和4248分别乘1、2、3、4、…得到各自的倍数，所以它们的倍数有无数个．

26．【答案】解：设这个六位数为x，据题意可知其左边第一位一定为1；

则只有个位为7的时候，其个位才能出现1，所以x的个位为7；

又7分别乘以1～6，其个位数分别为7、4、1、8、5、2；

7、4、1、8、5、这六个数字在这六个六位数中每位数上都出现过，

1+2+4+5+7+8=27，根据位值原则可知，这六个六位的和为：

100000×27+10000×27+1000×27+100×27+27=2999997，

即x+2x+3x+4x+5x+6x=21x=2999997，x=142857；

所以这个六位数为142857．

27．【答案】解：6=2×3，

8=2×2×2，

6和8的最小公倍数是：2×3×2×2=24，

24+1=25（人），

答：参加本次活动的同学至少25人．

28．【答案】解：（1）因为382=1444，所以10382=1077444；则100382，1000382…等都可以是“好数”．

（2）方数的性质可知，完全平平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．

末尾数是5的平方尾数一定是25，故不可能是5；

对于1，设（10a+1）的平方满足X111；而（10a+1）的平方=20a×（5a+1）+1；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；

对于9，设（10a+3）的平方满足X999；而（10a+3）平方=20a×（5a+1）+9，倒数第二位一定是偶数，不符合题意；

又设（10a+7）平方满足X999；而（10a+7）的平方=20a×（5a+7）+1；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；

对于6，设（10a+4）平方满足X666；而（10a+4）的平方=（100a平方+80a+10）+6，倒数第二位一定是奇数，不符合题意；

设（10a+6）的平方满足X666；而（10a+6）的平方=10×（10a×a+12a+3）+6；倒数第二位一定是奇数，不符合题意；

故好数的个位数字只能是4．

（3）假设存在超好数，设为1000n+38； 则有：（1000n+38）平方=1000000n平方+76000n+1444=1000×（1000n平方+76n+1）+444 （1000n平方+76n+1）不可能被4整除；

也就是不可能得到倒数第四位为4；，故假设不成立．

即：不存在超好数．

29．【答案】解：根据分析可得，题设不成立．

因为这9个人的块数最少为1～9的等差数列，

所需块数：（1+9）×9÷2=45（块），

45≠40，

所以题设不成立．

30．【答案】】解：设：在甲机换了x次．乙机换了y次．丙机换了z次．

在甲机上每换一次多 1 个；

在乙机上每换一次多 3 个；

在丙机上每换一次多 9 个；

进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；

x+y+z=12﹣﹣①，

x+3y+9z=80﹣﹣②，

②﹣①2y+8z=68，

y+4z=34，

y=34﹣4z，

x+y+z=12，

能满足上面两式的值为：

在甲机换了2次．乙机换了2次．丙机换了8次．

答：在甲机换了2次．乙机换了2次．丙机换了8次．