2021-2022学年北京市通州区七年级（下）期末数学试卷-（Word解析版）

2021-2022学年北京市通州区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共16分）

1. 某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列调查方式，你认为最合适的是(    )

A. 对端午节期间市场上粽子质量情况，采用全面调查方式
B. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C. 调查本市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度，采用全面调查方式
D. 调查“神舟十一号”飞船重要零部件的产品质量，采用全面调查方式

3. 如图，已知，如果，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 以下命题是真命题的是(    )

A. 相等的两个角一定是对顶角
B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直

6. 已知是二元一次方程的解，又是下列哪个方程的解？(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在实数范围内规定新运算“”，其规则是：已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图的网格线是由边长为的小正方形格子组成的，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，小明研究发现，内部含有个格点的四边形的面积与该四边形边上的格点数有某种关系，请你观察图中的个格点四边形．设内部含有个格点的四边形的面积为，其各边上格点的个数之和为，则与的关系为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共10小题，共20分）

9. 分解因式：          ．
10. 不等式的正整数解是______．
11. 一个角的补角是这个角的倍，这个角的度数为______度．
12. 计算： ______ ．
13. 命题“等角的余角相等”写成“如果，那么”的形式______．
14. 如图，点、、在同一条直线上，请你写出一个能使成立的条件：______ 只写一个即可，不添加任何字母或数字

15. 如图，在一个三角形三个顶点和中心处的每个“”中各填有一个式子，如果图中任意三个“”中的式子之和均相等，那么的值为______．

16. 为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是______ ．

17. 某高校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织学生开展植树活动，为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了名学生的植树情况，将调查数据绘制成如图所示的统计图．那么这组数据的众数是______棵，平均每人植树______棵．

18. 劳技课上，老师将同学们分成，两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由组同学完成打磨工作，再由组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：

则这两个模型都制作完成所需的最短时间为______分钟．

三、解答题（本题共11小题，共64分）

19. 计算：．
20. 解方程组．
21. 分解因式：
    ；
    ．
22. 已知，求代数式的值．
23. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
     
24. 请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．
    已知：如图，，．
    求证：．
    证明：已知，
    __________________
    已知，
    ______
    ____________
    ______

25. 如图，三角形中，过点作于，过点作交于点．
    依题意，请补全图形；
    求证：．

26. 疫情期间某学校储备“抗疫物资”，用元购进甲、乙两种医用口罩共计盒，甲、乙两种口罩的售价分别是元盒，元盒．
    求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
    已知甲种口罩每盒个、乙种口罩每盒个，按照相关要求，学校必须储备足够使用天的口罩，该校师生共计人，每人每天个口罩，问购买的口罩数量是否能满足要求．
27. 一副三角板按如图放置，其中，，，有下列说法：
    如果，那么；
    如果，那么；
    与的度数之和随着的变化而变化；
    如果，那么．
    其中正确的是______；
    请选择一个正确的加以证明．

28. 某校初二年级有名学生，为了提高学生的体育锻炼兴趣，体育老师自主开发了一套体育锻炼方法，并在全年级实施．为了检验此种方法的锻炼效果，随机抽取了名学生在应用此种方法锻炼前进行了第一次体育测试，应用此种方法锻炼一段时间后，又进行了第二次体育测试，获得了他们的成绩，并对数据成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息
    第一次体育测试成绩统计表：

第二次体育测试成绩统计图：

两次成绩的平均数、中位数、众数如下：

第一次体育测试成绩在这一组的数据是：，，，，，，，，．
第二次体育测试成绩在这一组的数据是：，．
请根据以上信息，回答下列问题：
______，______．
第二次体育测试成绩为得分组所对应的圆心角度数是______；第二次体育测试成绩的及格率大于或等于分为及格为______；
下列推断合理的是______．
第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩都提升了．
被抽测的学生小明的第二次测试成绩是分，他觉得年级里大概有人的测试成绩比他高．

29. 已知：直线，点为直线上一定点，点是直线上一动点，连结在的左侧分别作射线、，两条射线相交于点，设．
    当，时，如图位置所示，求的度数用含有的式子表示，并写出解答过程；
    当时，过点作的垂线．
    请在图中补全图形；
    直接写出直线与直线所夹锐角的度数______用含有的式子表示．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：对端午节期间市场上粽子质量情况，适合抽样调查，故选项A不符合题意；
B.旅客上飞机前的安检，意义重大，适合全面调查，故选项B不符合题意；
C.调查本市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度，适合抽样调查，故选项C不符合题意；
D.调查“神舟十一号”飞船重要零部件的产品质量，采用全面调查方式，故选项D符合题意；
故选：．
根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
，
．
故选C．
先求出的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．
本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出是解此题的关键，注意：两直线平行，同位角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、式子左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

5.【答案】 

【解析】解：、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题错误，不符合题意．
故选：．
利用对顶角的定义、平行线的判定方法、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的判定方法、平行线的性质等知识，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：、把代入方程，左边右边，
所以不是方程的解，故本选项不符合题意；
B、把代入方程，左边右边，
所以是方程的解，故本选项符合题意；
C、把代入方程，左边右边，
所以不是方程的解，故本选项不符合题意；
D、把代入方程，左边右边，
所以不是方程的解，故本选项不符合题意．
故选：．
把、的值代入方程，看看方程两边是否相等即可．
本题考查了二元一次方程的解，能理解二元一次方程的解的意义是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据图示知，已知不等式的解集是，
．
．
，
，
，
，
，
．
．
故选：．
根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意得：
第一个图形：
，
，
第二个图形：
，
，
第三个图形：
，
，
第四个图形：
，
，
与的关系为，
故选：．
分别求出每一个图形的面积与的值，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
本题考查了三角形的面积，从数字找规律是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】，， 

【解析】

【分析】
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
【解答】
解：移项，得：，
合并同类项，得：，
则不等式的正整数解为、、；
故答案为：，，．  

11.【答案】 

【解析】解：设这个角的度数为，则它的补角为，
依题意，得，
解得
答：这个角的度数为．
首先根据补角的定义，设这个角为，则它的补角为，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．
此题综合考查补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的补角列出代数式求解．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据整式的除法运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

13.【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 

【解析】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角相等，那么这两个角的余角相等”．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等．
命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果那么”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
此题比较简单，解答此题的关键是找出原命题的题设和结论．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的判定，判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．欲证，在图中发现、被一直线所截，故可按同旁内角互补，两直线平行补充条件或同位角相等，两直线平行补充条件．
【解答】
解：要使，
则只要同位角相等，两直线平行，
或只要同旁内角互补，两直线平行．
故答案为答案不唯一．  

15.【答案】 

【解析】解：依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
由图中任意三个“”中的式子之和均相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

16.【答案】对顶角相等 

【解析】解：这个测量方案的依据是：对顶角相等；
故答案为：对顶角相等．
由对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是对顶角相等的性质和作图；根据题意正确作出图形、设计出测量方案是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，则众数是；
平均数棵，
故答案为：，．
利用众数的定义求得众数；根据平均数的计算方法：求出所有数据的和，然后除以数据的总个数；和中位数即可．
本题考查的是加权平均数的求法．众数的定义，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

18.【答案】 

【解析】解：当组先打磨模型甲需要分钟，然后组装模型甲需要分钟，在这分钟内，组已打磨模型乙用了分钟，还需等分钟，才能组装模型乙，之后组在组装模型乙需要分钟，则整个过程用时分钟．
当组先打磨模型乙需要分钟，然后组装模型乙需要分钟，在这分钟内，组已打磨好模型甲，因为组打磨模型甲只需要分钟，之后组在组装模型甲需要分钟，则整个过程用时分钟．
而，
这两个模型都制作完成所需的最短时间为分钟，
故答案为：．
分两种情况，当组先打磨模型甲共需分钟．当组先打磨模型乙共需分钟．再比较大小即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是分析清楚题意，列出相应的式子．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】根据乘方运算、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义．
本题考查乘方运算、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：，
得：，
，得，
，
把代入，得，
是原方程组的解． 

【解析】方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

21.【答案】解：

；


． 

【解析】先提取公因式，再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案；
利用提公因式法进行分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

22.【答案】解：原式，
，
．
原式． 

【解析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．
此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
 

23.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集是．
解集在数轴上表示如图：
 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

24.【答案】    内错角相等，两直线平行  同位角相等，两直线平行    平行于同一直线的两直线互相平行  两直线平行，同旁内角互补 

【解析】证明：已知，
内错角相等，两直线平行，
已知，
同位角相等，两直线平行，
平行于同一直线的两直线互相平行，
两直线平行，同旁内角互补，
故答案为：；；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；；平行于同一直线的两直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补．
根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：补全图形如图，

证明：于，
，
，
，
． 

【解析】根据题意补全图形；
根据垂直的定义及平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

26.【答案】解：设甲种口罩购进了盒，乙种口罩购进了盒，
依题意得：，
解得：．
答：甲种口罩购进了盒，乙种口罩购进了盒．
学校购进口罩的数量为个，
按照相关要求，学校需储备的口罩的数量为个．
，
购买的口罩数量能满足要求． 

【解析】设甲种口罩购进了盒，乙种口罩购进了盒，利用总价单价数量，结合学校用元购进甲、乙两种医用口罩共计盒，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
分别求出学校购进口罩的数量及按照相关要求学校需储备口罩的数量，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：；
证明：，
，
，故正确；
，
，
，
，故正确；
，
，
即，
与的度数之和不会随着的变化而变化，故错误；
，
，
，
，故正确．
根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．
本题考查了等腰直角三角形，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
 

28.【答案】         

【解析】解：，
由中的表格和中的数据，可得，
故答案为：，；
第二次体育测试成绩为得分组所对应的圆心角度数是，
由中的扇形统计图和中的数据可知，，即第二次体育测试成绩的及格率是；
由题意可得，
第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩提升了，故合理；
被抽测的学生小明的第二次测试成绩是分，他觉得年级里大概有人的测试成绩比他高，所以他决心努力锻炼，提高身体素质，故合理；
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以计算出和的值；
根据中的扇形统计图和中的数据，可以计算出第二次体育测试成绩的及格率；
根据题意和题目中的信息，可以判断和是否合理，本题得以解决．
本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

29.【答案】或或或 

【解析】解：如图中，

，
，
，，
，
；

图形如图所示：


如图中，

，，
，
，
，
；

如图中，

，
，
，
；

如图中，；

如图中，．

综上所述，满足条件的直线与直线所夹锐角的度数为：或或或．
故答案为：或或或．
利用平行线的性质求解即可；
根据要求画出图形即可；
分四种情形：如图中，如图中，如图中，如图中，分别画出图形求解．
本题考查作图基本作图，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．